甘肅省張掖市第二中學(xué) 紀(jì)相林

“圓錐曲線與方程”是湘教版選修(一)第2章的內(nèi)容，雖然是選修內(nèi)容，但其重要性卻不容忽視.近幾年來(lái)，“圓錐曲線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題”已成為高考中頻繁出現(xiàn)的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題.因此，熟悉這類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)題型，掌握和運(yùn)用“轉(zhuǎn)化法”解題的方法與技巧也就顯得十分重要[1].

圓錐曲線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題通常包括中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)兩大類(lèi).對(duì)于中心對(duì)稱(chēng)類(lèi)問(wèn)題，一般采用“轉(zhuǎn)化中點(diǎn)法”，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)類(lèi)問(wèn)題，一般采用“等價(jià)轉(zhuǎn)化法”，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為它的等價(jià)問(wèn)題進(jìn)行求解[2].

下面通過(guò)對(duì)典型例題的解析，來(lái)了解和掌握運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”法來(lái)解決問(wèn)題的方法與技巧.

1 轉(zhuǎn)化中點(diǎn)法

一般情況下，對(duì)于中心對(duì)稱(chēng)類(lèi)問(wèn)題，主要根據(jù)“兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線段被對(duì)稱(chēng)中心平分”這一性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行解決.

x′=-4-x，y′=2-y①

因?yàn)镻′(x′,y′)在橢圓C上，所以

方法與技巧:本題屬于曲線f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)Q(m,n)的對(duì)稱(chēng)曲線類(lèi)典型問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題，首先將坐標(biāo)平移，使原點(diǎn)移到對(duì)稱(chēng)中心Q，在新坐標(biāo)系下原曲線為f(x′+m,y′+n)=0，其對(duì)稱(chēng)曲線為f(-x′+m,-y′+n)=0，然后再依據(jù)x′=x-m，y′=y-n將坐標(biāo)系平移回原坐標(biāo)系，可得到對(duì)稱(chēng)曲線的新方程f(2m-x,2n-y)=0，最后再把已知曲線方程中的x換成2m-x，y換成2n-y即可.

圖1

方法與技巧:在本題中，由于雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且有相同的對(duì)稱(chēng)軸，其四個(gè)交點(diǎn)組成以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的矩形，我們只要研究在第一象限的情況即可解決問(wèn)題.由此可見(jiàn)，對(duì)于一般的二次曲線問(wèn)題，利用它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式后的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心來(lái)解決較為便捷[3].

2 等價(jià)轉(zhuǎn)化法

對(duì)于求橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一條直線l對(duì)稱(chēng)類(lèi)問(wèn)題，我們可以化繁為簡(jiǎn)，將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)問(wèn)題來(lái)解決.

13x2-8nx+16n2-48=0

③

設(shè)l′與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，顯然x1≠x2.

圖2

假設(shè)在E上存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)不同的點(diǎn)B(x1，y1)和C(x2，y2).

設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則

因?yàn)辄c(diǎn)M在直線l上，所以

2x0-y0-1=0 ④

3x0-2y0=0 ⑤

④×2-⑤,得x0=2.這表明BC的中點(diǎn)就是點(diǎn)A,當(dāng)然這是不可能的.也就是說(shuō)，橢圓E上不存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn).

方法與技巧:本題仍然是采用將待證點(diǎn)B，C等價(jià)轉(zhuǎn)換為已知點(diǎn)A的間接證明思路.在具體證明過(guò)程中，首先根據(jù)已知條件求出橢圓方程，然后利用橢圓的方程、性質(zhì)和已知直線的斜率得出假設(shè)的BC中點(diǎn)的坐標(biāo)與橢圓E上的點(diǎn)A重合的反面結(jié)論，從而使原題得證.

從上述典型例題的方法與技巧的總結(jié)中，我們可以看出，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化法”解決圓錐曲線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題具有較強(qiáng)的可行性與實(shí)用性，關(guān)鍵是要充分、靈活地利用好橢圓、直線與點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì).