周 燁

(常州劉國鈞高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 常州 213000)

據(jù)統(tǒng)計(jì)，我國有超過1 000萬腦卒中患者，這些患者中幸存下來的大約有75%的患者留下諸多后遺癥，如偏癱、肢體無法正常運(yùn)動等，其后遺癥嚴(yán)重的則會導(dǎo)致生活不能自理[1]。在對后遺癥進(jìn)行治療和護(hù)理的過程中，需對患者進(jìn)行康復(fù)訓(xùn)練?；颊叩目祻?fù)訓(xùn)練大多依賴基礎(chǔ)醫(yī)療器械，隨著機(jī)器人在康復(fù)醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用且效果顯著，其應(yīng)用越來越廣泛，且種類也越來越多[2-3]。

在對康復(fù)機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，通常有2種方式：一種是已知患者的身體條件并將其轉(zhuǎn)化為機(jī)器人機(jī)構(gòu)的輸入進(jìn)行正向求解，得出機(jī)構(gòu)的康復(fù)訓(xùn)練執(zhí)行結(jié)果，這種方式也稱為機(jī)構(gòu)的正解；另一種是將患者期望的康復(fù)訓(xùn)練結(jié)果作為輸入，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行反向求解，獲得機(jī)構(gòu)的輸入函數(shù)，這種也稱為機(jī)構(gòu)的逆解。本文對某一康復(fù)機(jī)器人機(jī)構(gòu)展開研究，對其機(jī)構(gòu)進(jìn)行逆解計(jì)算。

1 肩關(guān)節(jié)構(gòu)型選擇

人體上肢關(guān)節(jié)分為肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)和腕關(guān)節(jié)。肩關(guān)節(jié)是人體上肢關(guān)節(jié)中最為重要的球窩關(guān)節(jié)，本文選擇對肩關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練展開研究。牽引式康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人機(jī)構(gòu)可通過牽引人體上肢末端(手部)進(jìn)行康復(fù)運(yùn)動，完成人體肩關(guān)節(jié)的運(yùn)動，從而實(shí)現(xiàn)人體上肢肩關(guān)節(jié)的康復(fù)訓(xùn)練。在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)上并聯(lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動學(xué)上具有諸多優(yōu)點(diǎn)：在運(yùn)動過程中慣性低、剛度大且負(fù)載能力強(qiáng)等，因此成為康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的首選。并聯(lián)機(jī)構(gòu)由靜、動平臺以及運(yùn)動支鏈組成，綜合考慮人體肩關(guān)節(jié)的運(yùn)動性能，同時(shí)根據(jù)前人的分析可知，3-RRS(為球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的簡稱)可實(shí)現(xiàn)動平臺上下運(yùn)動，故將3-RRS球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為實(shí)現(xiàn)肩關(guān)節(jié)構(gòu)型。

當(dāng)前學(xué)者在機(jī)構(gòu)逆解的算法方面做過較多研究，肖帆在其畢業(yè)論文中對復(fù)雜多關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人逆解算法進(jìn)行了分析和綜述，并對唯一域求逆運(yùn)動學(xué)的方法進(jìn)行了研究和計(jì)算[4]；同濟(jì)大學(xué)的曾氫菲等對一種多臂協(xié)同焊接機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)進(jìn)行了逆解，采用的計(jì)算方法是基于BP和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，其計(jì)算結(jié)果表明該方法計(jì)算精度較高[5]。本文在綜合前人的研究基礎(chǔ)上結(jié)合其研究對象的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，采用矩陣法和閉環(huán)矢量法相結(jié)合的方法對其進(jìn)行分析計(jì)算，以期獲得機(jī)構(gòu)的逆解。

2 3-RRS肩關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析

需進(jìn)行康復(fù)訓(xùn)練的患者，按日常生活常識當(dāng)手臂水平位置或者低于水平位置時(shí)會由于手臂自身重力而自動下垂，此狀態(tài)的機(jī)構(gòu)康復(fù)訓(xùn)練研究不具有實(shí)際意義。因此本文以上肢處于水平位置為零度基本位置，以前屈角度為正向角度展開研究，此狀態(tài)下上肢手臂的研究最大角度范圍為0°～90°。

將人體上肢簡化為3-RRS機(jī)構(gòu)中的桿件，同時(shí)將3-RRS傾斜一定角度就能夠?qū)崿F(xiàn)肩關(guān)節(jié)的康復(fù)訓(xùn)練，這也是采用3-RRS機(jī)構(gòu)分析的優(yōu)點(diǎn)[6-8]。將上肢手臂總長用e表示，并假設(shè)康復(fù)訓(xùn)練的患者手臂運(yùn)動為直線運(yùn)動，則其掌心(機(jī)構(gòu)終點(diǎn))的運(yùn)動軌跡為一弧形，為此掌心的運(yùn)動起始點(diǎn)、運(yùn)動終點(diǎn)、肩關(guān)節(jié)(機(jī)構(gòu)起點(diǎn))這三者的連線構(gòu)成一個(gè)等腰三角形(見圖1)，其中，e為上肢總長。

圖1 肩關(guān)節(jié)運(yùn)動曲線

圖2 肩關(guān)節(jié)運(yùn)動簡圖

(1)

進(jìn)一步構(gòu)建3-RRS機(jī)構(gòu)的運(yùn)動示意圖如圖3所示，用a表示機(jī)構(gòu)的3條支鏈中的下支鏈長度，用b表示機(jī)構(gòu)的3條支鏈中的上支鏈長度。則在圖3中，根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系，不難看出存在這樣的關(guān)系：角度ψ的取值范圍為0°～180°，即0°≤ψ≤180°。這樣就可以得出桿件l的取值范圍：當(dāng)ψ=180°時(shí)，lmax=a+b；當(dāng)ψ=0°時(shí)，lmin=|a-b|。

圖3 3-RRS機(jī)構(gòu)運(yùn)動示意圖

3 康復(fù)機(jī)器人肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的位置逆解

將整個(gè)求解過程轉(zhuǎn)化到上述機(jī)構(gòu)中，則并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解指的是：已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動平臺的位置參數(shù)，求解與靜平臺連接的輸入部件的基本條件。本文采用矩陣法和閉環(huán)矢量法相結(jié)合的方法對3-RRS機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置逆解。

設(shè)3-RRS兩個(gè)平臺的幾何中心到各端點(diǎn)的距離分別為lO4Ci=r，lO3Ai=R(i=1，2，3)。那么在系統(tǒng)坐標(biāo)系OXYZ下完成3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解的分析，可根據(jù)預(yù)知的康復(fù)訓(xùn)練結(jié)果反過來求解3個(gè)支鏈的具體輸入函數(shù)[9-10]。

設(shè)底座固定坐標(biāo)系為O2X2Y2Z2，靜平臺坐標(biāo)系為O3X3Y3Z3，根據(jù)3-RRS機(jī)構(gòu)的應(yīng)用條件，靜平臺坐標(biāo)系O3X3Y3Z3繞底座固定坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中X軸旋轉(zhuǎn)θ角，則坐標(biāo)變化矩陣T1可表示為：

(2)

矩陣T1表示由底座固定坐標(biāo)系O2X2Y2Z2向靜平臺坐標(biāo)系O3X3Y3Z3轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)變化矩陣。在靜平臺坐標(biāo)系O3X3Y3Z3中，Ai(i=1，2，3)點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(3)

則Ai在固定坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中的坐標(biāo)Ai(底)可用下式求解：

Ai(底)=T1·Ai

(4)

以經(jīng)典的ZYZ型歐拉角(α，β，γ)表示動平臺姿態(tài)，c表示cos，s表示sin(下同)。

(5)

用ci、Ci和CO2i分別表示動平臺上球副中心點(diǎn)Ci(i=1，2，3)在局部動坐標(biāo)系O4X4Y4Z4、靜平臺坐標(biāo)系O3X3Y3Z3和固定底座坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中的位置矢量。CO4、CO3和CO2分別表示動平臺球副中心點(diǎn)Ci(i=1，2，3)在局部動坐標(biāo)系O4X4Y4Z4、靜平臺坐標(biāo)系O3X3Y3Z3和底座固定坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中的齊次坐標(biāo)矩陣。則有：CO3=T2·CO4，CO2=T1·T2·CO4。

在動平臺坐標(biāo)系O4X4Y4Z4下，ci點(diǎn)坐標(biāo)為：

(6)

將式6帶入CO2=T1·T2·CO4中可得：

(7)

因?yàn)殂q鏈中心Ai、Bi均為轉(zhuǎn)動副，所以Ci只能和Ai、Bi在同一個(gè)平面內(nèi)移動，由此列出約束方程如下：

(8)

聯(lián)立式7和式8，消除中間變量CiO4(i=1，2，3)的坐標(biāo)參量，可獲得OO4O3的坐標(biāo)參量關(guān)系方程式：

(9)

為求解動平臺中心O4在底座固定坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中的位置參數(shù)，由靜坐標(biāo)系與底座固定坐標(biāo)系的變換矩陣T1和O4在靜坐標(biāo)系O3X3Y3Z3中的位置坐標(biāo)(XO4O3，YO4O3，ZO4O3)，可得O4在底座固定坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中的位姿參數(shù)。

OO4O2i和OO4O3i分別為動平臺中心O4在底座固定坐標(biāo)系O2X2Y2Z2和靜坐標(biāo)系O3X3Y3Z3的位置矢量，OO4O2和OO4O3分別為動平臺中心O4在底座固定坐標(biāo)系O2X2Y2Z2和靜坐標(biāo)系O3X3Y3Z3的坐標(biāo)矩陣，則有：OO4O2=T1·OO4O3，同時(shí)計(jì)算可得：

(10)

(11)

由此推出動平臺中心位置的位姿，且得出其位置坐標(biāo)與靜平臺轉(zhuǎn)動角度θ之間的關(guān)系。

由式5可知，該機(jī)構(gòu)6個(gè)姿態(tài)參量選取其中任意3個(gè)(必須包含ZO4O3)即可確定該機(jī)構(gòu)姿態(tài)，在此處取ZO4O3、α、γ為已知參量，則動平臺姿態(tài)確定。

根據(jù)空間矢量關(guān)系，鉸鏈AiCi長度矢量LAiCi可表示為：LO3Ci=LO3Ai+LAiCi，LAiCi=LAiO3+LO3O4-LCiO4。其中，LO3Ci表示O3到Ci的矢量，LO3Ai表示O3到Ai的矢量，LAiCi表示Ai到Ci的矢量，LO3O4表示O3到O4的矢量，LCiO4表示Ci到O4的矢量。

由此，該機(jī)構(gòu)位置逆解即已知ZO4O3、α、γ這3個(gè)參量，求解各個(gè)支鏈與靜平臺夾角θi1，以及兩支鏈間夾角ψ。

已知動平臺中心的位置坐標(biāo)和變換矩陣，易得動平臺各個(gè)中心點(diǎn)的位置坐標(biāo)。在三角形AiBiCi中，根據(jù)余弦定理，可建立兩支鏈間夾角方程：

(12)

式中，θi1為構(gòu)件AiBi與靜平臺的夾角；L1i為構(gòu)件AiBi的長度；L2i為構(gòu)件BiCi的長度；Li為構(gòu)件AiCi的長度。求解式12，便可得θi的值。

上述求解便求得了康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人機(jī)構(gòu)的桿長、夾角。

4 結(jié)語

本文對肩關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人機(jī)構(gòu)在抽象簡化后進(jìn)行了運(yùn)動分析，利用機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系和運(yùn)動關(guān)系采用矩陣法和閉環(huán)矢量法相結(jié)合的方法詳細(xì)推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)的位置逆解，獲得了康復(fù)患者在期望的康復(fù)訓(xùn)練結(jié)果下機(jī)構(gòu)3個(gè)支鏈的具體輸入函數(shù)，即將期望的康復(fù)訓(xùn)練執(zhí)行動作作為已知條件對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了反向設(shè)計(jì)，求取了機(jī)構(gòu)的桿長、夾角等參數(shù)，其求解結(jié)果及分析過程能夠縮短機(jī)器人的設(shè)計(jì)開發(fā)周期，且通過計(jì)算可以準(zhǔn)確地獲得機(jī)器人機(jī)構(gòu)桿件的長度，進(jìn)而為機(jī)器人的生產(chǎn)制造提供很好的生產(chǎn)指導(dǎo)，結(jié)果具有一定的工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值和參考意義。