朱強(qiáng)國鄭友成周 鑠劉周龍王光慶張貝奇

(浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院(薩塞克斯人工智能學(xué)院)，浙江 杭州 310018)

近年來，低功耗電子設(shè)備和器件(如無線傳感器節(jié)點(diǎn)、通信節(jié)點(diǎn)、無人機(jī)、可穿戴、可植入電子產(chǎn)品等)的飛速發(fā)展，對其供電技術(shù)提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)電池供電因壽命短、不能夠持續(xù)供能，且更換/維護(hù)/回收處理成本高等問題越來越無法滿足上述供電需求。壓電振動(dòng)能量采集器(Piezoelectric Energy Harvester，PEH)是利用壓電陶瓷的正壓電效應(yīng)采集器件工作中的環(huán)境振動(dòng)能，并將其轉(zhuǎn)換成電能的新型機(jī)電轉(zhuǎn)換器件，因其結(jié)構(gòu)簡單、壽命長和能量轉(zhuǎn)換密度高等優(yōu)點(diǎn)成為微能源領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。它有望代替電池實(shí)現(xiàn)對低功耗設(shè)備和器件的自供電[1-2]。

早期研制的壓電振動(dòng)能量采集器工作頻帶窄，在非共振區(qū)域效率較低[3]。為了提高能量采集器的輸出性能，人們分別從采集器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)以及接口轉(zhuǎn)換電路優(yōu)化等方面開展了大量的研究。在采集器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，采用非線性技術(shù)構(gòu)造雙穩(wěn)態(tài)、三穩(wěn)態(tài)以及多穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器被證明能有效提高采集器的輸出性能和轉(zhuǎn)換效率[4-7]。Wang[8]和Yang等[9-10]基于三穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁模型，通過數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)方法論證了三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器具有更寬的工作頻帶和更高的能量轉(zhuǎn)換輸出。Zhu等[11]研究了三穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)中不同勢能阱的輸出特性。然而，大部分能量采集器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究忽略了采集器與接口轉(zhuǎn)換電路的耦合動(dòng)力學(xué)特性，而是將接口轉(zhuǎn)換電路和負(fù)載器件等效成為純電阻，也就說這種等效負(fù)載電阻實(shí)現(xiàn)的交流供電。但在實(shí)際應(yīng)用中，大部分的電子設(shè)備或可充電電池都需要直流電壓給設(shè)備供電。因此，必須要通過接口轉(zhuǎn)換電路將壓電振動(dòng)能量采集系統(tǒng)輸出的交流電轉(zhuǎn)化為直流電[12-14]。

接口電路的研究是提高能量采集器輸出性能的另一個(gè)重要方面。當(dāng)前，有四種主要的接口電路被廣泛研究并應(yīng)用于將能量采集器的電氣輸出從交流電壓整流為直流電壓，即標(biāo)準(zhǔn)二極管橋式整流濾波電路(SEH)、并聯(lián)同步電感開關(guān)接口電路(PSSHI)、串聯(lián)同步電感開關(guān)接口電路(S-SSHI)和同步電荷提取接口電路(SCE)[15-23]。然而，在大多數(shù)強(qiáng)調(diào)接口電路的研究中，采集器的機(jī)械性能和耦合條件很少受到關(guān)注。一方面，忽略機(jī)械性能和耦合條件可能會導(dǎo)致對采集器系統(tǒng)中某些細(xì)節(jié)的誤解。另一方面，大多數(shù)強(qiáng)調(diào)接口電路的研究是基于接口電路直接串聯(lián)或并聯(lián)到線性能量采集器的模型，該線性能量采集器通常被視為等效于恒流源[23]。特別地，針對非線性壓電能量采集器與非線性接口轉(zhuǎn)換電路的耦合動(dòng)力學(xué)特性目前還不多見[24-26]。Liu[24]和King等[25]研究了耦合優(yōu)化SCE電路的雙穩(wěn)態(tài)能量采集器。Cheng等[26]提出了一種改進(jìn)的具有可控最佳電壓的P-SSHI電路(COV-PSSHI)，通過在存儲器和電力負(fù)載之間使用電壓控制策略來提高雙穩(wěn)態(tài)采集器的輸出性能。為了進(jìn)一步探明能量采集器性能的增強(qiáng)機(jī)理，有必要對非線性壓電能量采集器及其非線性接口轉(zhuǎn)換電路相互作用產(chǎn)生的耦合動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)一步分析表征。

本文以非線性雙自由度三穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器及其二極管整流濾波接口轉(zhuǎn)換電路為對象，基于能量法建立了系統(tǒng)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程，利用諧波平衡法求解得到系統(tǒng)在諧波激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)輸出表達(dá)式及其穩(wěn)定性判別矩陣——雅克比矩陣，仿真和實(shí)驗(yàn)分析激勵(lì)加速度、負(fù)載電阻等因素對系統(tǒng)振幅和輸出功率的影響以及對比外接交流電路和外接直流電路的影響。研究成果可以應(yīng)用于可穿戴和植入設(shè)備、汽車和鐵路系統(tǒng)、旋轉(zhuǎn)機(jī)器、可再生能源系統(tǒng)和環(huán)境監(jiān)測等設(shè)備中無線傳感器節(jié)點(diǎn)的自供電系統(tǒng)，提高器件的使用壽命和安全性。

1 系統(tǒng)理論模型

圖1所示為非線性雙自由度三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器及其二極管整流濾波接口轉(zhuǎn)換電路(簡稱ACDC接口轉(zhuǎn)換電路)，雙自由度三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器是由基座、彈簧、阻尼器以及三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器(TPEH，Tri-stable Piezoelectric Energy Harvester)組成。AC-DC接口轉(zhuǎn)換電路由二極管整流橋、濾波電容和負(fù)載電阻構(gòu)成。假設(shè)采集器懸臂梁的長度為L，其根部上下表面粘有長度為L1的壓電片，磁鐵A位于懸臂梁末端。磁鐵B、C關(guān)于x軸對稱地固定在U型基座右端上，其豎直距離為d g，與磁鐵A水平距離為d。u2(t)、u1(t)和u0(t)分別為懸臂梁的絕對位移、U型框絕對位移和基礎(chǔ)激勵(lì)振動(dòng)位移，其中¨u0(t)＝U0cos(ωt)為激振加速度，U0為振幅，ω為激振頻率。M1表示U型框和兩塊外部磁鐵的質(zhì)量和，K1和C1分別表示彈簧剛度和阻尼器的阻尼。w(x，t)表示t時(shí)刻距離懸臂梁根部x處采集器相對于U型框的振動(dòng)位移。以采集器懸臂梁根部中點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系統(tǒng)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閦軸。則有:

圖1 三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器和接口電路模型

式中:y(t)表示U型框相對于基礎(chǔ)激勵(lì)的振動(dòng)位移。

假設(shè)壓電懸臂梁滿足歐拉-伯努利梁理論，則采集器的振動(dòng)位移可以寫成:

則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可以用能量法和Lagrange方程得到，系統(tǒng)的Lagrange方程可以表示為:

式中:T s、Us為基板的動(dòng)能、勢能；T p、U p為壓電片的動(dòng)能、勢能；T m、Um為磁鐵A的動(dòng)能、勢能，Tm1、Um1為M1動(dòng)能、彈簧勢能；W e為采集器輸出的電能，其各自表達(dá)式表示如下:

式中:ρs，A s，b s，h s和ρp，A p，b p，h p分別為懸臂梁基板和壓電片的密度、橫截面積、寬度以及厚度；mt和I t是磁鐵A的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；E s、I s和E p、I p分別是基板和壓電片的彈性模量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；e31為壓電應(yīng)力常數(shù)；C p為壓電片等效夾持電容；V p為采集器輸出電壓。

將式(4)～式(11)代入式(3)整理得到系統(tǒng)拉格朗日方程:

式中:

式中:rm和rk分別為系統(tǒng)質(zhì)量比和剛度比；θ為系統(tǒng)機(jī)電耦合系數(shù)。

系統(tǒng)的廣義耗散力和廣義電流可以表示為:

式中:ω1為采集器諧振頻率，ξ為阻尼系數(shù)，V(t)為接口電路輸出電壓。

則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以通過下面的方程進(jìn)行推導(dǎo)

則動(dòng)力學(xué)方程組為:

式中:C2＝2ξω1M2，F(xiàn) m(t)＝k1r(t)＋k2r2(t)＋k3r3(t)＋k4r4(t)＋k5r5(t)為三穩(wěn)態(tài)采集器非線性磁力，系數(shù)k i(i＝1，2，…，5)可由磁鐵A、B和C之間的幾何位置關(guān)系和磁化強(qiáng)度獲得。

①對于交流輸出情況，即采集器兩壓電陶瓷直接外接負(fù)載電阻，V(t)＝V p(t)，則式(16)中電流可表示為:

②對于直流輸出情況，即采集器兩壓電陶瓷接整流、濾波和負(fù)載電阻，如圖1所示，當(dāng)采集器外接電路為標(biāo)準(zhǔn)整流電路，i是通過二極管橋的電流，將電壓整流為直流電壓。此時(shí)V(t)＝Vr(t)，V r(t)是整流濾波電路輸出電壓。在一個(gè)周期中，整流橋交替導(dǎo)通和阻斷。當(dāng)｜V p｜＜V r時(shí)，電橋仍處于阻斷狀態(tài)，電路中無電流流過；當(dāng)｜V p｜達(dá)到整流電壓Vr時(shí)，整流橋就會導(dǎo)通，電路中有電流流過。整流橋從導(dǎo)通到阻斷的狀態(tài)切換發(fā)生在振動(dòng)位移的最大點(diǎn)，也是速度的零交叉點(diǎn)。在本研究中，選取一個(gè)相對較大的濾波電容來獲得近乎恒定的直流電壓。因此，式(16)中電流表示為:

2 諧波平衡解及其穩(wěn)定性分析

利用諧波平衡法對式(16)求解，假設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為:

式中:a0為平衡位置，振動(dòng)位移幅值可表示為:

2.1 采集器外接AC-DC接口轉(zhuǎn)換電路

當(dāng)采集器外接AC-DC接口轉(zhuǎn)換電路(亦稱標(biāo)準(zhǔn)整流濾波電路)時(shí)，根據(jù)式(18)、式(19)可得出V p和V r之間關(guān)系為:

式中:θ1為二極管整流橋關(guān)斷角。由式(20)解得:

由于流經(jīng)二極管的電荷量與消耗在負(fù)載電阻上的電荷量是相等的，則在半個(gè)周期內(nèi)根據(jù)能量守恒原理得:

由于AC-DC電路二極管的通斷導(dǎo)致采集器壓電陶瓷兩端電壓V p是不連續(xù)的分段函數(shù)，無法采用諧波平衡法對系統(tǒng)方程求解。這里我們采用V p，f的基波信號代替V p進(jìn)行求解，對陶瓷輸出電壓V p進(jìn)行傅里葉變換，取其基波信號，其基諧波分量V p，f可以近似的為下式:

將式(19)和式(23)代入式(16)第一個(gè)式子中，令方程兩邊常數(shù)項(xiàng)、cos(ωt)和sin(ωt)的系數(shù)相同，并忽略高次諧波項(xiàng)以及二階微分項(xiàng)得到:

同理將式(19)代入式(16)第二個(gè)式子中并令cos(ωt)、sin(ωt)分別相等得到:

將式(29)、式(30)代入式(25)、式(26)中可得:

式中:

令

將式(31)和式(32)兩邊同時(shí)平方相加得到下式:

式(33)是以A0為變量的十次方程，解式(33)即可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)位移振幅，將其代入式(22)可得直流輸出電壓V r，則AC-DC接口轉(zhuǎn)換電路的有效輸出功率為:

2.2 采集器直接外接負(fù)載電阻

當(dāng)采集器直接外接負(fù)載電阻(亦稱交流電路)時(shí)，則壓電片兩端電壓可以表示為:

同理將式(19)和式(35)代入式(16)，利用諧波平衡法得到式(33)，其中得到D1、D2如下:

解式(33)后將結(jié)果代入上述表達(dá)式可得p1和p2，則電路有效輸出功率為:

2.3 系統(tǒng)解穩(wěn)定性分析與判斷

系統(tǒng)解的穩(wěn)定性通過雅可比矩陣J進(jìn)行判斷，如果該矩陣所有特征值實(shí)部均小于零，則為穩(wěn)定解，否則為不穩(wěn)定解。取向量α＝[a0a1a2b1b2]T，則式(24)～式(28)可寫成

式中:

Q是5×1矩陣，每行對應(yīng)著式(24)～式(28)中的右邊，則雅克比矩陣J為:

將由式(33)解得的位移幅值A(chǔ)0以及給定的系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)條件代入到式(38)中，判斷其特征值的實(shí)部是否為負(fù)，即可判定其穩(wěn)定性。

3 系統(tǒng)仿真分析

本節(jié)重點(diǎn)仿真分析系統(tǒng)參數(shù)、激勵(lì)條件以及接口電路參數(shù)等對采集器輸出性能的影響規(guī)律，獲取采集器與接口之間的耦合動(dòng)力學(xué)機(jī)理。

3.1 加速度幅值U0對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響

當(dāng)激勵(lì)頻率f＝10 Hz，磁鐵間距d＝20 mm，外部磁鐵間距d g＝10 mm，r m和r k都為16時(shí)，圖2(a)～(c)是U0分別為2 m/s2、5 m/s2、10 m/s2時(shí)采集器振動(dòng)位移的頻響特性曲線，由圖2(a)可見系統(tǒng)響應(yīng)存在三個(gè)穩(wěn)定解和兩個(gè)不穩(wěn)定解，實(shí)線和虛線分別是系統(tǒng)的穩(wěn)定響應(yīng)和不穩(wěn)定響應(yīng)。阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定響應(yīng)中有兩處區(qū)域可以使系統(tǒng)做大幅度振動(dòng)，分別在4.5 Hz附近和17 Hz～19 Hz，較低頻率點(diǎn)為彈簧諧振頻率，頻帶范圍較窄，較高頻率點(diǎn)為懸臂梁諧振頻率，頻帶范圍較寬。由圖2可以看出，隨著加速度U0的增大，阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)和阱間運(yùn)動(dòng)的幅值都基本不變，說明采集器的振動(dòng)位移達(dá)到最大值。但阱間頻帶范圍隨著激勵(lì)加速度U0的增大明顯增大，并且能夠引起阱間運(yùn)動(dòng)的最小頻率在不斷減小，分別在2.5 Hz～7.8 Hz、1.3 Hz～13.7 Hz和0.7 Hz～23 Hz。

圖2 不同加速度(U0)下振動(dòng)位移的頻率響應(yīng)曲線

3.2 磁鐵間距d對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響

當(dāng)激勵(lì)頻率f＝10 Hz，激勵(lì)加速度U0＝5 m/s2，外部磁鐵間距d g＝10 mm，r m和r k都為16時(shí)，圖3(a)～(c)是d分別為16 mm、18 mm、20 mm時(shí)振動(dòng)位移的頻響特性曲線，可以看出隨著磁鐵間距d的增加，阱間運(yùn)動(dòng)的頻帶范圍增大，分別為2.1 Hz～9.5 Hz、1.5 Hz～11.7 Hz和1.3 Hz～13.6 Hz，且引起阱間運(yùn)動(dòng)的最小頻率在不斷減小以及振幅略有減??；對于阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，引起較大振幅的彈簧諧振頻率基本無變化(4.5 Hz左右)，而懸臂梁諧振頻率明顯左移，即懸臂梁的諧振頻率變小，分別集中在36 Hz～40 Hz、24 Hz～28 Hz和16 Hz～20 Hz左右，可以看出當(dāng)兩處區(qū)域接近時(shí)，可以拓寬阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的頻帶寬度?？梢姡m當(dāng)?shù)拇盆F間距d可以使系統(tǒng)不僅更加容易進(jìn)入大幅阱間運(yùn)動(dòng)而且增大了阱間運(yùn)動(dòng)頻帶范圍，提高能量采集效率。

圖3 不同磁體間距(d)下振動(dòng)位移的頻率響應(yīng)曲線

3.3 質(zhì)量比rm和剛度比rk對系統(tǒng)的影響

圖4所示為激勵(lì)頻率f＝10 Hz，激勵(lì)加速度U0＝5 m/s2，磁鐵間距d＝20 mm，外部磁鐵間距d g＝10 mm，剛度比r k＝16，質(zhì)量比r m分別為1、10、20時(shí)振動(dòng)位移的頻響特性曲線?？梢钥闯鲭S著r m的增大，阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)彈簧諧振頻率減小，懸臂梁諧振頻率基本不變(16 Hz～19 Hz左右)；隨著質(zhì)量比的增大，阱間運(yùn)動(dòng)的頻率范圍分別集中在2 Hz～14.4 Hz、1.5 Hz～13.9 Hz和1.2 Hz～13.6 Hz，可見，增大質(zhì)量比可以使采集器在更低的激勵(lì)頻率下進(jìn)入阱間運(yùn)動(dòng)。

圖4 不同質(zhì)量比(r m)對頻率響應(yīng)曲線的影響

同樣地，圖5所示是質(zhì)量比r m＝16，剛度比r k分別為1、10、20時(shí)振動(dòng)位移的頻響特性曲線。隨著r k的增大，阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)彈簧諧振頻率右移，頻率分別集中在1 Hz、3.5 Hz和5 Hz左右；阱間運(yùn)動(dòng)頻帶范圍分別在0.1 Hz～12.6 Hz、0.9 Hz～13.3 Hz和1.6 Hz～14 Hz，頻帶范圍基本不變，但能夠引起阱間運(yùn)動(dòng)的最小頻率在增大，也就是說剛度比的增大并不利于系統(tǒng)在低頻激勵(lì)作用下進(jìn)入阱間運(yùn)動(dòng)。

圖5 不同剛度比(rk)對頻率響應(yīng)曲線的影響

3.4 外部磁鐵間距d g對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響

當(dāng)激勵(lì)頻率f＝10 Hz，激勵(lì)加速度U0＝5 m/s2，磁鐵間距d＝20 mm，r m和r k都為16時(shí)，圖6(a)給出了d g＝5 mm時(shí)的振動(dòng)位移頻率響應(yīng)特性曲線，此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，系統(tǒng)表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)特性；圖6(b)～(c)分別是d g＝10 mm和13 mm時(shí)振動(dòng)位移的頻響特性曲線，此時(shí)系統(tǒng)均具有三個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和兩個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。隨著外部磁鐵間距d g的增大，阱間運(yùn)動(dòng)的頻帶范圍明顯減小，分別為1.3 Hz～13.7 Hz和2.7 Hz～7.4 Hz，且能夠引起阱間運(yùn)動(dòng)的最小頻率在增大以及振幅明顯增大，這是因?yàn)殡S著外部磁鐵間距d g的增大，突破勢阱所需要的能量增加，采集器系統(tǒng)更難進(jìn)入高能軌道振動(dòng)狀態(tài)；對于阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，彈簧諧振頻率基本不變(4.4 Hz左右)，而懸臂梁的諧振頻率在增大，分別在16 Hz～19 Hz、22 Hz～25 Hz左右。

圖6 不同外部磁體間距(d g)下振動(dòng)位移頻率響應(yīng)曲線

3.5 負(fù)載電阻R對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響

當(dāng)激勵(lì)加速度U0＝5 m/s2，d＝20 mm，d g＝10 mm，rm＝r k＝16時(shí)，由圖2(c)可知系統(tǒng)在激勵(lì)頻率f＝1.3 Hz～13.7 Hz內(nèi)作阱間運(yùn)動(dòng)，其振幅隨著頻率增大而增大，但是其中f＝4.35 Hz～4.45 Hz時(shí)，系統(tǒng)處于彈簧諧振頻率，其振幅遠(yuǎn)大于其他頻率下的振幅；當(dāng)激勵(lì)頻率f＞13.7 Hz時(shí)，只有阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其振幅隨著頻率增大而減小。基于圖2(c)的仿真結(jié)果，圖7(a)、(b)所示是不同激勵(lì)頻率f＝[2 4.3 4.4 12 17 18]Hz下，負(fù)載電阻R與整流電壓V r以及功率P之間的關(guān)系曲線。由圖7電壓曲線可以看出:隨著電阻R的不斷增大，輸出電壓快速增大到某個(gè)值后趨于穩(wěn)定。隨著激勵(lì)頻率的增大，整流電壓呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢。從圖7功率曲線可以看出，隨著負(fù)載電阻的增大，輸出功率呈現(xiàn)先快速增大再緩慢減小的變化曲線；隨著激勵(lì)頻率的增大，輸出功率變化趨勢和整流電壓的變化趨勢相似，先增大后減小。當(dāng)負(fù)載電阻與采集器阻抗完全匹配時(shí)，采集器輸出功率達(dá)到最大值，此時(shí)負(fù)載電阻為最優(yōu)負(fù)載電阻。從圖7功率曲線中還能看出隨著激勵(lì)頻率的增大，最優(yōu)負(fù)載電阻的阻值在不斷減小。

圖7 不同頻率下整流電路中負(fù)載電阻和電壓、功率之間的關(guān)系

3.6 機(jī)電耦合系數(shù)θ對系統(tǒng)的影響

根據(jù)式(12)中機(jī)電耦合系數(shù)θ方程中可知，機(jī)電耦合系數(shù)主要由壓電應(yīng)力常數(shù)e31決定，它是反應(yīng)壓電能量采集器機(jī)械能轉(zhuǎn)換電能能力的主要參數(shù)。取θ＝5.38×10-8、θ＝5.38×10-6和θ＝5.38×10-3，分別表示三種耦合情況，即:弱耦合、中耦合和強(qiáng)耦合，研究3種耦合條件下機(jī)電耦合系數(shù)對系統(tǒng)振動(dòng)位移、整流電壓和輸出功率的影響，如圖8所示。由圖8可以看出:在一定范圍內(nèi)(耦合系數(shù)θ從5.38×10-8到5.38×10-6)，隨著耦合系數(shù)不斷增大，系統(tǒng)的位移幅值基本上沒有變化但是輸出電壓和功率明顯增大；當(dāng)耦合系數(shù)過大時(shí)，即耦合系數(shù)達(dá)到θ＝5.38×10-3時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)位移幅值大大降低，阱間運(yùn)動(dòng)完全消失，只存在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。但是，當(dāng)激振頻率f位于4.43 Hz～4.45 Hz頻帶范圍內(nèi)時(shí)，阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)具有較高的振幅、輸出電壓和功率。整流電壓和輸出功率則隨耦合系數(shù)的增大呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢。這是因?yàn)殡S著耦合系數(shù)的增大，機(jī)械能轉(zhuǎn)移到電能的占比增大，但是也降低了每個(gè)振動(dòng)分支的響應(yīng)振幅，也就是說懸臂梁的機(jī)械能更少，所以在適度的耦合系數(shù)范圍內(nèi)，具有更高的輸出電壓和功率，而更大的耦合系數(shù)導(dǎo)致較低的振幅、輸出電壓和功率。

圖8 不同耦合系數(shù)(θ)下系統(tǒng)振動(dòng)位移、整流電壓和輸出功率的頻響特性

3.7 整流電路接口和交流電路接口對比

圖9顯示了標(biāo)準(zhǔn)整流電路和交流電路情形下系統(tǒng)振動(dòng)位移和輸出功率的動(dòng)態(tài)響應(yīng)輸出結(jié)果，機(jī)電耦合系數(shù)θ＝5.38×10-7。由圖9(a)能夠看出外接交流電路和標(biāo)準(zhǔn)整流電路的位移幅度幾乎相同。在圖9(b)中，標(biāo)準(zhǔn)整流電路的收獲功率略低于交流電路的平均功率。這是因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)整流電路中，部分轉(zhuǎn)換后的電能被二極管損耗掉了，導(dǎo)致負(fù)載電路消耗的功率略有降低；而所有流入交流電路的轉(zhuǎn)換電能都被電阻性負(fù)載消耗掉了。

圖9 標(biāo)準(zhǔn)整流電路與交流電路接口系統(tǒng)中頻響特性

圖10是兩種電路連接下采集器輸出動(dòng)態(tài)特性隨耦合系數(shù)的變化規(guī)律。由圖10可見，在適當(dāng)耦合系數(shù)(θ＜6×10-6)范圍內(nèi)，系統(tǒng)存在阱間運(yùn)動(dòng)和阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)共存的現(xiàn)象，此范圍內(nèi)采集器的振動(dòng)位移幅值隨耦合系數(shù)的增大保持不變，表明小的耦合系數(shù)對采集器的振動(dòng)位移影響較小。標(biāo)準(zhǔn)整流電路條件下采集器阱間運(yùn)動(dòng)的耦合系數(shù)范圍(1×10-8＜θ＜7×10-6)比交流電路的范圍(1×10-8＜θ＜6×10-6)要略寬一些，但其輸出功率要比交流電路的輸出功率略低些，因此在這個(gè)范圍內(nèi)，交流電路可以提取更多的電能；但是在相對較高耦合系數(shù)(θ＞9.5×10-5)的情況下，系統(tǒng)只存在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，耦合系數(shù)對振幅影響明顯，隨著耦合系數(shù)的增大，阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)振幅明顯下降，且標(biāo)準(zhǔn)整流電路的動(dòng)態(tài)響應(yīng)振幅和功率都要高于交流電路，此情況下標(biāo)準(zhǔn)整流電路比交流電路獲得更多的電能。

圖10 標(biāo)準(zhǔn)整流電路和交流電路接口系統(tǒng)中耦合系數(shù)與響應(yīng)振幅和收獲功率上的比較

3.8 電路輸出波形分析

為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)的充放電過程，當(dāng)激勵(lì)頻率f＝6.5 Hz，磁鐵間距d＝20 mm，外部磁鐵間距d g＝12 mm，r m＝r k＝16，圖11(a)和圖11(b)分別是采集器阱間運(yùn)動(dòng)和阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)速度、陶瓷輸出電壓和整流電壓以及輸出電流的波形圖，其激勵(lì)加速度分別為U0＝6 m/s2(阱間運(yùn)動(dòng))和U0＝0.3 m/s2(阱內(nèi)運(yùn)動(dòng))。結(jié)果表明，一個(gè)振動(dòng)周期中的陶瓷輸出電壓和輸出電流可以分為兩個(gè)階段，在(0，θ1)和(π，π＋θ1)期間為放電階段，陶瓷輸出電壓小于整流輸出電壓，整流二極管截止，此時(shí)電路中電流i＝0，在(θ1，π)和(π＋θ1，2π)期間為充電階段，陶瓷輸出電壓高于整流輸出電壓，整流二極管導(dǎo)通，此時(shí)電路中電流存在；當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，其整流電壓基本保持不變，但阱間運(yùn)動(dòng)的整流電壓遠(yuǎn)大于阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，分別為3.1 V和0.23 V，其輸出電流也遠(yuǎn)大于阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的輸出電流。這種充放電現(xiàn)象在交流電路中是無法觀察得到的。

圖11 數(shù)值模擬阱間運(yùn)動(dòng)和阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)、電壓和電流的數(shù)值波形

4 實(shí)驗(yàn)研究與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文數(shù)學(xué)模型和仿真結(jié)果的正確性，研制了雙自由度三穩(wěn)態(tài)能量采集器實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，如圖12(a)、12(b)所示。兩塊相同的壓電片貼附在材料為不銹鋼的懸臂梁上下表面，其末端粘有一個(gè)永久磁鐵，在U形槽的右端固定著兩個(gè)完全相同的外部磁體，其磁場方向與懸臂梁末端磁體相斥。U形槽與底表座之間連接一彈簧，為彈性放大器，外接AC-DC接口轉(zhuǎn)換電路。采集器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖12(c)所示，模擬環(huán)境振動(dòng)的諧波信號由信號發(fā)生器產(chǎn)生，經(jīng)功率放大器放大后，驅(qū)動(dòng)振動(dòng)器來模擬簡諧運(yùn)動(dòng)。采集器懸臂梁的末端位移由位移傳感器測量得到，輸出電壓經(jīng)過二極管，輸出電壓以及整流后的電壓可以通過示波器獲取，最后將所獲取的所有信號送入動(dòng)態(tài)信號分析儀分析輸出。

圖12 雙自由度三穩(wěn)態(tài)樣機(jī)(a-b)和實(shí)驗(yàn)測試系統(tǒng)(c)

取U0＝5 m/s2、d＝20 mm和r m＝r k＝16，圖13所示是外部磁體間距d g分別為10、13、15 mm的位移幅值、電壓和功率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看出實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論仿真結(jié)果基本吻合；隨著外部磁體間距的增大，阱間運(yùn)動(dòng)的頻帶寬度明顯減少，直至消失；阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)兩個(gè)諧振峰之間的間距逐漸增大。

圖13 不同外部磁體間距下，實(shí)驗(yàn)與仿真的頻響特性對比

進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)研究了激勵(lì)加速度U0分別為5和10 m/s2作用下采集器振動(dòng)位移、輸出電壓和功率響應(yīng)特性，如圖14(a)、14(b)所示，可以看出隨著激勵(lì)加速度的增大，阱間運(yùn)動(dòng)的頻帶范圍明顯增大，且能夠引起阱間運(yùn)動(dòng)的最小頻率在減?。欢鴮τ谮鍍?nèi)運(yùn)動(dòng)而言，基本上無變化，激勵(lì)頻率f為5Hz和17Hz時(shí)存在較大振幅。

圖14 不同加速度下，位移、電壓和功率的實(shí)驗(yàn)與仿真的頻響特性對比

實(shí)驗(yàn)獲得的接口電路波形如圖15所示?？梢钥闯鲈谝粋€(gè)振動(dòng)周期內(nèi)有兩處存在三個(gè)波峰和兩個(gè)波谷，即三個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)和兩個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)；壓電片輸出電壓存在充電和放電的過程，經(jīng)過整流電路后的整流電壓最后穩(wěn)定在2.6 V，滿足部分低功耗電子產(chǎn)品的供電需求。實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果產(chǎn)生的誤差如下:①實(shí)驗(yàn)中彈性放大元件受基礎(chǔ)激勵(lì)時(shí)同時(shí)產(chǎn)生垂直及前后的俯仰振動(dòng)，振動(dòng)幅度越大，俯仰振動(dòng)導(dǎo)致的傾斜角度越大，從而導(dǎo)致激光位移所測振動(dòng)速度偏大；②實(shí)驗(yàn)中整流電路中的二極管存在0.5 V～0.7 V的壓降，而仿真中二極管被視為理想二極管，導(dǎo)通壓降為0，所以數(shù)值仿真輸出電壓結(jié)果比實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏大些，誤差在0.6 V左右，可見實(shí)驗(yàn)與數(shù)值仿真基本一致。

圖15 阱間運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與電壓的數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)比較

5 結(jié)論

本文建立了雙自由度三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集系統(tǒng)的非線性機(jī)電耦合運(yùn)動(dòng)方程，對其振動(dòng)特性以及輸出功率進(jìn)行了研究分析，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的正確可行性，得到如下結(jié)論:

①適當(dāng)?shù)拇盆F間距(d)、外部磁鐵間距(d g)、質(zhì)量比(r m)和剛度比(r k)以及激勵(lì)加速度(U0)可以提高能量采集系統(tǒng)的輸出特性，此外對阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)而言，當(dāng)彈簧諧振頻率和懸臂梁諧振頻率接近時(shí)，大振幅具有較寬的頻率帶寬。

②參數(shù)研究顯示較高的耦合系數(shù)θ會影響阱間運(yùn)動(dòng)的有效帶寬。在適當(dāng)?shù)鸟詈舷禂?shù)和負(fù)載電阻的范圍內(nèi)，通過增大耦合系數(shù)或負(fù)載電阻可以獲得更高的電壓和功率。而在相對較高的耦合系數(shù)和負(fù)載電阻范圍內(nèi)，增大耦合系數(shù)或負(fù)載電阻將導(dǎo)致較小的電壓和功率。此外，最佳的負(fù)載電阻取決于激勵(lì)頻率且隨著激勵(lì)頻率的增大而減小。

③在弱耦合系數(shù)下，振幅變化不大，交流電路的輸出功率高于標(biāo)準(zhǔn)整流電路；而對于相對較高的耦合系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)整流電路的振幅要高于整流電路接口的振幅，且隨著耦合系數(shù)的增大而明顯減小，且交流電路的功率要高于整流電路的功率。

④實(shí)驗(yàn)獲得的2.6 V直流輸出電壓完全滿足部分低功耗電子產(chǎn)品(無線傳感器節(jié)點(diǎn)、通信節(jié)點(diǎn))的供電需求。

研究成果可應(yīng)用于公路、鐵路軌道、車輛減震器、海浪、風(fēng)和人體運(yùn)動(dòng)等等振動(dòng)環(huán)境中，實(shí)現(xiàn)較低頻、低激勵(lì)條件下振動(dòng)能量的有效采集和轉(zhuǎn)換，為低功耗電器或設(shè)備提供穩(wěn)定的直流供電。