張清葉 尚邵陽

(1.河南工學(xué)院理學(xué)部;2.河南工學(xué)院非線性優(yōu)化算法研究所 河南新鄉(xiāng) 453003)

中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院周川認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維是指在思考和解決問題的過程中，對數(shù)學(xué)思想、方法的合理運(yùn)用能力，數(shù)學(xué)思維不僅是一種知識，還是一種能力[1-2]。前貴州大學(xué)校長陳叔平認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一套獨(dú)特的語言體系和思維方式，它讓人變得更明白一些，讓腦子更好使，條理更清晰，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，表述準(zhǔn)確、簡潔，不妄下結(jié)論，不隨意批評，不去騙人，也不受騙。事實(shí)上，數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是重大技術(shù)創(chuàng)新的基礎(chǔ)，歷史上的科技創(chuàng)新無不與數(shù)學(xué)有關(guān)，其早已成為航空航天、國防安全、信息、能源、海洋等領(lǐng)域不可或缺的重要支撐?，F(xiàn)在的人工智能，更是離不開大數(shù)據(jù)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)。

作為高校本科階段三大公共數(shù)學(xué)課之一的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是唯一一門研究隨機(jī)性的課程[3]，其研究內(nèi)容是我們?nèi)粘Ｉ钪凶畛Ｒ?、最有用的，影響了我們的認(rèn)識論、方法論，甚至顛覆了我們的世界觀。從20世紀(jì)電子信息技術(shù)的迅速發(fā)展，到21世紀(jì)大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域以及國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門都有其理論和方法的應(yīng)用，小到擲骰子、分賭本，大到地震預(yù)報(bào)、人口預(yù)測、火箭衛(wèi)星的發(fā)射等。然而，在傳統(tǒng)教學(xué)中，受課時(shí)及課程定位的影響，概率論訓(xùn)練的多是一些組合技巧，數(shù)理統(tǒng)計(jì)講的是一些標(biāo)準(zhǔn)方法。在題海和腦力游戲中，往往會讓學(xué)生學(xué)得很苦，感覺抽象、難學(xué)、無用，嚴(yán)重偏離了這門課程培養(yǎng)學(xué)生隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維的初衷，不利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。在此現(xiàn)實(shí)背景下，如何深刻理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維[4-5]是亟待解決的問題。

眾所周知，對隨機(jī)現(xiàn)象的研究是通過隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行的，如著名的蒲豐投針試驗(yàn)、高爾頓釘板試驗(yàn)等。在傳統(tǒng)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[6]，讓學(xué)生在折騰中去體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，在真實(shí)情景中感受知識的落地，勢必會激起他們的好奇心和創(chuàng)新意識，對培養(yǎng)其隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維能力將會是一條行之有效的途徑。MATLAB是美國MathWorks 公司于20 世紀(jì)80 年代推出的一套以矩陣為基礎(chǔ)的高性能數(shù)值分析和計(jì)算軟件[7]，其將矩陣運(yùn)算、數(shù)值分析、圖像處理、編程技術(shù)等結(jié)合在一起，為用戶提供了強(qiáng)有力的分析計(jì)算和程序設(shè)計(jì)工具，尤其是其可視化功能和各種工具箱受到絕大多數(shù)科技工作者的青睞。筆者在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)過程中，利用對隨機(jī)現(xiàn)象研究的本原方法，即隨機(jī)試驗(yàn)來研究概率進(jìn)而解決問題，其中隨機(jī)試驗(yàn)在MATLAB 平臺完成。這一做法極大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，收到了很好的教學(xué)效果。下面分享筆者在教學(xué)中基于MATLAB的幾個(gè)案例，期待能夠拋磚引玉。

1 投硬幣實(shí)驗(yàn)

問題：拋擲一枚均勻的硬幣，正面向上的概率為0.5。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模候?yàn)證隨機(jī)事件的概率。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：拋擲一枚均勻的硬幣，令Xi=1表示第i次拋得正面，Xi=0表示第i次拋得反面，則Xi服從兩點(diǎn)分布。由伯努利大數(shù)定律，伯努利試驗(yàn)中隨機(jī)事件的頻率依概率收斂于其概率，可利用頻率來估計(jì)概率。將硬幣連續(xù)拋擲n次，若正面向上累計(jì)出現(xiàn)了k次，則頻率

MATLAB代碼：

反思與提高：

概率是事件本身的固有屬性，具有確切的數(shù)值。而頻率則與試驗(yàn)次數(shù)和某次試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，具有不確定性。但頻率會隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多依概率收斂到事件的概率。為此，可通過增加試驗(yàn)次數(shù)，一方面求概率更為準(zhǔn)確的數(shù)值，另一方面驗(yàn)證頻率的穩(wěn)定性。改進(jìn)后的MATLAB代碼如下：

運(yùn)行此代碼后，返回，具體情況見圖1。不難發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率逐漸穩(wěn)定到事件“正面向上”的概率0.5。

圖1 拋硬幣實(shí)驗(yàn)頻率的穩(wěn)定性驗(yàn)證

2 圓周率π的估算

問題：利用幾何概型估算圓周率π。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模豪妹商乜宸ㄓ?jì)算圓周率。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：在第一象限內(nèi)畫單位正方形，即畫以坐標(biāo)原點(diǎn)為左下角頂點(diǎn)、邊長為1的正方形，并以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，畫1/4單位圓周，具體見圖2，則

圖2 估算圓周率實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

根據(jù)幾何概型，若在圖1所示的圖形上鋪滿芝麻，則落入1/4 圓內(nèi)的芝麻粒數(shù)與落入正方形內(nèi)的芝麻粒數(shù)之比應(yīng)為π/4。意到這一事實(shí)，可在Matlab平臺上這樣設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)：在單位正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，記所投點(diǎn)的總數(shù)為n，落入1/4 圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k，則，從

MATLAB代碼：

3 三門問題

問題：三門問題（Monty Hall problem）亦稱為蒙提霍爾問題或蒙提霍爾悖論[8]，出自美國的電視游戲節(jié)目Let′s Make a Deal。節(jié)目進(jìn)行到某個(gè)環(huán)節(jié)，參賽者會看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇門的后面藏有一輛汽車，另外兩扇門的后面各藏有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟的時(shí)候，節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出一只山羊。緊接著主持人會問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)著的門，即換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的概率。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^理性推理(計(jì)算概率)驗(yàn)證直覺判斷是否可信。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：此問題可以利用概率論的知識，通過設(shè)出事件，根據(jù)貝葉斯公式進(jìn)行求解。這里介紹基于MATLAB 平臺，利用模擬的方法分別計(jì)算換門和不換門贏得汽車的頻率。注意到參賽者不知道車在哪扇門的后面，而節(jié)目主持人事先知道，并且主持人總是在剩下的兩扇門中打開后面藏有山羊的門。設(shè)共做了n=1000 次實(shí)驗(yàn)，a、b分別為換門和不換門贏得汽車的次數(shù)，實(shí)驗(yàn)前a=0，b=0。每次實(shí)驗(yàn)開始時(shí)，車等可能的藏在每一扇門的后面且參賽者隨機(jī)的從三扇門中選擇其中一扇。若參賽者選中后面藏有汽車的門，則不換門可贏得汽，此時(shí)b增加1；若參賽者選擇的門后面沒有汽車，則換門可贏得汽車，此時(shí)a增加1。a/n，b/n分別為n次實(shí)驗(yàn)換門和不換門贏得汽車的頻率。

MATLAB代碼：

運(yùn)行代碼后，可得進(jìn)行1 000 次實(shí)驗(yàn)時(shí)，參賽者換門和不換門贏得汽車的頻率。若想求得概率，可通過增加每組實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，如n=10 000,100 000等，并多做幾組實(shí)驗(yàn)（可通過for循環(huán)實(shí)現(xiàn)），然后取每組實(shí)驗(yàn)所得頻率的平均值來估計(jì)概率。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，換門贏得汽車的頻率是不換門贏得汽車頻率的2倍，即換門可增加贏得汽車的概率，參賽者應(yīng)選擇換門，這與人們的直覺不太一致。

4 投資組合問題

隨著近年來我國資本市場的發(fā)展和證券交易規(guī)模的不斷擴(kuò)大，越來越多的資金投資于證券市場，與此同時(shí)市場價(jià)格的波動也十分劇烈，如何選股并確定投資組合方案使得投資收益大且風(fēng)險(xiǎn)小一直是金融領(lǐng)域的熱門話題。由于股票價(jià)格具有隨機(jī)性，可看成服從隨機(jī)游走，從而處理這個(gè)問題不能直接用確定性的方法。以2020年第三屆中青杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的B題為例[9]，確定對附件給出的10支股票如何進(jìn)行投資。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模捍_定投資組合方案。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：首先對附件給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，若某只股票某天交易數(shù)據(jù)缺失，則將其他股票當(dāng)天交易數(shù)據(jù)一并刪除。利用10 只股票的日收盤價(jià)采用算術(shù)平均計(jì)算其日收益率Rit,即第i只股票第t天的日收益率為Rit，令ri=E(Rit)表示第i只股票的平均收益率，Σ=(σij)10×10表示10只股票的協(xié)方差矩陣，其中σij=cov(ri，rj)，則根據(jù)馬科維茨投資組合理論，用投資組合的平均收益率來衡量收益，用投資組合的方差來衡量風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)10 只股票的投資比例為xi(i=1，2，…，10)，則可得確定最優(yōu)投資組合方案的均值方差模型如下。

其中，r0為預(yù)期收益的閾值，即投資者期望獲得的最小收益，通常要大于無風(fēng)險(xiǎn)利率。上述MV 模型為一個(gè)二次規(guī)劃問題，可以利用MATLAB 的quadprog 函數(shù)進(jìn)行求解。

MATLAB代碼：

運(yùn)行代碼后，可得到對應(yīng)于不同收益率閾值的投資組合方案及相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)水平（均方差）。投資者可根據(jù)自己的投資偏好和風(fēng)險(xiǎn)承受能力來選擇相應(yīng)的投資組合方案。

5 結(jié)語

大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維顯得比以往任何時(shí)候都更加重要，如何對繁雜、海量數(shù)據(jù)進(jìn)行探索，找出其背后蘊(yùn)含的規(guī)律是時(shí)代賦予我們的使命。作為高校在讀大學(xué)生，掌握隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維的方法尤其重要。而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程作為唯一一門在大學(xué)期間研究隨機(jī)性的數(shù)學(xué)學(xué)科，教師應(yīng)不斷改進(jìn)教學(xué)模式，使之成為一門學(xué)生感興趣的、有用的學(xué)科。信息技術(shù)的發(fā)展，無疑給概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了極大便利。教師應(yīng)讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在折騰中解決問題，逐步培養(yǎng)其隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造性解決問題的綜合能力和實(shí)踐能力。