石 慧， 康 輝， 任謙力， 曾建潮， 谷豐收

(1.太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024； 2.中北大學(xué) 大數(shù)據(jù)與視覺(jué)計(jì)算研究所，太原 030051； 3.哈德斯菲爾德大學(xué) 計(jì)算與工程學(xué)院， 英國(guó) 哈德斯菲爾德 HD1 3DH)

近年來(lái)，隨著信息和傳感技術(shù)的高速發(fā)展，設(shè)備健康監(jiān)測(cè)變得越來(lái)越智能化。以機(jī)械設(shè)備中最重要的部件之一齒輪箱為例，其健康狀況直接影響到整個(gè)設(shè)備的安全可靠性，當(dāng)齒輪箱中的部件發(fā)生故障時(shí)，會(huì)加速其他部件的退化，導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備損壞，不僅會(huì)產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)損失，還會(huì)引發(fā)一系列安全隱患[1-2]。因此有必要針對(duì)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)并預(yù)測(cè)其剩余壽命，以便對(duì)部件進(jìn)行及時(shí)的更換或維修。

系統(tǒng)的剩余壽命預(yù)測(cè)是故障預(yù)測(cè)與健康管理(prognostics and health management，PHM)的核心?，F(xiàn)階段預(yù)測(cè)剩余壽命的方法有4種：基于知識(shí)的預(yù)測(cè)方法、基于物理模型的方法、基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法以及混合預(yù)測(cè)的方法?；谥R(shí)的預(yù)測(cè)方法通常需要具備有關(guān)系統(tǒng)的專門(mén)知識(shí)[3]，同時(shí)在復(fù)雜機(jī)械設(shè)備中，故障的物理機(jī)理很難獲得，從而導(dǎo)致基于物理模型的方法適用性不強(qiáng)[4-5]。而基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法不依賴物理模型，利用接收到的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)建模，具有較高的預(yù)測(cè)精度和較強(qiáng)的泛化能力[6-7]?，F(xiàn)有的一些基于統(tǒng)計(jì)及概率知識(shí)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)剩余壽命預(yù)測(cè)方法需假定退化過(guò)程并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，然而假設(shè)的模型可能與實(shí)際的模型不符，并且參數(shù)尋優(yōu)過(guò)程容易陷入局部最優(yōu)。核密度估計(jì)方法不附加任何假設(shè)，是一種非參數(shù)估計(jì)方法，它從數(shù)據(jù)本身出發(fā)來(lái)研究樣本的分布特征。同時(shí)與深度學(xué)習(xí)等方法相比，核密度估計(jì)方法能夠清楚地表征系統(tǒng)退化特征的變化。因此，在預(yù)測(cè)與健康管理領(lǐng)域具有較高的關(guān)注度[8]。

Hu等[9]提出非參數(shù)核密度估計(jì)方法來(lái)估計(jì)風(fēng)速的概率密度函數(shù)，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和靈活性。Wang等[10]將核密度估計(jì)方法引入魯棒隨機(jī)配置網(wǎng)絡(luò)，以減少噪聲數(shù)據(jù)或離群點(diǎn)對(duì)最終學(xué)習(xí)模型的影響。Zhang等[11]提出基于核密度估計(jì)的非線性系統(tǒng)異常檢測(cè)方法來(lái)模糊正常樣品之間的差異，強(qiáng)化潛在異常樣品的異常。Sidibé等[12]利用核密度估計(jì)系統(tǒng)可靠性函數(shù)，研究了核平滑參數(shù)的可變性對(duì)成本模型的影響。雖然核密度估計(jì)方法已應(yīng)用于系統(tǒng)的故障預(yù)測(cè)與健康管理，但大多數(shù)文獻(xiàn)都是針對(duì)系統(tǒng)中的單個(gè)部件進(jìn)行可靠性建模研究。

現(xiàn)代的設(shè)備系統(tǒng)越來(lái)越復(fù)雜，系統(tǒng)中有許多重要的子系統(tǒng)和部件協(xié)同工作，部件之間退化過(guò)程中存在隨機(jī)相關(guān)性影響[13]。例如風(fēng)電機(jī)組齒輪箱的齒輪和軸承退化相互影響。構(gòu)建多部件系統(tǒng)的PHM系統(tǒng)就要充分考慮部件間的隨機(jī)相關(guān)性[14]。

前期研究多部件系統(tǒng)隨機(jī)相關(guān)性的文獻(xiàn)主要集中于由部件故障觸發(fā)的相互作用。一些文獻(xiàn)研究部件隨機(jī)相關(guān)性時(shí)僅考慮部件故障會(huì)對(duì)其他部件的退化產(chǎn)生影響，建立基于時(shí)間的維修決策模型[15-16]。而在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，獲取故障率需要大量破壞性試驗(yàn)，研究具有隨機(jī)相關(guān)的多部件故障預(yù)測(cè)與健康管理問(wèn)題更關(guān)注的是系統(tǒng)故障前各部件的連續(xù)隨機(jī)退化特征與實(shí)時(shí)剩余壽命的關(guān)聯(lián)性。Rasmekomen等[17]指出部件間的隨機(jī)相關(guān)性不僅可以由部件故障觸發(fā)，還可能由部件的退化觸發(fā)，并將此定義為退化相互作用，使用回歸模型來(lái)表征部件退化狀態(tài)對(duì)其他部件退化速率的影響。Bian等研究一個(gè)部件的退化程度如何影響系統(tǒng)中其他部件的退化率，并將這種由隨機(jī)相關(guān)引起的部件間相互作用稱為退化率相互作用(degradation-rate-interaction，DRI)，建立了離散DRI模型來(lái)描述系統(tǒng)中相互依賴的部件退化過(guò)程之間的相互作用。Do等[18]針對(duì)具有隨機(jī)相關(guān)性和經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的兩部件系統(tǒng)，提出了基于狀態(tài)的維修模型。Shahraki等[19]針對(duì)由隨機(jī)相關(guān)部件組成的復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)建模并制定選擇性維修策略。Xi等[20]將多部件系統(tǒng)中隱藏的退化相關(guān)性視為噪聲影響建立狀態(tài)空間模型，提出了在線剩余壽命預(yù)測(cè)方法。上述文獻(xiàn)大多假設(shè)部件退化模型，并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。宋仁旺等[21]利用Copula函數(shù)對(duì)齒輪箱振動(dòng)和噪聲之間的相關(guān)性進(jìn)行建模，求得齒輪箱的剩余壽命。Li等[22]研究了考慮隨機(jī)退化的多部件系統(tǒng)的視情維修問(wèn)題，采用Lévy Copula函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)相關(guān)性進(jìn)行建模。楊志遠(yuǎn)等[23]基于伽馬過(guò)程建立系統(tǒng)退化模型，使用Copula函數(shù)描述退化過(guò)程的相關(guān)性，進(jìn)行系統(tǒng)可靠度分析和剩余壽命預(yù)測(cè)。Copula函數(shù)可以靈活構(gòu)造多變量分布，但通過(guò)Copula函數(shù)構(gòu)建多部件系統(tǒng)中部件間的聯(lián)合分布函數(shù)，不能明顯地反映部件間的隨機(jī)相關(guān)性特征，不同Copula函數(shù)的選擇也會(huì)對(duì)剩余壽命的預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。

本文在對(duì)部件間的退化隨機(jī)相關(guān)性特征及對(duì)退化狀態(tài)的影響進(jìn)行系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，研究多部件系統(tǒng)基于非參數(shù)核密度估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)方法。首先針對(duì)多部件系統(tǒng)中的復(fù)雜雙向隨機(jī)相關(guān)性進(jìn)行建模；引入窗寬因子構(gòu)建基于自適應(yīng)窗寬的核密度估計(jì)退化模型以解決高密度區(qū)域過(guò)度平滑或低密度區(qū)域噪聲干擾的問(wèn)題；然后通過(guò)首達(dá)時(shí)間的概念，求解部件的剩余壽命概率密度函數(shù)；最后在斜齒輪箱試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行試驗(yàn)，利用調(diào)制信號(hào)雙譜分析對(duì)傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取，在識(shí)別非線性影響的同時(shí)考慮幅值和相位的影響，從而有效地抑制隨機(jī)噪聲的干擾，驗(yàn)證了所提模型的準(zhǔn)確性和適用性。

1 核密度估計(jì)模型的構(gòu)建

1.1 隨機(jī)相關(guān)性分析

從多部件系統(tǒng)部件間存在的復(fù)雜隨機(jī)相關(guān)性的特征以及對(duì)部件連續(xù)退化狀態(tài)的不同影響角度出發(fā)，可將部件間的隨機(jī)相關(guān)性分為三類：?jiǎn)我粏蜗螂S機(jī)相關(guān)性、單一多向隨機(jī)相關(guān)性和雙向隨機(jī)相關(guān)性。隨機(jī)相關(guān)性示意圖，如圖1所示。

(a) 單一單向隨機(jī)相關(guān)性

(b) 單一多向隨機(jī)相關(guān)性

(c) 雙向隨機(jī)相關(guān)性圖1 隨機(jī)相關(guān)性示意圖Fig.1 Schematic diagram of stochastic dependence

(1) 單一單向隨機(jī)相關(guān)性：是指某個(gè)部件的退化只會(huì)對(duì)系統(tǒng)中的單個(gè)部件的退化產(chǎn)生單向影響；部件a自身的退化只對(duì)部件b的退化產(chǎn)生單向影響，部件a不受其他任何部件退化的影響。

(2) 單一多向隨機(jī)相關(guān)性：是指某個(gè)部件的退化會(huì)對(duì)系統(tǒng)中多個(gè)部件的退化產(chǎn)生單向影響或者是某個(gè)部件的退化會(huì)受到系統(tǒng)中其他多個(gè)部件退化的單向影響；部件a的退化會(huì)對(duì)部件b、部件c等多個(gè)部件的退化產(chǎn)生影響，其自身退化不受其他任何部件退化的影響。

(3) 雙向隨機(jī)相關(guān)性：是指部件的退化會(huì)受到系統(tǒng)中其他部件的影響，同時(shí)自身的退化也會(huì)對(duì)其他部件的退化產(chǎn)生影響。部件a自身的退化會(huì)對(duì)部件b和部件c等多個(gè)部件的退化產(chǎn)生影響，同時(shí)，這些受影響的部件退化到一定程度也會(huì)對(duì)部件a的退化產(chǎn)生影響，這種影響是雙向存在的。

本文考慮更為復(fù)雜的部件間具有雙向隨機(jī)相關(guān)性的多部件系統(tǒng)進(jìn)行研究。假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)中的部件i和部件j具有雙向隨機(jī)相關(guān)性，即一個(gè)部件的退化會(huì)加劇另一個(gè)部件的退化，反之亦然。隨著現(xiàn)代傳感器技術(shù)的發(fā)展，可以通過(guò)傳感器監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中各部件的歷史退化狀態(tài)數(shù)據(jù)及實(shí)時(shí)運(yùn)行數(shù)據(jù)，利用這些樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)相關(guān)性建模并建立剩余壽命預(yù)測(cè)模型。

1.2 雙向隨機(jī)相關(guān)性的模型構(gòu)建

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

將式(5)代入式(6)，可以求出

(7)

式中，σk-1為k-1個(gè)已知樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。

(8)

(9)

(10)

1.3 自適應(yīng)窗寬下核密度估計(jì)退化分布模型的實(shí)時(shí)更新

(11)

部件i在tk時(shí)刻基于自適應(yīng)窗寬的核密度估計(jì)為

(12)

2 部件退化分布的計(jì)算

(13)

(14)

tk-1+m時(shí)刻獲得m個(gè)樣本數(shù)據(jù)后，概率密度函數(shù)為

(15)

同理，在任意時(shí)刻獲得新的樣本數(shù)據(jù)后，都可獲得相應(yīng)的累積退化概率密度函數(shù)。

3 剩余壽命預(yù)測(cè)模型的建立

(16)

由式(15)可知

(17)

將式(17)代入式(16)，可得

(18)

則tk-1時(shí)刻部件i的剩余壽命概率密度函數(shù)為

(19)

4 試驗(yàn)驗(yàn)證與分析

試驗(yàn)中將監(jiān)測(cè)到的部件振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)利用調(diào)制信號(hào)雙譜(modulation signal bispectrum，MSB)變換進(jìn)行特征提取，得到可以表征部件退化過(guò)程的退化狀態(tài)曲線，同時(shí)確定部件的閾值。將特征提取后的退化數(shù)據(jù)代入文中的剩余壽命預(yù)測(cè)模型，便可通過(guò)式(16)～式(19)求得部件的剩余壽命概率密度函數(shù)，求得部件的剩余壽命。剩余壽命預(yù)測(cè)試驗(yàn)驗(yàn)證流程如圖2所示。

圖2 剩余壽命預(yù)測(cè)試驗(yàn)流程圖Fig.2 Experimental flow chart of remaining useful life prediction

4.1 數(shù)據(jù)采集

本文采用英國(guó)哈德斯菲爾德大學(xué)效率與性能工程中心的斜齒輪箱試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)臺(tái)的基本結(jié)構(gòu)，如圖3所示。兩個(gè)齒輪箱(GB1和GB2)采用背靠背的結(jié)構(gòu)進(jìn)行安裝，它們分別與驅(qū)動(dòng)電機(jī)和負(fù)載電機(jī)相連。在GB1和GB2的箱體表面分別安裝傳感器，用于采集信號(hào)。采用16通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)(data acquisition system，DAS)采集振動(dòng)信號(hào)、聲學(xué)信號(hào)和油溫信號(hào)，電機(jī)額定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，振動(dòng)信號(hào)的采樣頻率為96 kHz。

圖3 斜齒輪箱試驗(yàn)臺(tái)Fig.3 Helical gearbox test bench

本文使用的兩個(gè)斜齒輪箱的幾何參數(shù),如表1所示。

表1 齒輪箱規(guī)格Tab.1 Gearbox specification

圖4顯示了安裝在兩個(gè)齒輪箱中的齒輪分布情況，試驗(yàn)采用齒輪正反交錯(cuò)搭接的嚙合方式。

圖4 齒輪箱示意圖Fig.4 Schematic diagram of gearboxes

軸頻和嚙合頻率可以通過(guò)表2所示的公式計(jì)算。

表2 軸頻和嚙合頻率Tab.2 Shaft frequency and mesh frequency

為模擬工業(yè)設(shè)備在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中環(huán)境和負(fù)載的隨機(jī)變化情況，在試驗(yàn)期間，首先控制驅(qū)動(dòng)電機(jī)以正弦曲線變化的轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)30 min，然后在5種不同負(fù)載條件下進(jìn)行勻速運(yùn)轉(zhuǎn)(全速的50%)，最后在同樣的5種負(fù)載下以不同的恒定速度(全速的70%)運(yùn)行。詳細(xì)的測(cè)試條件,如圖5所示。

圖5 循環(huán)運(yùn)行條件Fig.5 Cycle operating conditions

試驗(yàn)持續(xù)了838 h，監(jiān)測(cè)到GB2的振動(dòng)出現(xiàn)明顯峰值后停止試驗(yàn)。打開(kāi)齒輪箱后，觀察到GB2在低速階段發(fā)生磨損，齒根部位磨損較為嚴(yán)重，如圖6所示。

(a)

(b)圖6 838 h的齒輪磨損情況Fig.6 Gear wear of 838 hours

4.2 數(shù)據(jù)處理

試驗(yàn)運(yùn)行了838 h，齒輪在運(yùn)行初期樣本特征波動(dòng)較大，為齒輪嚙合階段，使用這個(gè)階段的數(shù)據(jù)來(lái)分析部件的磨損退化過(guò)程是不恰當(dāng)?shù)模虼诉x擇運(yùn)行300 h之后的數(shù)據(jù)來(lái)分析，對(duì)振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行MSB變換，進(jìn)行特征提取并預(yù)測(cè)其剩余壽命。

傳統(tǒng)的頻域特征提取方法有頻譜分析、功率譜分析、常規(guī)雙譜分析等，頻譜和功率譜分析在對(duì)信號(hào)經(jīng)過(guò)傅里葉變換后僅對(duì)幅值信息進(jìn)行分析，忽略了相位信息。而常規(guī)的雙譜B(fx,fc)通過(guò)傅里葉變換后在頻域內(nèi)可表示為

B(fx,fc)=E[X(fc)X(fx)X*(fc+fx)]

(20)

式中：X(f)為信號(hào)x(t)的離散傅立葉變換；fx為調(diào)制頻率；fc為載波頻率；X*為X的復(fù)共軛。

對(duì)于振動(dòng)信號(hào)x(t)其MSB變換在頻域中表示為

BMS(fx,fc)=

E[X(fc+fx)X(fc-fx)X*(fc)X*(fc)]

(21)

MSB對(duì)常規(guī)雙譜改進(jìn)后在進(jìn)行退化特征提取時(shí)，同時(shí)考慮信號(hào)幅值和相位的變化，能夠更好地說(shuō)明調(diào)制信號(hào)和載波信號(hào)之間的非線性關(guān)系，充分表示信號(hào)的調(diào)制特性，要比常規(guī)的雙譜分析方法更準(zhǔn)確[26-27]。

以幅值和相位來(lái)表示，可將式(21)寫(xiě)為

BMS(fx,fc)=E〈|X(fc+fx)|X(fc-fx)||X*(fc)|·

|X*(fc)|exp[jφMS(fx,fc)]〉

(22)

式(22)中MSB的總相位可通過(guò)以下方式計(jì)算

φMS(fx,fc)=φ(fc+fx)+φ(fc-fx)-

φ(fc)-φ(fc)

(23)

φ(fc)和φ(fx)耦合時(shí)，相位關(guān)系可以表示為

φ(fc+fx)=φ(fc)+φ(fx)

(24)

φ(fc-fx)=φ(fc)-φ(fx)

(25)

將式(24)和式(25)代入式(23)，可以得到MSB的總相位為零，它的幅值由其4個(gè)分量幅值的乘積所確定，因此，如果(fc+fx)和(fc-fx)來(lái)源于fx和fc的非線性影響，在雙頻BMS(fx,fc)處會(huì)出現(xiàn)明顯的雙譜峰。這樣對(duì)MSB的表述將更為準(zhǔn)確。與此相反，如果fx和fc無(wú)非線性作用，或者它們是隨機(jī)噪聲，其MSB的相位隨時(shí)間變化，最終平均結(jié)果為零，由此MSB具有很好地抑制噪聲作用。圖7給出了采用MSB對(duì)本文試驗(yàn)臺(tái)數(shù)據(jù)特征提取的調(diào)制雙譜分析圖。

(a) MSB幅值譜

(b) MSB相干譜圖7 MSB雙譜分析Fig.7 MSB bispectrum analysis

如圖7所示，通過(guò)MSB雙譜分析先從幅值譜發(fā)現(xiàn)具有峰值的信號(hào)幅值，同時(shí)，該坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相位譜中也有較大的相干系數(shù)，則說(shuō)明該幅值可以反映部件的退化特征，若相位譜中對(duì)應(yīng)著非常小的相干系數(shù)，說(shuō)明該幅值不是通過(guò)調(diào)制作用生成，可能是由噪聲產(chǎn)生的，從而將其剔除。其在識(shí)別非線性影響的同時(shí)考慮幅值和相位的影響，從而有效地抑制隨機(jī)噪聲的干擾。提取能夠表征部件退化的振動(dòng)信號(hào)特征數(shù)據(jù)出來(lái)，便可得到部件的退化狀態(tài)曲線圖。

圖4中GB2中的齒輪5和GB1中的齒輪3通過(guò)主軸進(jìn)行連接，二者之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，故將齒輪5和齒輪3作為部件i和部件j進(jìn)行研究。采用MSB特征提取方法從MSB頻譜中將能夠表征部件退化的特征幅值提取出來(lái)，便可得到部件i的退化狀態(tài)曲線如圖8所示，GB2在838 h監(jiān)測(cè)到磨損嚴(yán)重，發(fā)生故障。其故障閾值為0.229 mm/s2。

圖8 部件i的退化狀態(tài)Fig.8 Degradation state of component i

4.3 結(jié)果分析

為了說(shuō)明選擇不同的窗寬對(duì)核密度估計(jì)結(jié)果的影響，圖9給出了部件i在450 h自適應(yīng)窗寬與固定窗寬下的核密度估計(jì)結(jié)果。

(a) 樣本分布情況

(b) 核密度估計(jì)結(jié)果圖9 兩種窗寬下核密度估計(jì)結(jié)果Fig.9 Results of kernel density estimation under two bandwidths

由圖9可知，基于自適應(yīng)窗寬的核密度估計(jì)對(duì)樣本的擬合程度更高，與固定窗寬下的核密度估計(jì)結(jié)果相比，更能夠反映樣本的分布情況。

將MSB特征提取后的退化數(shù)據(jù)代入模型，可根據(jù)式(16)～式(19)求得部件i在當(dāng)前監(jiān)測(cè)時(shí)刻的剩余壽命概率密度函數(shù)。圖10給出本次試驗(yàn)在7個(gè)監(jiān)測(cè)時(shí)間下的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢钥闯?，隨著監(jiān)測(cè)時(shí)間的增加，樣本數(shù)據(jù)增大，本文提出方法的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果越來(lái)越接近真實(shí)值。說(shuō)明本文提出的基于自適應(yīng)核窗寬的核密度估計(jì)剩余壽命預(yù)測(cè)方法可以很好的對(duì)部件i剩余壽命的概率密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

圖10 核密度估計(jì)方法在不同監(jiān)測(cè)時(shí)間下剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.10 Remaining useful life prediction results of kernel density estimation method under different monitoring time

Do等考慮具有隨機(jī)相關(guān)性和經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的兩部件系統(tǒng)，使用參數(shù)估計(jì)進(jìn)行建模計(jì)算。為了對(duì)本文所用的非參數(shù)方法進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，使用相同的樣本數(shù)據(jù)，基于參數(shù)估計(jì)的方法進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)，與本文方法進(jìn)行比較。

基于參數(shù)估計(jì)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法結(jié)果，如圖11所示。圖11中：虛線為基于參數(shù)估計(jì)方法計(jì)算的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果；實(shí)線代表本文利用自適應(yīng)核窗寬核密度估計(jì)方法得到的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果；“*”號(hào)為部件i的真實(shí)剩余壽命結(jié)果。從圖11可以看出，隨著監(jiān)測(cè)時(shí)間的增加，樣本數(shù)據(jù)量增大，采用非參數(shù)核密度估計(jì)方法進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)更加接近真實(shí)的剩余壽命，說(shuō)明本文提出的非參數(shù)核密度估計(jì)方法與參數(shù)估計(jì)相比，有一定的優(yōu)越性。

圖11 參數(shù)估計(jì)與核密度估計(jì)方法比較結(jié)果Fig.11 Comparison between parameter estimation and kernel density estimation

表3給出了參數(shù)估計(jì)和核密度估計(jì)方法對(duì)部件剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差分析。從表3可以看出，隨著監(jiān)測(cè)時(shí)間的推移，獲得的樣本數(shù)據(jù)越多，兩種方法對(duì)部件剩余壽命的預(yù)測(cè)就越精確。在同一監(jiān)測(cè)時(shí)間下，本文提出的核密度估計(jì)的方法要比參數(shù)估計(jì)方法更精確，進(jìn)一步驗(yàn)證了非參數(shù)核密度估計(jì)方法的有效性和精確性。

表3 參數(shù)估計(jì)和核密度估計(jì)剩余壽命預(yù)測(cè)誤差分析Tab.3 Error analysis of residual life prediction of parameter estimation and kernel estimation

圖12用三維網(wǎng)格曲面圖和二維等高線圖繪制了部件i的平均剩余壽命和部件i與部件j退化的關(guān)系圖，以此來(lái)說(shuō)明部件j對(duì)部件i的隨機(jī)相關(guān)性影響。圖12(a)中，在部件i自身退化量一定的情況下，部件i的平均剩余壽命隨著部件j退化量的增加而減少；在部件j退化量一定的情況下，部件i的剩余壽命隨著部件i自身退化量的增加而減少。圖12(b)中，從淺色區(qū)域到深色區(qū)域，部件i的平均剩余壽命逐漸減小，同樣反映出部件i的平均剩余壽命不僅與自身退化有關(guān)，還會(huì)受到部件j退化量的影響。說(shuō)明部件j對(duì)部件i具有隨機(jī)相關(guān)性影響。

(a) 三維網(wǎng)格圖

(b) 二維等高線圖圖12 部件j對(duì)部件i的隨機(jī)相關(guān)性影響Fig.12 The stochastic dependence effect of component j on component i

同理，圖13用三維網(wǎng)格曲面圖和二維等高線圖來(lái)說(shuō)明部件i對(duì)部件j的隨機(jī)相關(guān)性影響。圖13(a)中，在部件j自身退化量一定的情況下，部件j的平均剩余壽命隨著部件i退化量的增加而減少；在部件i退化量一定的情況下，部件j的剩余壽命隨著部件j自身退化量的增加而減少。圖13(b)中，從淺色區(qū)域到深色區(qū)域，部件j的平均剩余壽命逐漸減小，同樣反映出部件j的平均剩余壽命不僅與自身退化有關(guān)，還會(huì)受到部件i退化量的影響。說(shuō)明部件i對(duì)部件j具有隨機(jī)相關(guān)性影響。

(a) 三維網(wǎng)格圖

(b) 二維等高線圖圖13 部件i對(duì)部件j的隨機(jī)相關(guān)性影響Fig.13 The stochastic dependence effect of component i on component j

綜上可知，部件i和部件j具有雙向隨機(jī)相關(guān)性影響，進(jìn)一步說(shuō)明了本文考慮多部件系統(tǒng)部件間的雙向隨機(jī)相關(guān)進(jìn)行建模的必要性。

為了更好的說(shuō)明所提模型的通用性，采用Xi等考慮多部件隨機(jī)相關(guān)性試驗(yàn)所用的數(shù)據(jù)，再次對(duì)文中模型進(jìn)行驗(yàn)證分析。

部件i的退化狀態(tài),如圖14所示。

圖14 部件i的退化狀態(tài)Fig.14 Degradation state of component i

將退化數(shù)據(jù)代入本文核密度估計(jì)模型，并與參數(shù)估計(jì)模型進(jìn)行比較，得到兩種方法下部件i在不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果,如圖15所示。

圖15 參數(shù)估計(jì)與核密度估計(jì)方法比較結(jié)果Fig.15 Comparison between parameter estimation and kernel density estimation

從圖15可以看出，隨著監(jiān)測(cè)時(shí)間的增加，兩種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果越來(lái)越接近真實(shí)值，而本文提出的核密度方法比參數(shù)估計(jì)的方法更加準(zhǔn)確，再一次證明了文中提出的自適應(yīng)核密度估計(jì)模型的適用性。

5 結(jié) 論

針對(duì)多部件系統(tǒng)部件連續(xù)退化過(guò)程中存在的雙向隨機(jī)相關(guān)性，基于自適應(yīng)窗寬的核密度估計(jì)方法建立了實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)模型。首先針對(duì)部件間存在的雙向隨機(jī)相關(guān)性影響，引入條件核密度估計(jì)來(lái)進(jìn)行建模，然后采用自適應(yīng)窗寬的核密度估計(jì)方法求得相應(yīng)的概率密度函數(shù)，最后建立實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)模型，得到部件的剩余壽命。利用斜齒輪箱試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證分析，結(jié)果表明該方法可以很好的進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)，通過(guò)和基于參數(shù)估計(jì)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法進(jìn)行比較，進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性。