李嘉偉 （南京大學(xué)建筑與城市規(guī)劃學(xué)院，江蘇 南京 210093）

1 背景

在計(jì)算機(jī)輔助建筑設(shè)計(jì)的研究中，用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行生成式的設(shè)計(jì)是比較熱門的話題?；谏墒降脑O(shè)計(jì)方法，建筑師可以借助計(jì)算機(jī)，通過間接的修改設(shè)計(jì)策略而非直接的修改設(shè)計(jì)結(jié)果的方式，快速大量地獲得建筑設(shè)計(jì)方案，實(shí)現(xiàn)對(duì)多種方案的尋優(yōu)和比較。生成設(shè)計(jì)工具作為建筑生成設(shè)計(jì)方法的外在表現(xiàn)，能夠反映生成設(shè)計(jì)方法的邏輯、操作和結(jié)果，也是研究中最重要的部分。生成設(shè)計(jì)工具通過算法手段，為一類建筑設(shè)計(jì)問題提供一套固定的求解方法，成為有力的設(shè)計(jì)輔助工具，助力建筑師在方案設(shè)計(jì)前期進(jìn)行方案的快速推敲與篩選，提高設(shè)計(jì)階段的質(zhì)量和效率，有效降低設(shè)計(jì)階段的成本。

圖（Graph）是數(shù)學(xué)中圖論領(lǐng)域的主要研究對(duì)象。圖是由若干給定的頂點(diǎn)及連接兩頂點(diǎn)的邊所構(gòu)成的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關(guān)系。頂點(diǎn)用于代表事物，連接兩頂點(diǎn)的邊則用于表示兩個(gè)事物間具有這種關(guān)系。

拓?fù)潢P(guān)系常被建筑師用作表示建筑設(shè)計(jì)中各個(gè)元素之間的關(guān)系。例如，功能拓?fù)潢P(guān)系圖被用來描述建筑內(nèi)部功能單元的連接關(guān)系。拓?fù)潢P(guān)系常常以圖作為可視化的載體，我們可以通過圖來研究建筑設(shè)計(jì)中的拓?fù)潢P(guān)系問題，進(jìn)而從這一角度歸納總結(jié)形成相關(guān)的建筑生成方法。

2 圖與拓?fù)潢P(guān)系在建筑生成方法中的應(yīng)用

圖（Graph）源自于圖論，圖論中的圖（G）是由若干給定的節(jié)點(diǎn)（V）及連接兩點(diǎn)的邊（E）所構(gòu)成的一個(gè)二元組G=〈V，E〉。可以用圖結(jié)構(gòu)來存儲(chǔ)和使用圖，如圖1。圖結(jié)構(gòu)是一種計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)中的常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它與其他計(jì)算機(jī)編程中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（Data Structure）一樣（如鏈表、堆棧、樹結(jié)構(gòu)等），是按照某種順序，對(duì)一堆基本數(shù)據(jù)的封裝方式。

圖1 圖結(jié)構(gòu)與對(duì)偶圖（圖片來源：作者自繪）

對(duì)偶圖（Dual Graph）是一類特殊的圖，如圖1。它的生成方法是：對(duì)于給定平面圖G=〈V，E〉，設(shè)G的面為F?，F(xiàn)?，…，F(xiàn)?，當(dāng)圖G*滿足如下條件時(shí)，則圖G*=〈V*,E*〉稱為G的對(duì)偶圖。

①對(duì)G的每個(gè)面F?，內(nèi)部任選一點(diǎn)v*?∈V*；

②對(duì)F?，F(xiàn)?的每一條公共邊界e?，v?*與v?*間有一條邊e?*，并且e?*與e?交于一點(diǎn)；

③當(dāng)且僅當(dāng)e?僅是一個(gè)面F?的邊界時(shí)，v?*有一個(gè)環(huán)（自回路），e?*與e?相交。

在建筑設(shè)計(jì)領(lǐng)域中最早開始圖相關(guān)的研究是1964年Levin[1]指出了建筑平面布局與圖論兩者之間的關(guān)聯(lián)。自此之后相關(guān)研究逐漸豐富起來。Roth[2]在1988總結(jié)了相關(guān)研究，將相關(guān)研究分類為將圖結(jié)構(gòu)視為關(guān)系圖，以及將圖結(jié)構(gòu)視為關(guān)系圖的對(duì)偶圖這兩個(gè)不同的視角。

在建筑設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)師也經(jīng)常運(yùn)用泡泡圖來表示建筑各部分之間的關(guān)系，可以用圖論中的節(jié)點(diǎn)和邊來進(jìn)行表示，這種類型的圖是屬于將圖結(jié)構(gòu)視為關(guān)系圖的視角。在圖結(jié)構(gòu)視為關(guān)系圖的視角中，圖結(jié)構(gòu)中的頂點(diǎn)是被視為房間，區(qū)域或者是實(shí)體，而圖結(jié)構(gòu)中的邊則被視為是房間，區(qū)域或者是實(shí)體之間的連接關(guān)系。

建筑師所常用的平面圖，在簡(jiǎn)化掉標(biāo)注等信息后，也可以在抽象層面上把它視為是一個(gè)圖結(jié)構(gòu)。此時(shí)這種類型的圖是屬于將圖結(jié)構(gòu)視為關(guān)系圖的對(duì)偶圖的視角。作為對(duì)偶圖，平面圖上墻體或邊界之間的交點(diǎn)被視為是圖結(jié)構(gòu)中的頂點(diǎn)，墻體或邊界則被視為是圖結(jié)構(gòu)中的邊。這個(gè)對(duì)偶圖所對(duì)應(yīng)的關(guān)系圖，就是各個(gè)房間或者區(qū)域之間的拓?fù)潢P(guān)系。

基于圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行建筑生成設(shè)計(jì)的路徑，可以具體分為兩個(gè)階段，拓?fù)潆A段和幾何階段。在拓?fù)潆A段中，主要包括圖結(jié)構(gòu)的整理、復(fù)雜圖結(jié)構(gòu)的拆解以及圖結(jié)構(gòu)的二維平面展開這三方面；在幾何階段中，主要是對(duì)于抽象圖結(jié)構(gòu)的幾何信息賦予。

2.1 從關(guān)系圖視角出發(fā)的研究

從關(guān)系圖出發(fā)的視角，在研究過程中，主要是以圖結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)作為切入，主要需要處理的問題是在幾何階段中，如何在維持現(xiàn)有拓?fù)潢P(guān)系的情況下，合理的布置節(jié)點(diǎn)所代表的房間或區(qū)域，同時(shí)維持房間或區(qū)域的面積屬性。

從關(guān)系圖的視角出發(fā)的相關(guān)研究，思路和方法同質(zhì)化比較嚴(yán)重，基本不會(huì)運(yùn)用圖論相關(guān)知識(shí)與算法，從關(guān)系圖的視角出發(fā)的相關(guān)研究關(guān)注點(diǎn)大多在于對(duì)力導(dǎo)向法及其變體形態(tài)的發(fā)展和優(yōu)化。

首先是Ruch[3]在1978年，將圖結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)的面積作為權(quán)值，形成了面積加權(quán)的連接圖，并利用這個(gè)連接圖，將之轉(zhuǎn)化為正方形的布局，如圖2所示。這成為了后續(xù)從關(guān)系圖的視角出發(fā)的相關(guān)研究的思維起點(diǎn)。

圖2 由關(guān)系圖到正方形布局（圖片來源：RUCH J，1978）

Nourian[4]等人參考了 Mitchell[5]的做法，將包含東南西北方位的邊界節(jié)點(diǎn)融入原有的只包含房間或區(qū)域節(jié)點(diǎn)的圖結(jié)構(gòu)的計(jì)算，從而得以更好的控制生成結(jié)果的朝向。他還使用圖論中的Tutte嵌入（TutteEmbeding）算法[6]，實(shí)現(xiàn)了快速將隨意繪制的平面圖進(jìn)行二維展開，還使用三角剖分的方式窮盡了所有在輸入時(shí)沒有明確定義的拓?fù)溥B接，拓展探索了隱藏的拓?fù)浣饪臻g。最后基于力導(dǎo)向的結(jié)果，如圖3，對(duì)圖結(jié)構(gòu)中代表房間的頂點(diǎn)的布置，隨后用Voronoi圖形的原理將房間填滿整個(gè)邊界并做了正交規(guī)整化的處理，如圖4。Nourian的工作整理和完善整個(gè)從關(guān)系圖視角的生成方法，并且基于他的工作，開發(fā)了Grass?hopper平臺(tái)下的SYNTACTIC插件。

圖3 運(yùn)用力導(dǎo)向法求解功能區(qū)的布局（圖片來源：NOURIAN P，2016）

圖4 引入邊界節(jié)點(diǎn)的SYNTACTIC插件計(jì)算流程（圖片來源：NOURIAN P，2016）

由于圖結(jié)構(gòu)模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，每個(gè)頂點(diǎn)與邊之間相關(guān)的關(guān)聯(lián)關(guān)系較難以控制，導(dǎo)致在構(gòu)建、使用和修改圖結(jié)構(gòu)模型時(shí)較為繁瑣，郭梓峰[7]基于圖結(jié)構(gòu)與連接矩陣在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上可以相互轉(zhuǎn)換，選擇使用連接矩陣來構(gòu)建和修改圖結(jié)構(gòu)，提高了計(jì)算效率。郭梓峰也將基于多智能體的圖結(jié)構(gòu)生成方法與格網(wǎng)模型做了結(jié)合，從而得到了較為規(guī)整化的生成結(jié)果。基于三維格網(wǎng)，做了三維空間拓?fù)潢P(guān)系生成的嘗試。并將生成結(jié)果轉(zhuǎn)化為基于格網(wǎng)的模型，如圖5。

圖5 三維空間拓?fù)潢P(guān)系生成及形體轉(zhuǎn)化（圖片來源：郭梓峰，2017）

Egor[8]等人提出的Magneitizing算法，并基于這一算法開發(fā)了Grasshop?per平臺(tái)下的MAGNETIZING FLOOR PLAN GENERATOR插件。他們不再嘗試以圓形或球體來代表房間或區(qū)域節(jié)點(diǎn)所占據(jù)的空間來參與粒子－彈簧系統(tǒng)的計(jì)算，而是改用矩形，如圖6，并且基于格網(wǎng)系統(tǒng)來進(jìn)行計(jì)算，這樣更能滿足生成結(jié)果的使用需求。他們也開發(fā)了一個(gè)基于粒子－彈簧系統(tǒng)生成結(jié)果的交通空間生成算法，大大提高了生成結(jié)果的可用性。

圖6 MAGNETIZING FLOOR PLAN GEN?ERATOR插件的生成結(jié)果（圖片來源：EGOR G等人，2020）

2.2 從對(duì)偶圖視角出發(fā)的研究

在研究過程中，主要是以圖結(jié)構(gòu)中的邊作為切入，核心要處理的問題是在幾何階段中，如何將只帶有拓?fù)湫畔?duì)偶圖的關(guān)系與實(shí)際地塊或區(qū)域形狀相結(jié)合。

從對(duì)偶圖的視角出發(fā)的相關(guān)研究，思路和方法相較于從關(guān)系圖出發(fā)的視角要豐富很多，也沒有形成較為成熟的方法路徑。從對(duì)偶圖視角出發(fā)的相關(guān)研究，大多是通過借鑒圖論方面的研究成果，針對(duì)建筑領(lǐng)域中圖結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，提出適合建筑領(lǐng)域要求的特異性方法。

Grason[9]首先將NEWS節(jié)點(diǎn)融入到圖結(jié)構(gòu)的計(jì)算中去，并且將拆解圖結(jié)構(gòu)形成子圖的思路應(yīng)用在對(duì)于對(duì)偶圖的計(jì)算當(dāng)中。研究通過將無方向圖結(jié)構(gòu)中的邊賦予兩種不同的方向，并計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)所接收和發(fā)出的邊，由此將圖結(jié)構(gòu)的拆解成x和y方向上的兩個(gè)子圖。進(jìn)而將對(duì)偶圖映射成正交矩形剖分如圖7。

圖7 圖結(jié)構(gòu)的拆解與節(jié)點(diǎn)所接收和發(fā)出的邊的計(jì)算（圖片來源：GRASON J，1971）

Roth[10]借鑒和發(fā)展了Grason的思路，對(duì)于不是完全圖的輸入，利用剖分算法變?yōu)橥耆珗D，解決了Grason算法不能處理的情況。然后利用圖結(jié)構(gòu)中的邊，實(shí)際上表示與這條邊相關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)在實(shí)際幾何圖形中的一個(gè)邊緣這個(gè)原理，將兩個(gè)子圖分別對(duì)應(yīng)成x軸和y軸方向上的墻體，墻體的長(zhǎng)度由邊的權(quán)重進(jìn)行定義，進(jìn)而將完全圖映射成正交式的四邊形房間，從而將可平面圖（a planar graph）轉(zhuǎn)化為建筑平面輪廓。同時(shí)圖中邊帶有長(zhǎng)度屬性，可以作為四邊形房間墻體的長(zhǎng)度，如圖8。

圖8 X和Y方向的子圖以及對(duì)應(yīng)邊的計(jì)算（圖片來源：ROTH J等人，1982）

Shekhawat[11]將圖結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)榫匦?，從第一個(gè)節(jié)點(diǎn)開始與后面的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)需要連接兩個(gè)或以上的其他節(jié)點(diǎn)，那么就將這個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矩形進(jìn)行水平或者垂直方向上的擴(kuò)展，直到最終繪制完全部的節(jié)點(diǎn)后，再對(duì)圖中空缺的部分，進(jìn)行額外的填充。這種方法可以看作是對(duì)J Roth方法實(shí)現(xiàn)的一種變體，如圖9。

圖9 水平或垂直擴(kuò)展的示意圖（圖片來源：SHEKHAWAT K等人，2020）

3 結(jié)語

對(duì)于上述提到的兩種視角，可以做出如下總結(jié)，如下表所示。

從關(guān)系圖出發(fā)的視角，因?yàn)殛P(guān)系圖與建筑師常用的平面功能泡泡圖的天然對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以其實(shí)現(xiàn)過程可以很容易被建筑師和使用者理解和想象，從規(guī)則復(fù)雜程度上來說，較為直觀且不復(fù)雜。因此，導(dǎo)致這種視角指導(dǎo)下的具體實(shí)現(xiàn)路徑也較為清晰，從一定程度上來說比較單一。由于其求解過程中的迭代屬性，從關(guān)系圖出發(fā)的視角方法在處理復(fù)雜約束條件的情況時(shí)（如參與拓?fù)潢P(guān)系計(jì)算的對(duì)象變多時(shí)），其求解速度下降較為明顯，并且求解結(jié)果有時(shí)會(huì)出現(xiàn)難以收斂的情況。另外，由于代表關(guān)系圖中點(diǎn)的元素（如圓形、矩形）的初始位置常常是隨機(jī)布置的，所以在對(duì)于解空間的搜索效率并不高。最后從泛用性的角度來看，由于過程中許多參數(shù)（如吸引排斥力的強(qiáng)度等）常常是需要反復(fù)調(diào)整的，并且是針對(duì)特定約束條件的，導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的泛用性較差。

對(duì)于從對(duì)偶圖出發(fā)的視角，因?yàn)榇嬖趶年P(guān)系圖到對(duì)偶圖的轉(zhuǎn)換過程，常常導(dǎo)致從對(duì)偶圖出發(fā)的思路相對(duì)來說不容易直接進(jìn)行想象和理解。從規(guī)則的復(fù)雜程度上來說，相較于關(guān)系圖視角下只需要布置頂點(diǎn)這一要素，對(duì)偶圖視角需要同時(shí)考慮頂點(diǎn)要素和邊要素的布置，因此在規(guī)則的復(fù)雜程度上較高。在計(jì)算的過程中，從對(duì)偶圖出發(fā)的思路常常會(huì)選擇對(duì)原本的復(fù)雜圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆解，降低復(fù)雜程度，因此在處理復(fù)雜約束條件表現(xiàn)更好。另外因?yàn)槠浜苌傩枰獙?duì)布局位置進(jìn)行精確確定，只需確定大概的方位和范圍，所以從效率的角度上來說相對(duì)較高，整體的生成過程泛用性也較好，但是從結(jié)果的角度看，不確定也導(dǎo)致了結(jié)果的均質(zhì)性。

總的來看，關(guān)系圖視角下的探索已經(jīng)處于較為完善和成熟的狀態(tài)，具體的技術(shù)實(shí)現(xiàn)路徑也基本上大同小異，缺乏本質(zhì)上的區(qū)別?；緦?shí)現(xiàn)了從概念原型的開發(fā)到實(shí)際案例應(yīng)用的整個(gè)流程。并且從關(guān)系圖視角出發(fā)的前提假設(shè)是房間或建筑體量是可以被視為均質(zhì)的圓形或矩形的，但這個(gè)假設(shè)本身是否合理值得商榷。而對(duì)偶圖視角下的探索還不是十分完善，目前已有的研究是比較偏概念原型方面的研究，缺乏針對(duì)實(shí)際案例的應(yīng)用。具體的技術(shù)實(shí)現(xiàn)路徑上也差異較多，但都受限于對(duì)偶圖本身幾何信息的匱乏，導(dǎo)致從結(jié)果上看，基本局限于矩形和正交體系。因此，從對(duì)偶圖出發(fā)的視角要解決的關(guān)鍵問題是如何實(shí)現(xiàn)抽象拓?fù)鋱D映射到實(shí)際幾何對(duì)象，在這個(gè)過程中要豐富和完善缺失的幾何信息。

圖結(jié)構(gòu)與拓?fù)潢P(guān)系相關(guān)研究的兩種思路的分析對(duì)比表（表格來源：作者自繪）