?甘肅省張掖市山丹縣第二中學(xué) 呂時(shí)英

新課標(biāo)對(duì)課程資源有著明確的定義，這個(gè)定義僅局限于課程的顯性層面，如文本資源、多媒體、社會(huì)資源、生成性資源或環(huán)境與工具等，而對(duì)于數(shù)學(xué)課程的隱性資源卻沒(méi)有明確的定義或描述，如我們常接觸的文化元素、邏輯元素、生成元素等.這些隱性資源在我們?nèi)粘５慕虒W(xué)實(shí)施過(guò)程中，卻客觀、真實(shí)地存在.為此，筆者作了一定的探索，以期與同行交流.

1 隱性課程資源的發(fā)展與特點(diǎn)

美國(guó)教育學(xué)家杜威早在《經(jīng)驗(yàn)與教育》中就提到過(guò)“連帶學(xué)習(xí)”，提出學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中會(huì)不由自主地產(chǎn)生一種情感態(tài)度與價(jià)值觀.隨后，杰克遜(P.W.Jackson)在他的《班級(jí)生活》中首次提出“隱性課程”一詞.之后，我國(guó)在《教育大辭典》中對(duì)此給出明確定義：隱性課程資源是指在課程計(jì)劃及學(xué)校政策中沒(méi)有明文規(guī)定，而又真實(shí)存在的非正式或無(wú)意識(shí)的教學(xué)資源，它與“顯性資源”呈相對(duì)的關(guān)系.

隱性課程資源的主要特點(diǎn)：①具有普遍性、持久性與彌漫性；②對(duì)教學(xué)會(huì)產(chǎn)生積極或消極影響；③對(duì)學(xué)生會(huì)產(chǎn)生有意識(shí)與無(wú)意識(shí)的辯證統(tǒng)一性影響；④對(duì)課程會(huì)產(chǎn)生學(xué)術(shù)性與非學(xué)術(shù)性辯證統(tǒng)一性影響；⑤實(shí)現(xiàn)課堂可預(yù)期與不可預(yù)期的統(tǒng)一；⑥這種資源廣泛地存在于家庭、學(xué)校與社會(huì)中.

從這些特點(diǎn)來(lái)看，我們?cè)谡n堂教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，除了要運(yùn)用好顯性課程資源之外，還要注意優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)與生活環(huán)境，重視學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的心理狀態(tài)，充分利用好這些隱性課程資源，完善學(xué)生的思維品質(zhì)與人格，為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

2 隱性課程資源的開(kāi)發(fā)與利用

2.1 依托知識(shí)背景，形成數(shù)學(xué)眼光

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，都是源自現(xiàn)實(shí)生活中事物的抽象，每個(gè)知識(shí)背后都有龐大的生活作為形成背景，這些生活背景則構(gòu)成了良好的隱性課程資源.數(shù)學(xué)源于生活，而又應(yīng)用于生活的特點(diǎn)，決定了教育者應(yīng)充分挖掘和利用好這些資源，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看待自己的生活與整個(gè)世界，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活問(wèn)題的靈活轉(zhuǎn)化.

圖1

例1如圖1，一輛汽車(chē)前后兩個(gè)輪胎的圓心連線，恰好是該車(chē)底盤(pán)所在的直線，已知該車(chē)前后兩輪胎的半徑都是60 cm，圓心距PQ為260 cm，前輪的圓心為點(diǎn)P，它與底盤(pán)最前端點(diǎn)M相距80 cm，若該車(chē)準(zhǔn)備駛過(guò)一個(gè)高80 cm的臺(tái)階(OA).

圖2

(1)如圖2，想確保汽車(chē)前輪順利通過(guò)臺(tái)階，可建斜坡AB，則該坡角α最大可設(shè)置多少度？

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，不考慮車(chē)尾，該車(chē)是否可以順利通過(guò)？

這是很多人在生活中都會(huì)遇到的問(wèn)題，學(xué)生對(duì)這個(gè)場(chǎng)景有著深刻體驗(yàn).要讓初中階段的學(xué)生將這個(gè)具體的生活問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并順利解決，的確存在一定的難度.而生活問(wèn)題又是隱性課程資源的重要來(lái)源之一，因此教師在這方面應(yīng)多加引導(dǎo)，幫助學(xué)生一起將鮮活的生活實(shí)例抽象、提煉成課堂中的數(shù)學(xué)知識(shí).如此不僅能有效地提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，還能培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展的眼光看待這個(gè)美妙的大千世界.

2.2 領(lǐng)悟知識(shí)文化，獲得數(shù)學(xué)思想

我們都有這樣的體會(huì)：所學(xué)知識(shí)若一直沒(méi)機(jī)會(huì)使用，時(shí)間久了就會(huì)生疏、遺忘，但學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的數(shù)學(xué)思維、推理方法、研究模式以及看待問(wèn)題的眼光等，卻不會(huì)因?yàn)闀r(shí)間的推移而發(fā)生變化，它就像根植于我們大腦中一樣，永不褪色.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是知識(shí)的傳授，更重要的是能力、思想方法的培養(yǎng)，這才是促進(jìn)一個(gè)人形成終身可持續(xù)性發(fā)展的保障.

初中階段接觸到的數(shù)學(xué)思想比較多，分別有化歸、函數(shù)、方程、整體、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合以及猜想論證等.其中，最基本且中學(xué)生接觸最多的是數(shù)形結(jié)合思想.代數(shù)與幾何是構(gòu)成初中數(shù)學(xué)的兩個(gè)模塊，教學(xué)中將抽象的數(shù)與直觀的形有機(jī)結(jié)合于一體，可幫助學(xué)生建構(gòu)更為完善的認(rèn)知體系.數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程，它是學(xué)生形成良好數(shù)學(xué)思想的催化劑.

圖3

(1)寫(xiě)出該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)猜想△ABC的形狀，并證明；

(3)若點(diǎn)M(m,0)為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+MD的值最小時(shí)，求m的值.

這是一道綜合性較強(qiáng)的題目，學(xué)生乍眼看到此題都覺(jué)得難度很大.其實(shí)，本題隱含著一個(gè)重要的解題資源，即“將軍飲馬”.若朝這個(gè)方向去思考，本題倒也沒(méi)有想象中的那么難.

分析：(1)先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式，求出b值，可得拋物線的解析式；再用配方法獲得頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)利用勾股定理的逆定理可證得△ABC為一個(gè)直角三角形.即先由拋物線的解析式獲得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，以此推算出AB，BC，AC的長(zhǎng)度，可得AB2=AC2+BC2，由此可證.

(3)以x軸為對(duì)稱(chēng)軸，作點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接DC′并與x軸相交于點(diǎn)M，依照“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知CM+DM的值最小.只要求出直線DC′的解析式，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，此時(shí)m的值也就自然揭曉了.

一道看似復(fù)雜的綜合題，挖掘出其中隱含的資源(將軍飲馬)，問(wèn)題則迎刃而解.這是典型的數(shù)學(xué)文化對(duì)數(shù)學(xué)解題產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響.歷史上，經(jīng)典的將軍飲馬問(wèn)題不僅促進(jìn)了數(shù)學(xué)史的發(fā)展，還讓學(xué)習(xí)者從中獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，這種數(shù)學(xué)思想為解決各種問(wèn)題提供了幫助.

2.3 感受知識(shí)形成，拓展數(shù)學(xué)思維

知識(shí)的形成需經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程，此過(guò)程中會(huì)涉及到例題拓展、變式訓(xùn)練以及錯(cuò)題訓(xùn)練等，這些都是課堂重要的生成性資源，也是典型的隱性課程資源.只要教師做個(gè)“有心人”，注重知識(shí)的挖掘，即可讓這些過(guò)程性資源成為良好的教育資源，為數(shù)學(xué)思維的拓展奠定基礎(chǔ).

例3已知點(diǎn)M為正方形ABCD的BC邊上任意點(diǎn)(不含B，C)，點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，點(diǎn)N為∠PCD角平分線上的點(diǎn).如果∠NMA為直角，求證：MA=MN.

圖4

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明：如圖4，在AB邊上截取EA=MC，連結(jié)EM.根據(jù)題設(shè)條件可知∠BCD=∠B=90°，AB=CB，則∠CMN=180°-∠AMN-∠BMA=180°-∠B-∠BMA=∠MAB=∠MAE.

到此步，接下來(lái)的證明并不困難，教師鼓勵(lì)學(xué)生自主完成.在學(xué)生順利解題后，為了拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，要求學(xué)生以此題為母胎，自主編制變式問(wèn)題.學(xué)生提出：

圖5

變式1如圖5，將原來(lái)的四邊形改為“正△ABC”，點(diǎn)N為∠PCA的角平分線上的一點(diǎn)，當(dāng)∠NMA=60°時(shí)，MA=MN的結(jié)論成立嗎？為什么？

該生話音剛落，就有學(xué)生提出新的問(wèn)題.此時(shí)，課堂探究氣氛尤為濃厚，整個(gè)課堂處于研討的高潮階段，新的課程資源也由此生成.

變式2如果將原題中的正方形改為“正n邊形ABCDE……”，當(dāng)∠NMA為多少度時(shí)，MA=MN的結(jié)論依然成立嗎？

變式訓(xùn)練的應(yīng)用隨著新課改的推進(jìn)，越來(lái)越受到廣大師生的關(guān)注，它對(duì)課堂生成性資源的積累與創(chuàng)設(shè)具有重要影響，這不僅是一種知識(shí)的拓展，還體現(xiàn)了思維的靈活性.學(xué)生先從表層創(chuàng)設(shè)生成，由表及里，再?gòu)慕鉀Q問(wèn)題的策略上進(jìn)行化歸.學(xué)生在豐富的變式構(gòu)建中拓寬視野、優(yōu)化思維，為創(chuàng)新能力的形成奠定基礎(chǔ).

總之，隱性課程資源存在于課堂的每個(gè)角落，作為教師應(yīng)意識(shí)到它的重要性，從它的特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合新課標(biāo)的要求，營(yíng)造良好的課堂氛圍，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的背景中，形成良好的思維品質(zhì)與世界觀，在充滿文化底蘊(yùn)的數(shù)學(xué)史中，獲得良好的數(shù)學(xué)思想.Z