郭佳欣

（北京建筑大學(xué)，北京 102616）

1 問題重述

1.1 問題背景

玻璃文物極易受埋藏環(huán)境的影響而風(fēng)化。在風(fēng)化過程中，內(nèi)部元素與環(huán)境元素進(jìn)行大量交換，導(dǎo)致其成分比例發(fā)生變化，從而影響對(duì)其類別的正確判斷。

玻璃的主要原料是石英砂，主要化學(xué)成分是二氧化硅（SiO2）。由于純石英砂的熔點(diǎn)較高，為了降低熔化溫度，在煉制時(shí)需要添加助熔劑。古代常用的助熔劑有草木灰、天然泡堿、硝石和鉛礦石等，并添加石灰石作為穩(wěn)定劑，石灰石煅燒以后轉(zhuǎn)化為氧化鈣（CaO）。添加的助熔劑不同，其主要化學(xué)成分也不同。

1.2 具體問題

1.對(duì)玻璃文物的化學(xué)成分含量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將成分比例累加和介于85%～105%之間的數(shù)據(jù)視為有效數(shù)據(jù)。對(duì)這些玻璃文物的表面風(fēng)化與其玻璃類型、紋飾和顏色的關(guān)系進(jìn)行分析；結(jié)合玻璃的類型，分析文物樣品表面有無風(fēng)化化學(xué)成分含量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并根據(jù)風(fēng)化點(diǎn)檢測(cè)數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)其風(fēng)化前的化學(xué)成分含量。

2.依據(jù)附件數(shù)據(jù)分析高鉀玻璃、鉛鋇玻璃的分類規(guī)律；對(duì)于每個(gè)類別選擇合適的化學(xué)成分對(duì)其進(jìn)行亞類劃分，給出具體的劃分方法及劃分結(jié)果，并對(duì)分類結(jié)果的合理性和敏感性進(jìn)行分析。

2 問題分析

2.1 化學(xué)成分含量分析

針對(duì)問題一，該問要求需要對(duì)玻璃表面風(fēng)化情況與玻璃類型，紋飾和顏色的相關(guān)性進(jìn)行分析，并結(jié)合玻璃的類型分析化學(xué)成分含量的變化規(guī)律以及預(yù)測(cè)風(fēng)化前的化學(xué)成分含量。

首先，對(duì)文本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，通過求解Spearman系數(shù)來對(duì)玻璃類型、顏色、紋飾、表面風(fēng)化四個(gè)定類變量進(jìn)行相關(guān)性分析，從而得到變量間的相關(guān)性。

其次，對(duì)玻璃文物的化學(xué)成分含量進(jìn)行預(yù)處理，將成分比例累加和介于85%～105%之間的數(shù)據(jù)視為有效數(shù)據(jù)，從而刪掉15 號(hào)和17 號(hào)并將表結(jié)合。結(jié)合玻璃的類型，我們分別對(duì)高鉀類，和鉛鋇類的風(fēng)化前后變化差異進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，以及有無風(fēng)化各成分的均值是什么，假設(shè)檢驗(yàn)，從而分析文物樣品表面有無風(fēng)化化學(xué)成分含量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

最后，通過給定的數(shù)據(jù)，判斷出二氧化硅為主要成分，所以針對(duì)風(fēng)化的玻璃文物數(shù)據(jù)做Logistic 回歸模型，令高鉀為“0”，鉛鋇為“1”，預(yù)測(cè)出其類別，從而得出風(fēng)化前的化學(xué)成分含量[1]。

2.2 化學(xué)成分亞類劃分及敏感性分析

針對(duì)問題二，依據(jù)附件數(shù)據(jù)分析高鉀玻璃、鉛鋇玻璃的分類規(guī)律，該問要求對(duì)于每個(gè)類別選擇合適的化學(xué)成分對(duì)其進(jìn)行亞類劃分，給出具體的劃分方法及劃分結(jié)果，并對(duì)分類結(jié)果的合理性和敏感性進(jìn)行分析。

通過數(shù)據(jù)分析高鉀玻璃、鉛鋇玻璃的分類規(guī)律，我們采用聚類分析模型中的K-means 算法，對(duì)于每個(gè)類別所有的化學(xué)成分對(duì)其進(jìn)行亞類劃分，得出相關(guān)化學(xué)成分的分類[2-4]。

3 模型假設(shè)

（1）數(shù)據(jù)預(yù)處理后，題目所給的數(shù)據(jù)均是合理的，正確的。（2）題目所提供結(jié)果均符合一般規(guī)律。（3）題目中所給的各項(xiàng)指標(biāo)的測(cè)定時(shí)帶來的誤差忽略不計(jì)。（4）題目不考慮其他因素對(duì)玻璃文物風(fēng)化的影響。（5）題目不考慮隨時(shí)間影響使其風(fēng)化產(chǎn)物產(chǎn)生影響。

4 模型建立與求解

4.1 問題一的模型建立與求解

4.1.1 建立Spearman 和Logistic 回歸模型

1.Spearman 相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算方法：

其中，n是樣本的數(shù)量，d代表數(shù)據(jù)x和y之間的等級(jí)差。

在得到的p值中，如果p值大于0.05，則沒有顯著性差異，也就是說沒有理由認(rèn)為顯著性差異存在，即沒有相關(guān)性，如果p值小于0.05，我們可以認(rèn)為存在顯著性差異。

2.Logistic 回歸的原理是用邏輯函數(shù)把線性回歸的結(jié)果(-∞,+∞)映射到(0,1)。故先建立線性回歸表達(dá)式和邏輯函數(shù)表達(dá)式。

線性回歸函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：y=θ0+θ1*x1+θ2*x2+…+θnxn=θTx，其中xi是自變量，y是因變量，y的值域?yàn)?-∞,+∞)，θ0是常數(shù)項(xiàng)，θi是待求系數(shù)，不同的權(quán)重θi反映了自變量對(duì)因變量不同的貢獻(xiàn)程度。

邏輯函數(shù)表達(dá)式：

邏輯回歸函數(shù)表達(dá)式：

在邏輯回歸函數(shù)中用邏輯函數(shù)把線性回歸的結(jié)果(-∞,+∞)映射到(0,1)，得到的結(jié)果類似一個(gè)概率值。上式中xi表示給的表中的14個(gè)特征，y代表玻璃表面的“風(fēng)化”“未風(fēng)化”，當(dāng)y為1 表示為“風(fēng)化”，當(dāng)y為0表示“未風(fēng)化”時(shí)，這樣我們可以進(jìn)一步地把邏輯函數(shù)的值定義為風(fēng)化的概率：

其表示未風(fēng)化的概率為：

我們用極大似然數(shù)求解邏輯回歸中的參數(shù)。其中y∈{0,1,}。θi為待求參數(shù)[5]。

4.1.2 Spearman 和Logistic 回歸模型的求解

通過MATLAB 求解，我們計(jì)算出變量之間的斯皮爾曼系數(shù)，得出表面風(fēng)化與類型的相關(guān)系數(shù)為0.3444較大，顏色與類型的相關(guān)系數(shù)為0.3733 較大。

通過MATLAB 求解，得出表面風(fēng)化與類型的顯著性較高，類型和顏色的顯著性較高，它們的相關(guān)性成立。

在樣本數(shù)量大于30 的情況下，我們可以通過構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量的方式進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，以下的統(tǒng)計(jì)量是符合正態(tài)分布的。結(jié)合玻璃的類型，我們分別對(duì)高鉀類和鉛鋇類的風(fēng)化前后變化差異進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，假設(shè)檢驗(yàn)。最終結(jié)果符合原假設(shè)，且高鉀類和鉛鋇類風(fēng)化前后主要化學(xué)成分二氧化硅差異比較大，高鉀類風(fēng)化后，二氧化硅含量變多了，鉛鋇類風(fēng)化后二氧化硅含量變少了。

最后，我們通過給定的數(shù)據(jù)，判斷出二氧化硅為主要成分，所以針對(duì)風(fēng)化的玻璃文物數(shù)據(jù)做Logistic 回歸模型，由MATLAB 求解出解析式為：

由模型分析結(jié)果得出p-value 為0.00575＜0.05，則該模型符合，預(yù)測(cè)出其類別，將實(shí)際的成分與前面求得的各類的風(fēng)化產(chǎn)物成分進(jìn)行比較，從而得出風(fēng)化前的化學(xué)成分含量。

4.2 問題二的模型建立與求解

4.2.1 建立K-means 聚類模型

設(shè)有N個(gè)樣品，每個(gè)樣品測(cè)得n項(xiàng)指標(biāo)(變量)，原始資料陣為：

其中xij(i=1,…,N,j=1,…,n)為第i個(gè)樣品的第j個(gè)指標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)。第i個(gè)樣品，Xi為矩陣X的第i行所描述，所以任何兩個(gè)樣品xk與xl之間的相似性，可以通過第k行和第l行的相似程度來刻畫；任何兩個(gè)指標(biāo)xk與xl之間的相似性，可以以通過第k列和第l列的相似程度來刻畫。

對(duì)N個(gè)樣品進(jìn)行分類的方法，稱為Q型聚類法，常用的統(tǒng)計(jì)量是用“距離”來表達(dá)。對(duì)應(yīng)該題N為各類的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，化學(xué)成分為指標(biāo)。

1.聚類模型的歐式距離。如果把N個(gè)樣品（X中的N個(gè)行）看成p維空問中的N個(gè)點(diǎn)，則兩個(gè)樣品間相似程度可用p維空間中地兩點(diǎn)距離來度量。令dij表示樣品xi與xj之間的距離。

當(dāng)q=2 時(shí)為歐氏距離：

計(jì)算任何兩個(gè)樣品Xi與Xj，之間的距離dij，其值越小表示兩個(gè)樣品接近程度越大，值越大表示兩樣品接近程度越小。如果把任何兩個(gè)樣品的距離都算出來后，可排成距離陣D：

其中d11=d22=…=dNN=0.D是一個(gè)實(shí)對(duì)稱陣，所以只需計(jì)算上三角形部分或下三角形部分即可。根據(jù)D可對(duì)N個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分類，距離近的點(diǎn)歸為一類，距離遠(yuǎn)的點(diǎn)歸為不同的類。

2.聚類模型的相關(guān)系數(shù)。通常所說的相關(guān)系數(shù)，一般是指變量間的相關(guān)系數(shù)，作為刻畫樣品間的相關(guān)關(guān)系也可類似給出定義，即第i個(gè)樣品與第j個(gè)樣品之間的相關(guān)系數(shù)定義為：

于是R=（rij），其中r11=r22=…=rNN=1，可根據(jù)R對(duì)N個(gè)樣品進(jìn)行分類[6]。

3.K-means 算法。K-means 算法是最常用的聚類算法，主要思想是：在給定K 值和K 個(gè)初始類簇中心點(diǎn)的情況下，把每個(gè)點(diǎn)（亦即數(shù)據(jù)記錄）分到離其最近的類簇中心點(diǎn)所代表的類簇中，所有點(diǎn)分配完畢之后，根據(jù)一個(gè)類簇內(nèi)的所有點(diǎn)重新計(jì)算該類簇的中心點(diǎn)（取平均值），然后再迭代地進(jìn)行分配點(diǎn)和更新類簇中心點(diǎn)的步驟，直至類簇中心點(diǎn)的變化很小，或者達(dá)到指定的迭代次數(shù)。

4.2.2 K-means 聚類模型求解

具體的劃分方法及劃分結(jié)果：

我們采用聚類分析模型中的K-means 算法，對(duì)于每個(gè)類別所有的化學(xué)成分對(duì)其進(jìn)行亞類劃分。通過MA TLAB 求解得：

高鉀類分成亞類劃分大致可分為三類：

第一類：二氧化硅(SiO2)。

第二類：氧化鉀(K2O)。

第三類：氧化鈉(Na2O)、氧化鈣(CaO)、氧化鎂(MgO)、氧化鋁(Al2O3)、氧化鐵(Fe2O3)、氧化銅(CuO)、氧化鉛(PbO)、氧化鋇(BaO)、五氧化二磷(P2O5)、氧化鍶(SrO)、氧化錫(SnO2)、二氧化硫(SO2)。

鉛鋇類成分亞類劃分大致主要分為三類：

第一類：二氧化硅(SiO2)。

第二類：氧化鉛(PbO)。

第三類：氧化鈉(Na2O)、氧化鉀(K2O)、氧化鈣(CaO)、氧化鎂(MgO)、氧化鋁(Al2O3)、氧化鐵(Fe2O3)、氧化銅(CuO)、氧化鋇(BaO)、五氧化二磷(P2O5)、氧化鍶(SrO)、氧化錫(SnO2)、二氧化硫(SO2)。

對(duì)分類結(jié)果的合理性和敏感性進(jìn)行分析，通過MATLAB 求解得出：高鉀類和鉛鋇類化學(xué)成分的分類情況與實(shí)際情況相吻合，主要成分分類中，二氧化硅都占為一類，該結(jié)果比較合理；鉛鋇類比高鉀類的分類多一類，若變動(dòng)某化學(xué)成分含量，則結(jié)果可能不準(zhǔn)確。

5 模型評(píng)價(jià)

5.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

1.建立的Logistic 回歸模型以及判別分析模型可以更好地判別出未知數(shù)據(jù)的所屬特征，簡(jiǎn)單易懂，有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，且易于應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中。

2.建立的主成分分析模型，可以更好地看出變量之間的相關(guān)性，把復(fù)雜的數(shù)據(jù)綜合化，使其盡可能地反映原來的信息，降低了復(fù)雜性。

3.建立的聚類分析可以把一堆成分進(jìn)行進(jìn)一步的分類，使其更好地展現(xiàn)成分之間的關(guān)系。

5.2 模型的缺點(diǎn)

1.在問題一中，斯皮爾曼系數(shù)對(duì)于變量之間的相關(guān)性分析不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

2.在問題二中，我們用的是聚類分析中的最短距離法，還可以用更好的方法來對(duì)主要成分進(jìn)行亞分類，對(duì)結(jié)果的敏感性分析不夠完善。

6 模型的應(yīng)用及推廣

6.1 模型的改進(jìn)

在問題一中，在變量分析中，其實(shí)我們可以用卡方檢驗(yàn)來分析不同變量之間的相關(guān)性。可以用更多的數(shù)據(jù)來對(duì)建立的邏輯回歸的模型進(jìn)行驗(yàn)證，看它是否更貼合實(shí)際。

6.2 模型的推廣

1.判別分析與回歸分析相似，可用于確定哪些預(yù)測(cè)變量與因變量相關(guān)，并在給定預(yù)測(cè)變量的某些值的情況下預(yù)測(cè)因變量的值。在實(shí)際生活中，判別分析也被廣泛用于預(yù)測(cè)事物的類別歸屬。企業(yè)營(yíng)銷中，營(yíng)銷人員可通過已有的客戶特征數(shù)，預(yù)測(cè)當(dāng)前的消費(fèi)者屬于哪種類型的顧客，并根據(jù)其特點(diǎn)有針對(duì)性地采取有效的營(yíng)銷手段，或是根據(jù)各成分含量指標(biāo)，判斷特征等。判別分析還可與聚類分析結(jié)合使用，如同本文一樣。比如，銀行確認(rèn)一些用戶的資格之前，可通過此方法判斷申請(qǐng)人是否具有良好的信用風(fēng)險(xiǎn)。

2.聚類用于基于模式識(shí)別過程將數(shù)據(jù)劃分為不相交的組；在生物學(xué)中聚類是遺傳學(xué)和分類學(xué)的重要工具，有助于理解生物和滅絕生物的進(jìn)化。還有建立推薦系統(tǒng)、社交媒體網(wǎng)絡(luò)分析、土地利用分類中的空間分析等。