趙克剛 何坤陽(yáng) 黎杰 梁志豪 貝涇浩 王玉龍

（1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東廣州 510640；2.廣州華工機(jī)動(dòng)車檢測(cè)技術(shù)有限公司，廣東廣州 510640；3.廣州汽車集團(tuán)股份有限公司汽車工程研究院，廣東廣州 511434）

混合動(dòng)力汽車的能量管理策略問(wèn)題不僅關(guān)系到整車的燃油經(jīng)濟(jì)性，同時(shí)也與排放性，整車動(dòng)力性等性能密切相關(guān)［1］。許多能量管理策略的研究側(cè)重于提高燃油經(jīng)濟(jì)性，在優(yōu)化過(guò)程中沒(méi)有考慮其它目標(biāo)，所獲得的最優(yōu)解犧牲了與之相沖突的其它目標(biāo)［2］。為了提升混合動(dòng)力汽車的綜合性能，學(xué)者們?cè)诳紤]燃油經(jīng)濟(jì)性的同時(shí)，也將電池?fù)p耗［3-5］、駕駛性能［6］、尾氣排放［7-8］等指標(biāo)納入優(yōu)化的范圍，并提出了相關(guān)的多目標(biāo)能量管理優(yōu)化問(wèn)題求解方法。

多目標(biāo)進(jìn)化算法是多目標(biāo)能量管理策略優(yōu)化問(wèn)題常用的求解方法。Cheng 等［9］通過(guò)利用三種先進(jìn)的多目標(biāo)進(jìn)化算法優(yōu)化基于規(guī)則的混合動(dòng)力汽車能量管理策略，驗(yàn)證了多目標(biāo)進(jìn)化算法運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題的可行性。秦大同等［4］基于多目標(biāo)改進(jìn)遺傳算法對(duì)規(guī)則參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，分析了規(guī)則參數(shù)對(duì)油耗和電池?fù)p耗的影響。耿文冉等［10］提出了基于粒子群優(yōu)化算法和等效燃油消耗最小策略的多目標(biāo)能量管理策略，實(shí)現(xiàn)了降低整車能耗并控制電池電量。文獻(xiàn)［11］中以燃油消耗、SOC和排放性能作為能量管理策略優(yōu)化目標(biāo)，應(yīng)用遺傳算法實(shí)現(xiàn)了折中優(yōu)化。然而，多目標(biāo)進(jìn)化算法依賴解的適應(yīng)度值來(lái)引導(dǎo)對(duì)解空間的搜索，難以有效利用各階段決策變量之間的關(guān)聯(lián)性信息提高搜索效率［12］；同時(shí)，多目標(biāo)進(jìn)化算法本身的收斂性并不總是能夠保證的，求解結(jié)果未必是最優(yōu)的［13］。

DP算法作為一種收斂性能保證的確定性算法，常用于求解能量管理策略等多階段決策問(wèn)題［13］。加權(quán)法可以將多目標(biāo)優(yōu)化等效轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行求解［14］，因此，學(xué)者們通常將加權(quán)法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃法結(jié)合起來(lái)處理多目標(biāo)能量管理策略。文獻(xiàn)［15-17］在研究以提高燃油經(jīng)濟(jì)性和保護(hù)電池為目標(biāo)的能量管理策略時(shí)，基于加權(quán)法建立了性能函數(shù)，應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解了該優(yōu)化問(wèn)題，并分析了不同權(quán)系數(shù)對(duì)求解結(jié)果的影響。隗寒冰等［18］將燃油消耗量和HC、NOx、CO的排放量的優(yōu)化目標(biāo)歸一化處理，并用加權(quán)法將各目標(biāo)處理為單目標(biāo)函數(shù)，最終利用DP算法完成求解。由文獻(xiàn)［19］可知，通過(guò)加權(quán)法轉(zhuǎn)化所得的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解必是原多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的非支配解。多目標(biāo)優(yōu)化的意義在于求取非支配解集以供設(shè)計(jì)者根據(jù)設(shè)計(jì)需要選擇［6］。然而，應(yīng)用加權(quán)法選取一個(gè)權(quán)重系數(shù)只能獲得一個(gè)最優(yōu)解，因此需要遍歷一定范圍內(nèi)的權(quán)重系數(shù)才能獲得問(wèn)題的非支配解集。遍歷權(quán)重系數(shù)的主要問(wèn)題在于權(quán)重系數(shù)的均勻分布不一定產(chǎn)生一個(gè)均勻分布的非支配解集，且反復(fù)求解單一優(yōu)化問(wèn)題將造成相當(dāng)大的計(jì)算負(fù)擔(dān)。

針對(duì)現(xiàn)有的多目標(biāo)能量管理策略求解算法存在的不足，在保證充分發(fā)揮動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的收斂性和全局優(yōu)化特性的前提下，本文將動(dòng)態(tài)規(guī)劃法拓展到多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域，提出了非支配排序動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。

1 非支配排序動(dòng)態(tài)規(guī)劃法

根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的求解思想，將多目標(biāo)多階段決策問(wèn)題依據(jù)時(shí)間或空間劃分為N個(gè)子階段問(wèn)題，每個(gè)子階段問(wèn)題都有現(xiàn)階段的容許狀態(tài)變量空間以及對(duì)應(yīng)的容許控制變量空間。多目標(biāo)多階段決策問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為

式中：f為目標(biāo)函數(shù)向量；Jq，k為第k個(gè)子階段的第q個(gè)目標(biāo)函數(shù)累積值；X(k)為第k階段容量為n的容許狀態(tài)空間，用xi[k]表示X(k)中的第i個(gè)狀態(tài)變量；Ui(k)為在第k階段第i個(gè)狀態(tài)下容量為m的容許控制集合，用表示X(k)中的第j個(gè)狀態(tài)變量；為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，x[k+1]為k階段作出的決策通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程求得第k+1階段所處的狀態(tài)。

在每個(gè)階段通過(guò)決策，即可求得現(xiàn)階段瞬時(shí)代價(jià)函數(shù)

對(duì)于每個(gè)階段中某個(gè)狀態(tài)變量，首先求取它在不同允許控制變量下產(chǎn)生的瞬時(shí)代價(jià)函數(shù)值，然后通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得到下一階段所處狀態(tài)以及對(duì)應(yīng)的累積目標(biāo)函數(shù)值，相加求得現(xiàn)階段的累積目標(biāo)函數(shù)值，即：

實(shí)際上，遍歷整個(gè)允許狀態(tài)空間求得的是所有狀態(tài)在不同控制策略下的累積目標(biāo)函數(shù)值集合Jk(X(k))。為獲得整個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)控制策略，要保證每個(gè)階段中確定的策略是最優(yōu)的。因此，需在Jk(X(k))內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)以獲取最優(yōu)解optJk(xi(k))及對(duì)應(yīng)的控制策略。然而，對(duì)于多目標(biāo)問(wèn)題，每個(gè)階段求得的累積目標(biāo)函數(shù)值為向量，應(yīng)用傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法難以完成尋優(yōu)過(guò)程。

在多目標(biāo)問(wèn)題中，難以同時(shí)使所有優(yōu)化目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，一般只能獲取一組各目標(biāo)折中權(quán)衡的非支配解集作為最優(yōu)解。在每個(gè)階段的尋優(yōu)過(guò)程中應(yīng)用快速非支配排序算法［20］，對(duì)求得目標(biāo)函數(shù)累積向量集進(jìn)行非支配排序可獲得現(xiàn)階段的非支配解集，即：

依序逆向遞推至初始階段，便可得到關(guān)于整個(gè)問(wèn)題的非支配解集以及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略，即整個(gè)問(wèn)題的解。

2 多目標(biāo)能量管理優(yōu)化問(wèn)題的構(gòu)建

本節(jié)以混聯(lián)式混合動(dòng)力汽車為研究對(duì)象，將最小化燃油消耗量和電池?fù)p耗作為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建多目標(biāo)能量管理策略優(yōu)化問(wèn)題。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)一種基于損耗累積模型的混合動(dòng)力汽車電池壽命估計(jì)方法［21］，可通過(guò)計(jì)算電池有效安時(shí)流通量來(lái)評(píng)估電池的實(shí)際消耗。因此，對(duì)于考慮燃油消耗和電池?fù)p耗的能量管理策略問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)為

式中：Be為發(fā)動(dòng)機(jī)的燃油消耗量；Aheff為有效安時(shí)流通量；be為瞬時(shí)燃油消耗量；I為流經(jīng)動(dòng)力電池的電流；σ表示電池在不同工作條件下電荷轉(zhuǎn)移的強(qiáng)度，稱為強(qiáng)度系數(shù)。為了計(jì)算方便，本文用安培（A）與時(shí)間秒（s）的乘積表示有效安時(shí)流通量，其單位表示為A·s。

發(fā)動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)燃油消耗量可簡(jiǎn)化為發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩靜態(tài)函數(shù)［22］，即

式中，Te，ne分別為發(fā)動(dòng)機(jī)的工作轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速。

2.2 動(dòng)力學(xué)約束條件

在能量管理策略的研究中主要關(guān)注車輛的經(jīng)濟(jì)性表現(xiàn)，因此只考慮車輛的縱向速度變化而忽略其他影響。根據(jù)車輛縱向動(dòng)力學(xué)模型［23］，驅(qū)動(dòng)輪端的需求轉(zhuǎn)矩受行駛工況的道路滾動(dòng)阻力系數(shù)f和坡度角α以及行駛車速u和加速度a影響，驅(qū)動(dòng)輪端需求功率P可用數(shù)學(xué)公式表示為

式中，T為驅(qū)動(dòng)輪端的需求轉(zhuǎn)矩，n為驅(qū)動(dòng)輪端的需求轉(zhuǎn)速。

不同構(gòu)型的混合動(dòng)力汽車，其動(dòng)力源部件布置與耦合方式不盡相同，但從本質(zhì)上說(shuō)，整車穩(wěn)定行駛所需要的功率均來(lái)自發(fā)動(dòng)機(jī)和電池輸出的功率：

式中，P為需求功率，Pe為發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率，Pb為動(dòng)力電池輸出功率；ηt為傳動(dòng)系機(jī)械效率。

兩個(gè)電機(jī)的輸出功率分別為Pm1、Pm2，它們的工作效率主要與工作時(shí)的輸出轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速有關(guān)，可表示為

式中：Tm1、Tm2和nm1、nm2分別為兩個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速；ηm1、ηm2分別為兩個(gè)電機(jī)的工作效率。

各動(dòng)力部件的輸出功率可通過(guò)式（10）計(jì)算，

式中：Ti、ni分別為動(dòng)力部件輸出的轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速。

混合動(dòng)力汽車的各動(dòng)力部件的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩與整車需求轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩通過(guò)特定的方式耦合起來(lái)，耦合方式分為轉(zhuǎn)矩耦合、轉(zhuǎn)速耦合和功率耦合速［24］，可分別用方程式（11）、（12）、（13）表示：

式中：λ、β1、β2、γ、ψ1、ψ2均為耦合機(jī)構(gòu)的特性系數(shù)。

為保證混合動(dòng)力系統(tǒng)的正常使用，動(dòng)力部件的轉(zhuǎn)速ni應(yīng)在轉(zhuǎn)速范圍[ni_min，ni_max]內(nèi)，輸出轉(zhuǎn)矩Ti應(yīng)在相應(yīng)的允許范圍[Ti_min(ni)，Ti_max(ni)]內(nèi)，i=e，ml，m2 分別代表發(fā)動(dòng)機(jī)、電機(jī)1、電機(jī)2；電池荷電狀態(tài)SOC 和輸出功率Pb分別不能超出[SOCmin，SOCmax]和[Pb_min，Pb_max]。

2.3 求解步驟

應(yīng)用NSDP 求解多目標(biāo)能量管理優(yōu)化問(wèn)題的具體步驟如下。

步驟1將功率分配比（電池輸出功率與整車需求功率之比）作為控制變量μ，將電池SOC 作為狀態(tài)變量x。

步驟2設(shè)定非支配解集中解的最大個(gè)數(shù)pareto-num，將問(wèn)題劃分為N個(gè)階段，各階段有m個(gè)狀態(tài)變量，每個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)有n個(gè)控制變量；令k=N。

步驟7對(duì)于第k階段的每個(gè)xi[k]，重復(fù)步驟3-步驟6，即可獲得該階段整個(gè)非支配解集；k=k-1。

步驟8重復(fù)步驟3-步驟7，直至k=1，便可獲得整個(gè)問(wèn)題的非支配解集。

3 仿真與分析

為驗(yàn)證NSDP的有效性，本節(jié)設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)。

1）算法性能對(duì)比實(shí)驗(yàn) 分為4個(gè)小實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2 分別以功率分流式HEV 和串并聯(lián)式HEV作為仿真對(duì)象，在NSDP 中設(shè)置不同的非支配解集個(gè)數(shù)，分析解集個(gè)數(shù)對(duì)求解結(jié)果的影響；實(shí)驗(yàn)3和實(shí)驗(yàn)4在前兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上應(yīng)用WDP 和NSDP 求解在勻加速工況的多目標(biāo)能量管理策略，對(duì)比兩種算法的求解性能；

2）WLTC工況仿真實(shí)驗(yàn) 利用NSDP求解第二款方案的混合動(dòng)力汽車在WLTC工況的多目標(biāo)能量管理優(yōu)化問(wèn)題，獲得非支配解集并進(jìn)行分析。

3.1 動(dòng)力系統(tǒng)概況

3.1.1 方案一

方案一為功率分流式混合動(dòng)力系統(tǒng)，由發(fā)動(dòng)機(jī)、兩個(gè)電機(jī)、動(dòng)力電池以及行星齒輪機(jī)構(gòu)等組成，其結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。整車質(zhì)量m=1 710 kg，車輪半徑r=0.317 m，動(dòng)力系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

圖1 混合動(dòng)力系統(tǒng)構(gòu)型圖（方案一）Fig.1 Hybrid power system configuration diagram（Option 1）

表1 動(dòng)力系統(tǒng)參數(shù)（方案一）Table 1 Power system parameters（Option 1）

該混合動(dòng)力系統(tǒng)各動(dòng)力部件的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩與整車需求轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩耦合方程為

式中，u為目標(biāo)車速，im2為電機(jī)2到輪端的傳動(dòng)比，iPG為行星齒輪機(jī)構(gòu)的齒圈到輪端的傳動(dòng)比，r為車輪半徑。

動(dòng)力電池輸出功率的計(jì)算公式為

式中，sign（z）表示求取z的符號(hào)的函數(shù)。

3.1.2 方案二

方案二為串并聯(lián)式混合動(dòng)力系統(tǒng)，主要包括發(fā)動(dòng)機(jī)、驅(qū)動(dòng)電機(jī)、離合器、ISG電機(jī)和動(dòng)力電池等零部件，發(fā)動(dòng)機(jī)可與ISG 電機(jī)構(gòu)成輔助動(dòng)力單元（APU），組成結(jié)構(gòu)如圖2所示；整車質(zhì)量m=1 710 kg，車輪半徑r=0.317 m，其動(dòng)力系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。

圖2 混合動(dòng)力系統(tǒng)構(gòu)型圖（方案二）Fig.2 Hybrid power system configuration diagram（Option 2）

表2 動(dòng)力系統(tǒng)參數(shù)（方案二）Table 2 Power system parameters（Option 2）

該混合動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中：PAPU為APU 的輸出功率；ηTM為驅(qū)動(dòng)電機(jī)的工作效率；TTM、nTM分別為驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)速；μ為功率分配比；ie和iTM分別為發(fā)動(dòng)機(jī)和驅(qū)動(dòng)電機(jī)到驅(qū)動(dòng)輪端的速比；當(dāng)c=0 時(shí)，表示離合器處于分離狀態(tài)，混合動(dòng)力系統(tǒng)處于純電驅(qū)動(dòng)或串聯(lián)驅(qū)動(dòng)模式，其中串聯(lián)驅(qū)動(dòng)模式包括APU直驅(qū)模式（整車需求功率完全由APU提供）、串聯(lián)放電模式（整車需求功率由APU和電池共同提供）和串聯(lián)充電模式（APU 的輸出功率一部分供給驅(qū)動(dòng)電機(jī)、一部分供給電池充電）；當(dāng)c=1 時(shí)，表示離合器處于接合狀態(tài)，混合動(dòng)力系統(tǒng)處于并聯(lián)或發(fā)動(dòng)機(jī)直驅(qū)模式；當(dāng)c=2 時(shí)，表示混合動(dòng)力系統(tǒng)以制動(dòng)能量回收模式進(jìn)行工作。

3.2 算法性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)

本次實(shí)驗(yàn)的比較對(duì)象為NSDP和WDP，而后者在處理時(shí)間較長(zhǎng)的復(fù)雜仿真工況時(shí)將面臨“維數(shù)災(zāi)難”，倘若利用WDP 進(jìn)行遍歷多個(gè)權(quán)重系數(shù)的仿真，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)硬件將面臨很大的挑戰(zhàn)，且時(shí)間成本也將會(huì)是巨大的。因此，本次實(shí)驗(yàn)選取一段簡(jiǎn)單的勻加速工況（0～96.6 km/h）作為仿真工況，既能體現(xiàn)不同車速下基于兩種算法的能量管理策略對(duì)HEV的控制效果，又能兼顧現(xiàn)實(shí)的軟硬件條件。此外，每個(gè)小實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)算法的程序均維持在工況前后電池SOC不變。

3.2.1 實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2

為了分析最大非支配解個(gè)數(shù)對(duì)NSDP 求解結(jié)果的影響，實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2分別以功率分流式HEV 和串并聯(lián)式HEV為仿真對(duì)象，將NSDP的最大非支配解個(gè)數(shù)設(shè)置為40、80、120、160和200來(lái)求解上述勻加速仿真工況下的多目標(biāo)能量管理策略，求解結(jié)果如圖3和表3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2的求解結(jié)果Fig.3 Solution results of experiment 1 and experiment 2

表3 實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2求解結(jié)果中的指標(biāo)值［26-29］Table 3 Index values in the solution results of experiment 1 and experiment 2

表3 中，解集距離指標(biāo)D(S1，S2)用來(lái)度量?jī)蓚€(gè)解集之間的最小平均距離，S1和S2是同一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的兩個(gè)解集，用|S|表示解集S中解的個(gè)數(shù)，用vi表示解集S1中第i個(gè)解，d(vi，S2)表示vi和S2中的點(diǎn)的最小歐式距離，則它們之間的距離可以根據(jù)式（17）計(jì)算。

解集覆蓋率指標(biāo)C(S1，S2)計(jì)算的是解集S1中被解集S2中至少一個(gè)解支配的解的數(shù)目占解集S1所有解的個(gè)數(shù)的比例，它的數(shù)學(xué)描述為

本小節(jié)計(jì)算的各個(gè)解集距離指標(biāo)D(?，S2)和解集覆蓋率指標(biāo)C(g，S2)中的g為各解集，S2均為最大非支配解個(gè)數(shù)為200的解集。

由圖3 看出，盡管設(shè)置的最大解集個(gè)數(shù)不同，但兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的各解集均在對(duì)應(yīng)的同一個(gè)pareto 前沿附近。同時(shí)根據(jù)表3，以數(shù)量設(shè)置為200 的解集作為參考，其它解集的距離指標(biāo)和覆蓋率指標(biāo)的值并不大。因此，在40～200 范圍內(nèi)，最大解集個(gè)數(shù)對(duì)算法的求解結(jié)果收斂性影響較小。對(duì)于SP 指標(biāo)，它可以度量解集在目標(biāo)空間的分布均勻性，從兩個(gè)實(shí)驗(yàn)可以看出，隨著最大解集個(gè)數(shù)的增大，解集的均勻性有所提升；然而，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，解集個(gè)數(shù)從120 到200 的均勻性提升卻不大。所以，可以選擇將NSDP的最大非支配解集個(gè)數(shù)設(shè)置為120。

3.2.2 實(shí)驗(yàn)3和實(shí)驗(yàn)4

為了對(duì)比NSDP 和WDP 的算法性能，將NSDP的非支配解集最大解個(gè)數(shù)設(shè)置為120，WDP算法的權(quán)重系數(shù)ω也在［0，1］范圍內(nèi)均勻取120 個(gè)值，二者在同一個(gè)計(jì)算平臺(tái)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)3 和實(shí)驗(yàn)4，仿真工況為勻加速工況，仿真對(duì)象分別為功率分流式HEV 和串并聯(lián)式HEV。將兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的兩組解集繪制到同一坐標(biāo)系下，如圖4所示。計(jì)算兩種算法的各個(gè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)值，結(jié)果如表4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)3和實(shí)驗(yàn)4求解結(jié)果Fig.4 Solution results of experiment 3 and experiment 4

表4 實(shí)驗(yàn)3和實(shí)驗(yàn)4求解結(jié)果中的指標(biāo)值［26-29］Table 4 Index value in the solution results of experiment 3 and experiment 4

由表4可知，盡管WDP在［0，1］范圍內(nèi)均勻取了120個(gè)權(quán)重系數(shù)值，但是兩個(gè)實(shí)驗(yàn)最終分別只獲得了14、46 個(gè)有效解。這是因?yàn)閷?duì)于離散問(wèn)題，權(quán)重系數(shù)的微小改變不足以改變決策，從而使得相差較小的權(quán)重系數(shù)最終所獲得的結(jié)果相同。

HV 指標(biāo)能夠同時(shí)評(píng)價(jià)所求解集的收斂性和廣泛性，在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中，求解結(jié)果的HV 指標(biāo)相差分別為1.606 8%和0.805 6%，兩種算法的收斂性和廣泛性表現(xiàn)相近。根據(jù)解集距離指標(biāo)計(jì)算結(jié)果以及由圖4 所示，NSDP 算法的解集很接近WDP 算法的解集；實(shí)驗(yàn)3 中C(NSDP，WDP)和C(WDP，NSDP)分別為0.050 0和0.066 7，說(shuō)明兩個(gè)算法僅有個(gè)別解支配另一算法的解；實(shí)驗(yàn)4 中C(NSDP，WDP)和C(WDP，NSDP)均為0，說(shuō)明兩種算法的解集互不存在支配關(guān)系。綜上所述，NSDP 能夠保證動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的收斂性和廣泛性。

在實(shí)驗(yàn)3中，WDP的SP指標(biāo)（40.038 4）遠(yuǎn)大于NSDP 的SP 指標(biāo)（1.713 0），表明NSDP 所獲得解集的均勻性明顯優(yōu)于WDP 所獲解集的均勻性。在實(shí)驗(yàn)4中，兩種算法求解結(jié)果的SP指標(biāo)相差不大，說(shuō)明它們所獲得解集的均勻性表現(xiàn)接近?？梢?jiàn)，利用WDP 均勻遍歷權(quán)重系數(shù)并不能保證獲得均勻的解集。在實(shí)驗(yàn)4 中，WDP 和NSDP 所求得的解集非常的相近，個(gè)別解存在一定的差別，主要原因是在NSDP 求解過(guò)程中每個(gè)階段都會(huì)根據(jù)擁擠度舍棄掉一部分的非支配解。

在同一計(jì)算平臺(tái)下求解勻加速工況下的多目標(biāo)能量管理策略問(wèn)題，兩次實(shí)驗(yàn)NSDP 求解花費(fèi)時(shí)間分別為621 s和2 518.8 s，而WDP 求解花費(fèi)的時(shí)間分別為66 046 s 和297 354.1 s，分別是NSDP 的106 倍和118 倍。這說(shuō)明NSDP 在求解效率方面具有顯著的優(yōu)勢(shì)。

3.3 WLTC工況仿真實(shí)驗(yàn)

本小節(jié)面向方案2 構(gòu)型HEV，根據(jù)GB19578—2021《乘用車燃料消耗量限值》，選取WLTC 工況作為仿真工況，并利用NSDP 求解。根據(jù)3.2 節(jié)的結(jié)論，在區(qū)間［40，200］內(nèi)，最大非支配解個(gè)數(shù)并不會(huì)顯著影響算法的收斂性和均勻性，且考慮到WLTC 工況時(shí)間更長(zhǎng)以及兼顧算法的求解效率，將NSDP最大非支配解個(gè)數(shù)也設(shè)置為120。計(jì)算平臺(tái)為64 位Win10 操作系統(tǒng)，配置8 核i7-8700K 3.70GHz的CPU，64GB物理內(nèi)存。

NSDP 最終獲得有效解個(gè)數(shù)為120 個(gè)，求解時(shí)間為54 882 s，非支配解集如圖5 所示。若采取加權(quán)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法，由3.2 節(jié)實(shí)驗(yàn)可估計(jì)所需的時(shí)間約為1 525 個(gè)小時(shí)，且難以獲得均勻的、能反映仿真對(duì)象特性的求解結(jié)果，這顯然不能令人滿意。

圖5 WLTC工況下的非支配前沿Fig.5 Non-dominated frontier under WLTC

由圖5可知，隨著燃油消耗總量的增加，有效安時(shí)流通總量在不斷減少，但是其減少的速率也在不斷降低。在到達(dá)某一個(gè)點(diǎn)（轉(zhuǎn)折點(diǎn)）后，燃油消耗總量的增加并不會(huì)造成有效安時(shí)流通總量的明顯減少。為了探究出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因，選取轉(zhuǎn)折點(diǎn)前后各3個(gè)點(diǎn)的求解結(jié)果進(jìn)行分析，具體求解結(jié)果如表5所示。

表5 轉(zhuǎn)折點(diǎn)前后各3個(gè)點(diǎn)的求解結(jié)果Table 5 Solution results of 3 points before and after the turning point

為了更清晰展現(xiàn)不同非支配解之間的差異，圖6是表5中各點(diǎn)的SOC變化曲線和工作分布點(diǎn)。由表5和圖6可以得出，在轉(zhuǎn)折點(diǎn)前，燃油消耗量的增加主要是因?yàn)椴捎眉儼l(fā)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)模式次數(shù)的增加，而有效安時(shí)流通總量減少的主要原因則是采用純電驅(qū)動(dòng)模式的次數(shù)減少。從油耗最小點(diǎn)變化到有效安時(shí)流通總量最小點(diǎn)，在車速較高和需求轉(zhuǎn)矩較大的工況下使用并聯(lián)驅(qū)動(dòng)模式的次數(shù)越來(lái)越少，取而代之的是串聯(lián)驅(qū)動(dòng)（包含APU 直驅(qū)）；相對(duì)于轉(zhuǎn)折點(diǎn)前，轉(zhuǎn)折點(diǎn)后采用APU直驅(qū)模式占比的增加，這是燃油消耗量增加而不會(huì)引起電池有效安時(shí)流通總量的劇烈變化的主要原因。因?yàn)樵诖斯ぷ髂Ｊ较拢珹PU消耗燃油產(chǎn)生的電流不經(jīng)過(guò)動(dòng)力電池而全部供給驅(qū)動(dòng)電機(jī)。

圖6 SOC變化曲線和工作分布點(diǎn)圖Fig.6 SOC change curve and work point diagram

非支配解集轉(zhuǎn)折點(diǎn)求解結(jié)果相對(duì)于油耗最小點(diǎn)燃油消耗總量增加了5.26%，而有效安時(shí)流通總量降低了72.29%，大幅降低了動(dòng)力電池的壽命損失；從轉(zhuǎn)折點(diǎn)到有效安時(shí)流通總量最小點(diǎn)變化不大，而燃油消耗總量變化明顯，電池壽命損耗的降低將犧牲較大的燃油經(jīng)濟(jì)性。因此，可以選擇轉(zhuǎn)折點(diǎn)優(yōu)化的最終結(jié)果。對(duì)于NSDP 的求解結(jié)果，工程人員也可以根據(jù)設(shè)計(jì)的需求選取其他解作為最終優(yōu)化結(jié)果。

4 結(jié)論

為了高效高質(zhì)量地求解混合動(dòng)力汽車多目標(biāo)能量管理優(yōu)化問(wèn)題，本文將動(dòng)態(tài)規(guī)劃法和非支配排序法兩者的求解思想有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)了NSDP 算法。通過(guò)算法性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)看出，NSDP 不僅能夠保持動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的收斂性和廣泛性，而且能穩(wěn)定地獲得均勻的非支配解集。同時(shí)，NSDP 所需的求解時(shí)間僅不到WDP的1%，在求解效率方面有顯著優(yōu)勢(shì)。

應(yīng)用NSDP 完成了某款串并聯(lián)式混合動(dòng)力汽車在WLTC仿真工況下的多目標(biāo)能量管理優(yōu)化問(wèn)題的求解，并針對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行了分析。借助于NSDP這一求解工具，可高效地獲得多目標(biāo)能量管理策略優(yōu)化問(wèn)題非支配解集，相關(guān)技術(shù)人員可通過(guò)非支配解集充分了解最優(yōu)策略下各個(gè)指標(biāo)之間的相互關(guān)系，總結(jié)其中規(guī)律，為實(shí)際能量管理策略的設(shè)計(jì)做準(zhǔn)備。