曾 旺，覃宇燕，宓 茜

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

0 引言

1971年，美國(guó)加州大學(xué)華裔科學(xué)家蔡少棠教授首次提出了憶阻器[1]（memristor）的概念，稱(chēng)其為除了電阻、電感和電容之外的第四種基本電路元件，并在文獻(xiàn)[2]中闡述了元件的特性、原理及應(yīng)用。直到2008年，惠普公司的研究人員首次宣布了憶阻器的固態(tài)實(shí)現(xiàn)[3]。憶阻器具有保留電路中通過(guò)電荷的能力與特性[4]，在傳統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)、信號(hào)處理、自動(dòng)化控制以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域擁有廣泛的應(yīng)用空間和發(fā)展?jié)摿?，因而受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[5-8]。

用憶阻電路中的憶阻器替代原來(lái)的二極管是實(shí)現(xiàn)憶阻電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)、制造和控制的基本思路。由于涉及系統(tǒng)內(nèi)多個(gè)不同部件的混沌控制，因此這個(gè)方法具有較高的挑戰(zhàn)性。文獻(xiàn)[9]研究了憶阻混沌系統(tǒng)的模糊建模和脈沖控制問(wèn)題，將憶阻混沌系統(tǒng)建模為T(mén)-S 模糊系統(tǒng)，解決了其脈沖穩(wěn)定性問(wèn)題?；谖墨I(xiàn)[9]提出的T-S 模糊模型，文獻(xiàn)[10]研究了在間歇控制下憶阻系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]研究了具有不確定性的憶阻蔡系統(tǒng)的事件觸發(fā)滑模控制。

在具體的應(yīng)用實(shí)踐中，來(lái)自不同領(lǐng)域的專(zhuān)家學(xué)者對(duì)脈沖控制的實(shí)現(xiàn)做了大量嘗試，并獲得了豐富的成果[12-15]，但事件觸發(fā)機(jī)制問(wèn)題是應(yīng)用實(shí)踐的一個(gè)技術(shù)難題。由于脈沖控制僅在必要時(shí)才執(zhí)行，事件觸發(fā)的持續(xù)監(jiān)測(cè)和精確快速反應(yīng)，一直是脈沖控制領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問(wèn)題[16-19]。文獻(xiàn)[16]利用分布式事件觸發(fā)脈沖控制方法，研究了多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[17]在李雅普諾夫方法的框架下，利用事件觸發(fā)脈沖控制方法，研究了非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[18]利用基于事件的脈沖控制方法，研究了連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定問(wèn)題及其在憶阻神經(jīng)網(wǎng)路同步中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[19]在基于脈沖微分的李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和有限時(shí)間控制方法下，利用分布式事件觸發(fā)脈沖控制策略，研究了非線(xiàn)性多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問(wèn)題。

受上述研究成果的啟發(fā)，本文針對(duì)憶阻電路系統(tǒng)，提出了一種基于T-S 模糊模型的事件觸發(fā)脈沖控制方法，并研究了其穩(wěn)定性，以期為T(mén)-S 模糊模型事件觸發(fā)脈沖控制的進(jìn)一步研究，提供一種新思路。

1 預(yù)備知識(shí)和模型描述

本節(jié)主要介紹了相關(guān)的符號(hào)和預(yù)備知識(shí)。In表示n階單位矩陣。對(duì)于矩陣A（或向量x），AT（或xT）表示A的轉(zhuǎn)置（或x的轉(zhuǎn)置）。Det(M)表示方陣M的行列式，Re(λ)表示復(fù)數(shù)λ的實(shí)部。

2008年，Itoh 和Chua 提出了基于憶阻器的憶阻混沌電路，如圖1所示。

圖1 基于憶阻器的混沌電路系統(tǒng)Fig.1 Memristor-based chaotic circuit system

首先，將Hewlett Packard（HP）憶阻器描述為以下形式：

v=M(q)i，或i=W(φ)v。

式中：v、i分別為電壓和電流；

圖1的電路系統(tǒng)可以描述為以下方程

式中u(t)為控制協(xié)議，將在后文詳細(xì)介紹。

令x1(t)=V1(t)、x2(t)=V2(t)、x3(t)=i(t)、x4(t)=φ(t)，以及，從而有

系統(tǒng)（2）可寫(xiě)成如下形式：

利用T-S 模糊模型，可得

2 主要結(jié)論

為了研究憶阻電路系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，本節(jié)提出一種事件觸發(fā)脈沖控制算法：

式中：λ為一個(gè)給定的增益，且-1<λ<0；δ為Dirac脈沖函數(shù)；tk（k=0,1,…）為智能體i的事件觸發(fā)時(shí)間序列，且t0

在控制協(xié)議（5）下，系統(tǒng)（4）可寫(xiě)為

式中：事件觸發(fā)時(shí)間序列tk定義為

其中事件觸發(fā)函數(shù)f(t)定義為

定理1在事件觸發(fā)條件（7）下，若控制協(xié)議（5）中控制增益λ滿(mǎn)足-1<λ<0，則憶阻電路系統(tǒng)（4）可以達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定，并排除了Zeno 行為的發(fā)生。

證明考慮如下李雅普諾夫函數(shù)

首先，證明憶阻電路系統(tǒng)（4）在控制協(xié)議（5）下可以達(dá)到穩(wěn)定，即當(dāng)時(shí)，如果

則有

一方面，注意到0<1+λ<σ<1，根據(jù)式（10）可知，如果

則有

從而得

根據(jù)式（7）和式（8）有

這時(shí)必然存在一個(gè)正常數(shù)β，滿(mǎn)足σ2<β<1，從而有

因此，當(dāng)t→∞時(shí)，k→∞，從而V(t)→0，也就是x(t)→0。

再證明憶阻電路系統(tǒng)Zeno 行為不存在，即兩個(gè)觸發(fā)時(shí)刻之間的間隔是正的。

從而有

根據(jù)式（4）和式（5）可得

從而有

這就證明了憶阻電路系統(tǒng)Zeno 行為不存在。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)用數(shù)值仿真來(lái)說(shuō)明控制協(xié)議（5）的有效性，且在所提控制協(xié)議下，憶阻電路系統(tǒng)（4）是可鎮(zhèn)定的。

對(duì)于圖1中的憶阻器電路系統(tǒng)，相關(guān)參數(shù)取值選擇如下：C1=0.15，C2=0.8，R=0.1，G=1.5，L=1；同時(shí)選取a=0.3，b=0.1。顯然，A1、A2可表示為

再選取控制增益λ=-0.2，事件觸發(fā)函數(shù)（8）的參數(shù)σ=0.9。仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 仿真所得x(t)的狀態(tài)軌跡Fig.2 State track of simulated x(t)

圖3 事件觸發(fā)時(shí)間Fig.3 Event-triggered time

從圖2中x(t)的狀態(tài)軌跡可以看出，在控制協(xié)議（5）和事件觸發(fā)條件（7）下，憶阻電路系統(tǒng)（4）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。從圖3中事件觸發(fā)時(shí)間可以看出，系統(tǒng)排除了Zeno 行為的發(fā)生。

4 結(jié)語(yǔ)

本文討論了憶阻電路系統(tǒng)事件觸發(fā)脈沖穩(wěn)定性的問(wèn)題。首先，利用T-S 模糊化方法進(jìn)行建模，得到相應(yīng)的線(xiàn)性系統(tǒng)模型。再結(jié)合事件觸發(fā)控制理論、脈沖控制理論，提出了一種事件觸發(fā)脈沖控制協(xié)議，再通過(guò)Lyapunov 穩(wěn)定性理論，給出系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的條件。最后，通過(guò)數(shù)值仿真，驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性。