郭 林，萬承輝，李云召，吳宏春

(西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710049)

壓水堆中堆芯的燃耗分布對于反應(yīng)堆的燃料管理[1]、組件性能評價(jià)、乏燃料處理等具有重要意義。而在反應(yīng)堆運(yùn)行期間，無法通過實(shí)驗(yàn)方法直接測量得到燃耗分布，數(shù)值模擬一直是確定堆芯燃耗分布最重要的方法。數(shù)值模擬方法需根據(jù)堆芯設(shè)計(jì)方案建立對應(yīng)的物理模型，但由于堆內(nèi)構(gòu)件制造偏差、堆芯流量分配不均等因素，數(shù)值模擬與真實(shí)堆芯之間不可避免地存在一定偏差，直觀上表現(xiàn)為功率分布的計(jì)算值與實(shí)測值之間存在一定差異。而堆芯燃耗分布是功率分布對時(shí)間的積分，功率分布的計(jì)算誤差是導(dǎo)致堆芯燃耗分布的計(jì)算誤差最主要的原因之一。因此，如何提高堆芯燃耗分布的計(jì)算精度，是壓水堆數(shù)值模擬中需要解決的關(guān)鍵問題。

在工程科學(xué)中，數(shù)據(jù)同化方法可將不同物理場空間的實(shí)測數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結(jié)果有機(jī)地結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對工程參數(shù)更高精度預(yù)測的目標(biāo)。數(shù)據(jù)同化技術(shù)目前已在數(shù)值天氣預(yù)報(bào)[2]、陸面過程模型[3]等方面得到了廣泛應(yīng)用和驗(yàn)證。近年來隨著數(shù)據(jù)同化方法的發(fā)展，將其應(yīng)用于反應(yīng)堆領(lǐng)域的研究也日益增多：Clerc等[4]采用三維變分(3DVAR)算法，通過功率分布實(shí)現(xiàn)了二維徑向反射層組件參數(shù)的優(yōu)化計(jì)算；劉蘊(yùn)等[5]采用改進(jìn)的變分?jǐn)?shù)據(jù)同化實(shí)現(xiàn)了更準(zhǔn)確的核事故源項(xiàng)反演；Bouriquet等[6-7]采用3DVAR，研究了PWR900堆芯中不同測量裝置對于物理場重構(gòu)的影響；另外，Bouriquet等[8]采用不同的數(shù)據(jù)同化方法對PWR900測量裝置的布置進(jìn)行了優(yōu)化；Pon?ot等[9]比較了不同變分同化方法對于堆芯氙動(dòng)態(tài)預(yù)測的效率；Wan等[10]應(yīng)用線性最小二乘方法對核數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，實(shí)驗(yàn)?zāi)M有效增殖因數(shù)keff的誤差降到25 pcm以內(nèi)，同時(shí)將keff的相對不確定度從1%降到0.15%左右。目前數(shù)據(jù)同化方法在核反應(yīng)堆領(lǐng)域的研究大多針對測量裝置優(yōu)化、功率重構(gòu)、核數(shù)據(jù)調(diào)整等，尚未有應(yīng)用于堆芯燃耗分布的研究。

本文基于3DVAR算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，研究適用于壓水堆堆芯燃耗分布的數(shù)據(jù)同化方法，旨在利用堆芯功率分布的實(shí)測值校準(zhǔn)堆芯燃耗分布的計(jì)算值，從而在一定程度上降低其與真實(shí)值之間的誤差?；诒疚奶岢龅亩研救己姆植紨?shù)據(jù)同化方法，在我國某商用壓水堆核電廠上已完成對該同化方法的驗(yàn)證。

1 理論模型

本文利用堆芯功率分布的實(shí)測值建立了針對堆芯燃耗分布的同化模型，對燃耗分布進(jìn)行高精度的反演校準(zhǔn)，降低數(shù)值模擬與工程實(shí)踐之間的誤差，實(shí)現(xiàn)堆芯燃耗分布更高精度的計(jì)算。下面分別詳細(xì)介紹三維變分算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的理論方法。

1.1 三維變分算法

3DVAR通過構(gòu)建代價(jià)函數(shù)描述燃耗分布的計(jì)算值和真實(shí)值之間的差異，利用變分思想把數(shù)據(jù)同化問題轉(zhuǎn)化為代價(jià)函數(shù)極值求解問題，其代價(jià)函數(shù)表達(dá)式為：

(1)

式中：x為堆芯燃耗分布的同化值；xb為堆芯燃耗分布的計(jì)算值；yo為堆芯功率分布的實(shí)測值；H為觀測算子，表示堆芯燃耗分布與功率分布之間的函數(shù)關(guān)系；B為堆芯燃耗分布誤差協(xié)方差矩陣；R為功率分布誤差協(xié)方差矩陣。

對于矩陣B，由于燃耗分布的真實(shí)值無法測量得到，因此本文采用應(yīng)用廣泛的二階自回歸模型[11](SOAR)來近似估計(jì)矩陣B，其主要公式如下：

B=B0C

(2)

(3)

式中：B0為待定標(biāo)量系數(shù)；rij為兩組件的徑向距離；L為特征長度，取1個(gè)組件的徑向?qū)挾取?/p>

對于矩陣R，假設(shè)組件相對功率之間無相關(guān)性，則R可近似為對角陣。本文采用目標(biāo)堆芯的功率分布的誤差限值要求作為其不確定度，即：相對功率大于0.9的組件，其相對誤差不超過5%；小于0.9的組件，其相對誤差不超過8%。因此，矩陣R可表示為：

(4)

對于觀測算子H，由于壓水堆是一個(gè)核-熱-燃耗多物理場緊密耦合的系統(tǒng)，無法顯式地給出堆芯燃耗分布和功率分布之間的函數(shù)關(guān)系。因此，本文采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，通過對大量堆芯功率分布和燃耗分布樣本的機(jī)器學(xué)習(xí)，獲得所需的觀測算子H。

1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法是一種在輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)建立連接關(guān)系的強(qiáng)大工具。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)構(gòu)造最早收到生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連接的啟發(fā)，由最初的多層感知機(jī)不斷發(fā)展，到現(xiàn)在的全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生成對抗網(wǎng)絡(luò)等多種結(jié)構(gòu)[12]，并在深度學(xué)習(xí)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。本文采用全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13]獲得H的顯式表達(dá)式，該網(wǎng)絡(luò)通常由3部分構(gòu)成，即輸入層、隱藏層以及輸出層，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中非“+1”的圓圈表示神經(jīng)元，“+1”圓圈與神經(jīng)元連接線表示偏置。

圖1 全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of fully-connected neutral network

對于輸入層和輸出層有：

a(1)=W(1)x+b(1)

(5)

y=W(out)z(p)+b(p)

(6)

式中：a(1)為第1隱藏層收到的信號向量；W(1)為輸入層與第1隱藏層之間的權(quán)重矩陣；b(1)為第1隱藏層的偏置向量；W(out)為輸出層與第p隱藏層之間的權(quán)重矩陣；b(p)為第p隱藏層的偏置向量；z(p)為第p隱藏層神經(jīng)元的輸出信號向量；x和y分別為輸入向量和輸出向量。

對于中間隱藏層有：

a(g)=W(g)z(g-1)+b(g)

(7)

z(g)=f(a(g))

(8)

式中：a(g)為第g隱藏層收到的信號向量；W(g)為第g-1隱藏層與第g隱藏層之間的權(quán)重矩陣；b(g)為第g隱藏層的偏置向量；f為激活函數(shù)；z(g)為第g隱藏層的輸出信號向量。

2 數(shù)值驗(yàn)證

2.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果及分析

為建立堆芯燃耗分布與功率分布之間的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，本文采用Bamboo-C軟件系統(tǒng)[14]對某壓水堆堆芯建模模擬并得到燃耗分布。在不同燃耗分布下，采用隨機(jī)抽樣方法產(chǎn)生10 000個(gè)堆芯燃耗分布的樣本，并采用Bamboo-C計(jì)算得到對應(yīng)的功率分布樣本。將燃耗分布樣本和對應(yīng)的功率分布樣本組成數(shù)據(jù)集，并按照8∶1∶1的比例分割成3個(gè)子數(shù)據(jù)集：訓(xùn)練集、驗(yàn)證集和測試集?；谟?xùn)練子數(shù)據(jù)集，通過TensorFlow[15]框架搭建全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行訓(xùn)練，損失函數(shù)采用訓(xùn)練輸出的功率分布與給定樣本之間的均方誤差；基于驗(yàn)證集和測試集檢驗(yàn)訓(xùn)練模型。

訓(xùn)練集和驗(yàn)證集預(yù)測功率的相對誤差最大值隨訓(xùn)練輪數(shù)的變化如圖2所示，訓(xùn)練過程訓(xùn)練集和驗(yàn)證集功率分布相對誤差的最大值隨訓(xùn)練輪數(shù)增加逐漸減小。訓(xùn)練完成后最大相對誤差及測試集的測試結(jié)果列于表1，不同數(shù)據(jù)集中預(yù)測功率相對誤差的最大值為5.19 GW·d/tU下訓(xùn)練集的1.11%。由此表明本文構(gòu)建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在給定堆芯燃耗分布的條件下，對堆芯功率分布的預(yù)測具有滿足要求的精度和可靠度。因此，基于本文建立的堆芯燃耗分布與功率分布之間的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，可以較高精度地獲得觀測算子H的顯示表達(dá)。

圖2 最大相對誤差變化Fig.2 Change of maximum value for relative error

表1 不同子數(shù)據(jù)集的最大相對誤差Table 1 Maximum value of relative errors in different sub-datasets

2.2 燃耗分布同化結(jié)果及分析

由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型確定觀測算子H后，求解代價(jià)函數(shù)極值即可獲得同化后的燃耗分布。近年來深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的Adam優(yōu)化方法[16]得到了廣泛應(yīng)用，具有高效、占用內(nèi)存少、大規(guī)模參數(shù)優(yōu)化適用性等特點(diǎn)，因此本文采用該方法進(jìn)行燃耗分布多極值優(yōu)化問題的求解。由于矩陣B對函數(shù)求解有著直接的影響，因此本文首先對B開展了敏感性分析。以第1個(gè)燃耗點(diǎn)2.79 GW·d/tU為例，分別選取B0=10n，n=-1，0，1，2，3等5種不同取值進(jìn)行分析[17]，結(jié)果表明，當(dāng)B0=1時(shí)，SOAR方法具有較好的效果，因此B0取為1。此時(shí)，同化后的功率分布相對誤差最大為3.96%，最小為-1.96%，相較于同化前功率分布的相對誤差最大值5.35%和最小值-2.46%，具有明顯的改善效果。同化后的組件燃耗分布相較于同化前的絕對偏差如圖3所示，同化后的燃耗分布相較于同化前最大絕對偏差為0.46 GW·d/tU，最小為-0.47 GW·d/tU，偏差RMS為0.23 GW·d/tU，此時(shí)的燃耗調(diào)整量相對于堆芯平均燃耗深度2.79 GW·d/tU較為合理。在其他燃耗點(diǎn)下，按照上述步驟進(jìn)行B0的敏感性分析，選取SOAR效果最好的B0進(jìn)行3DVAR。并在每一步完成燃耗分布數(shù)據(jù)同化后選用同化后的燃耗分布進(jìn)行CNP1000功率歷史模擬。為進(jìn)一步驗(yàn)證燃耗分布同化的正確性，本文將結(jié)合數(shù)據(jù)同化的功率歷史模擬與初始不結(jié)合數(shù)據(jù)同化的功率歷史模擬進(jìn)行對比分析，分析參數(shù)包括功率分布、臨界硼濃度(CBC)、軸向功率偏移(AO)、熱點(diǎn)因子(Fq)和焓升因子(FΔH)等。

圖3 2.79 GW·d/tU同化前后的燃耗分布偏差Fig.3 Bias of burnup distribution before and after assimilation at 2.79 GW·d/tU

功率分布相對誤差對比如表2所列，結(jié)合數(shù)據(jù)同化的功率歷史模擬在每個(gè)燃耗步都降低了功率分布的相對誤差，降低后的相對誤差均滿足壓水堆的限值要求。其中最大改善效果為10.04 GW·d/tU下，功率分布最大相對誤差由9.53%降到5.11%。CBC、AO、Fq和FΔH誤差對比分別如圖4所示，由于本文研究針對于徑向二維燃耗分布，且同化前后的堆芯平均燃耗深度保持一致，結(jié)合數(shù)據(jù)同化的功率歷史模擬基本不改變CBC誤差和AO誤差，其中CBC平均誤差由-19.0 ppm變?yōu)?19.8 ppm，AO平均誤差由-0.58%降到-0.56%；Fq和FΔH誤差略有減小，且隨著燃耗加深改善程度逐漸變小，其中Fq平均誤差由-0.054降到-0.048，F(xiàn)ΔH平均誤差由-0.029降到-0.021。

表2 功率分布相對誤差對比Table 2 Comparison of relative errors for power distribution

圖4 其他重要參數(shù)誤差對比Fig.4 Comparison of other important parameters’ errors

結(jié)合上述數(shù)值結(jié)果可知，燃耗分布數(shù)據(jù)同化對于功率分布具有一定的改善效果，但功率分布誤差來源有多種因素，因此本文只針對于燃耗分布的數(shù)據(jù)同化無法使功率分布誤差進(jìn)一步下降，針對燃耗的同化對于功率分布的改善效果有限，需增加對其他參數(shù)的聯(lián)合同化，徹底解決功率計(jì)算誤差的原因。

3 結(jié)論

本文基于三維變分算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，有機(jī)地結(jié)合堆芯燃耗分布與功率分布，開展了壓水堆堆芯燃耗分布同化方法研究，利用堆芯功率分布的實(shí)測值建立了燃耗分布的數(shù)據(jù)同化模型。數(shù)值結(jié)果表明，燃耗分布同化對功率分布的改善效果較為明顯；由于同化前后堆芯平均燃耗深度不變，其對CBC和AO基本無影響，對FΔH、Fq的改善效果較小。因此，本文提出的基于三維變分和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的壓水堆堆芯燃耗分布同化方法可有效地達(dá)到提高壓水堆堆芯燃耗分布計(jì)算精度的目標(biāo)，從而進(jìn)一步提升反應(yīng)堆運(yùn)行的安全性和經(jīng)濟(jì)性。作為下一步的研究計(jì)劃，擬將基于本文提出的同化方法，開展結(jié)合其他重要參數(shù)的聯(lián)合數(shù)據(jù)同化方法研究。