劉蕊 王威 （哈爾濱師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院）

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）修訂時(shí)新增的核心詞，其中的闡釋是模型思想地建立及學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。小學(xué)階段所研究的模型思想是根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活中遇到的問題情境，進(jìn)行抽象的過程，通過建立數(shù)學(xué)模型以及運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決同類問題的意識與方法?，F(xiàn)階段培養(yǎng)小學(xué)生模型思想仍存在一些現(xiàn)實(shí)問題，如教師教學(xué)方法單一、難以連接學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)引導(dǎo)學(xué)生主動構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；學(xué)生模型意識淡薄、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型能力不強(qiáng)等。基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則，一方面有利于教師根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)在課堂中創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境滲透模型思想，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力；另一方面，有利于學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)在生活中的魅力。

我國早在19 世紀(jì)末已經(jīng)有了對高等教育領(lǐng)域模型思想地研究。經(jīng)過多年對模型思想地實(shí)踐研究，模型思想逐漸深入小學(xué)教學(xué)的教學(xué)領(lǐng)域，研究目的主要為促進(jìn)一線教師重視教學(xué)中的建模過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。目前，對于小學(xué)階段模型思想地研究和認(rèn)知相對比較匱乏，教師教育理念陳舊，教師注重建模結(jié)果忽視建模過程。因此，教師在課堂上高效滲透模型思想還有很大的發(fā)展空間 。

一、基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則探討小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生模型思想的價(jià)值

弗萊登塔爾是20 世紀(jì)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域最偉大的教育家之一， 他的數(shù)學(xué)教育思想為我國課程改革帶來了新的思路。弗氏數(shù)學(xué)教育理論中的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則主張數(shù)學(xué)源于生活，存在于生活并應(yīng)用于生活，每個(gè)學(xué)生在不同階段都有不一樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)即兒童在以往的生活與學(xué)習(xí)中所掌握的與數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)相關(guān)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、邏輯思考方式、解決問題的策略等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不能將數(shù)學(xué)教學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活相割裂，脫離了現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)教學(xué)是無趣的、抽象的、機(jī)械的。不能將數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)相割裂，脫離了學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)不易被學(xué)生理解與接受。數(shù)學(xué)模型通過數(shù)學(xué)的語言符號和方法來描述現(xiàn)實(shí)世界，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的橋梁，借助數(shù)學(xué)模型有助于數(shù)學(xué)教學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)生活。

同樣在新課標(biāo)中明確提出鼓勵(lì)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)生活情境中的數(shù)學(xué)問題并抽象成為特定的數(shù)學(xué)模型、主動對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行檢驗(yàn)與應(yīng)用。這一過程加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感體驗(yàn)。新課標(biāo)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則相契合，充分體現(xiàn)了模型思想的重要性。數(shù)學(xué)模型與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)緊密相關(guān)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中走出書本，走進(jìn)學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生模型思想存在的問題

（一）教師注重書本教學(xué)，忽視學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

教學(xué)中，小學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想地滲透與培養(yǎng)主要源于課本教材，是經(jīng)過專家學(xué)者精心設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生建立模型思想的過程也是被動接受的過程。弗萊登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》一書中提出，教師講授現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識是違反教法的，自然界或現(xiàn)實(shí)生活中的問題情境的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)問題不應(yīng)該由教科書的作者或者教師來示范說明，而應(yīng)該留給學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、探索與體驗(yàn)。培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想不能脫離于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，目前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中以教材為主，忽視學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，易使學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣與探究數(shù)學(xué)模型的興趣。

（二）學(xué)生缺少現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)，難以主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

小學(xué)數(shù)學(xué)是日常生活的一部分，廣闊的生活中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識，弗萊登塔爾指出數(shù)學(xué)教學(xué)要與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)緊密地聯(lián)系在一起。現(xiàn)實(shí)生活中的問題往往包含了很多復(fù)雜的因素且解決問題的辦法是多種多樣的，而在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生解決的是經(jīng)過專家、教材編者精心設(shè)計(jì)的有固定答案的問題而并不是現(xiàn)實(shí)中的真實(shí)問題。自然中蘊(yùn)含著豐富有趣的數(shù)學(xué)知識，如螞蟻在搬運(yùn)食物的過程中總能找到最短的路線；丹頂鶴成群結(jié)隊(duì)遷徙時(shí)，排成的人字形角度是固定不變的。給予學(xué)生更多機(jī)會接觸大自然，增加學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)有利于師生在教學(xué)過程中回歸現(xiàn)實(shí)，化抽象為具體，讓學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)概念，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，探索自然界中的數(shù)學(xué)模型。同樣，基于生活經(jīng)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生的模型思維也是課程改革貫徹的思想路徑。

培養(yǎng)學(xué)生的模型思想需要教育者聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)上滲透。學(xué)生積極主動地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型思想需要有自己獨(dú)特的生活經(jīng)驗(yàn)以及與自然接觸后對問題地思考，讓學(xué)生體驗(yàn)在生活中有趣而復(fù)雜的問題情境，在問題情境中從多角度發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，將數(shù)學(xué)問題經(jīng)過思考再次加工提煉出數(shù)學(xué)模型，并對自己頭腦中所創(chuàng)建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行進(jìn)一步地驗(yàn)證與運(yùn)用。生活經(jīng)驗(yàn)的缺失容易使學(xué)生逐漸失去接觸現(xiàn)實(shí)生活的機(jī)會、探索數(shù)學(xué)問題的樂趣、體驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問題的過程，因此學(xué)生很難主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

（三）教師創(chuàng)設(shè)建模情境脫離學(xué)生生活實(shí)際，滲透模型思想效果不佳

模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型是為解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題而建立的數(shù)學(xué)概念、公式、定義、法則等。一些小學(xué)教師認(rèn)為模型思想是高深的、抽象的，需要復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境與條件，包含廣泛的數(shù)學(xué)綜合知識，小學(xué)階段學(xué)生的水平難以汲取其思想內(nèi)核。事實(shí)上，部分教師未能深入理解模型思想的內(nèi)涵，在教學(xué)中進(jìn)行模型思想地滲透時(shí)，創(chuàng)設(shè)建模情境遠(yuǎn)遠(yuǎn)脫離于學(xué)生生活實(shí)際，難以調(diào)動學(xué)生主動構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的積極性。盡管一些教師會根據(jù)教材內(nèi)容創(chuàng)設(shè)情境，滲透內(nèi)容背后的模型思想，但數(shù)學(xué)建模的過程僅僅是對數(shù)學(xué)模型的生搬硬套，而非引導(dǎo)學(xué)生積極表達(dá)、思考與解決問題。教學(xué)中，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握教材內(nèi)容背后的模型思想，合理創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的問題情境，設(shè)計(jì)有趣地實(shí)踐活動，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與建模過程，潛移默化地向?qū)W生滲透模型思想。

三、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則對培養(yǎng)小學(xué)生模型思想的教學(xué)啟示

（一）引導(dǎo)學(xué)生基于個(gè)體經(jīng)驗(yàn)體會數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)源于生活，生活中蘊(yùn)含著豐富的知識，數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則主張教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)不能停留于書本而應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生感受大自然與美好的生活，將數(shù)學(xué)教學(xué)與生活實(shí)際聯(lián)系在一起，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)學(xué)模型的能力。

案例1：認(rèn)識人民幣是人教版一年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，教師可以充分利用學(xué)生在生活中的購物經(jīng)驗(yàn)，將這一節(jié)課程設(shè)計(jì)成為實(shí)踐活動，讓學(xué)生在真實(shí)的購物活動中，了解各類商品的價(jià)格，認(rèn)識元、角、分之間的進(jìn)率關(guān)系。教師在設(shè)計(jì)實(shí)踐活動時(shí)留給學(xué)生一定的時(shí)間和空間，讓學(xué)生成為課堂真正的主人，教師在課堂中扮演組織者與引導(dǎo)者的角色。教師可以聯(lián)系學(xué)生生活中的購物經(jīng)驗(yàn)，盡量多地為學(xué)生提供實(shí)踐與合作交流的機(jī)會，使每一名學(xué)生都能參與到認(rèn)幣、換幣的活動中并在活動中得到充分展示，在感受購物活動樂趣的同時(shí)使學(xué)生認(rèn)識人民幣。

在模擬真實(shí)生活情境中進(jìn)行模型思想地滲透，有利于學(xué)生運(yùn)用模型解決簡單的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的能力，增加學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，有利于學(xué)生在生活情境中主動地提取出數(shù)學(xué)模型。引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型、感受數(shù)學(xué)模型，雖然不能起到立竿見影的效果，但對于學(xué)生模型思想與數(shù)學(xué)思維的長遠(yuǎn)發(fā)展是大有裨益的。

（二）創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境理解數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)具有抽象性，許多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是有難度的,尤其是低年級的學(xué)生，思維以具體形象思維為主，逐步向抽象思維過渡，這一階段的思維仍然依賴于學(xué)生在生活中的直接經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生不依賴于具體的事物與實(shí)物，難以感受具象化數(shù)學(xué)。因此，在教學(xué)中如何能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力是值得教師思考的。數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則主張數(shù)學(xué)必扎根于生活，要將數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系在一起，相比于教師對書本知識的講解，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的教學(xué)情境，更容易調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。教師在設(shè)計(jì)課堂活動時(shí)應(yīng)投其所好，更多地考慮這一階段學(xué)生思維特征與興趣愛好，幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)模型。

案例2：“鴿巢問題”是人教版數(shù)學(xué)六年級下冊的內(nèi)容，這部分內(nèi)容是教學(xué)中的難點(diǎn)。很多教師的教學(xué)急于求證“鴿巢問題”的結(jié)論，忽視了創(chuàng)設(shè)真實(shí)的教學(xué)情境，未能連接學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，學(xué)生難以解決“鴿巢原理”的變式問題。教學(xué)中，教師可以首先創(chuàng)設(shè)“搶凳子”的游戲激發(fā)學(xué)生的興趣；其次設(shè)計(jì)課堂活動，讓學(xué)生動手操作并討論4 支鉛筆放進(jìn)3 個(gè)文具盒的情況；再次引導(dǎo)學(xué)生深入探究，回顧反思，建構(gòu)“鴿巢原理”模型；最后應(yīng)用“鴿巢原理”解決簡單的實(shí)際問題。這樣的課堂設(shè)計(jì)重在接近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，使學(xué)生經(jīng)歷從生活情境中抽象出“鴿巢原理”的過程，深入理解“鴿巢原理”的模型思想，會用“鴿巢原理”解決簡單的實(shí)際問題；通過對“鴿巢原理”的問題變式，提高學(xué)生應(yīng)用“鴿巢原理”數(shù)學(xué)模型的能力，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型與生活是息息相關(guān)的。

在身心愉悅的課堂氛圍中，通過創(chuàng)設(shè)游戲?yàn)闈B透“鴿巢原理”這一數(shù)學(xué)模型做鋪墊，教師充分調(diào)動學(xué)生的求知欲，因地制宜巧妙地設(shè)計(jì)課堂游戲活動，對學(xué)生滲透模型思想有著潤物細(xì)無聲的作用。積極創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，在增強(qiáng)學(xué)生課堂體驗(yàn)感的同時(shí)也為學(xué)生搭建增強(qiáng)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的平臺。在模擬現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生在生活中主動去建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的意識，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情境中的問題及數(shù)學(xué)變量及關(guān)系，再從學(xué)生已有的知識背景、現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)中出發(fā)，發(fā)展學(xué)生的模型思想。這需要教師精心緊湊地設(shè)計(jì)每一環(huán)的教學(xué)活動，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的真實(shí)情境，激發(fā)學(xué)生主動探索現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的聯(lián)系，最終主動建構(gòu)自己對于數(shù)學(xué)模型的理解。

（三）根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有水平選擇數(shù)學(xué)模型解決策略

學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是從以往的學(xué)習(xí)生活中抽象出來的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)思維與經(jīng)驗(yàn)的總和?；趯W(xué)生已有的數(shù)學(xué)背景與經(jīng)驗(yàn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析、檢驗(yàn)和判斷，主動建構(gòu)對模型思想地理解。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師滲透模型思想的效果最終體現(xiàn)于學(xué)生對于數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用能力。從多種角度去探索數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)有利于學(xué)生從不同角度深入理解數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換與再創(chuàng)造的興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的能力。因此，在課堂上基于學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，發(fā)展學(xué)生的模型思想，使學(xué)生在問題解決的過程中尋求多種方法與策略是必不可少的環(huán)節(jié)。

案例3：“雞兔同籠”是人教版數(shù)學(xué)四年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，這一問題既是數(shù)學(xué)趣題也是教學(xué)中的難題。在雞兔同籠的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師讓學(xué)生在問題解決中經(jīng)歷從猜測到熟悉的列表法，再到“假設(shè)法”探究“雞兔同籠”問題過程，最終引出列方程解決“雞兔同籠”問題方法?；趯W(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，逐步探索問題解決的不同方法，感受解決問題的策略和方法的多樣化，最終使學(xué)生熟練掌握“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)模型。

基于學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)探討解決問題的多種方法，啟發(fā)學(xué)生在觀察、猜測中提出新思路、在驗(yàn)證與推理后提出新設(shè)想，注重一題多解，重視多解歸一，使學(xué)生深入掌握數(shù)學(xué)模型的同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，不斷推動學(xué)生發(fā)展認(rèn)知策略與模型思想。

（四）建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題

弗萊登塔爾認(rèn)為生活為數(shù)學(xué)教育提供了豐富的背景，現(xiàn)實(shí)生活緊密包含了數(shù)學(xué)中的各個(gè)要素，數(shù)學(xué)源于生活必然要回歸生活、應(yīng)用于生活以解決實(shí)際生活中的問題。數(shù)學(xué)教學(xué)如果脫離了那些多姿多彩而又錯(cuò)綜相連的現(xiàn)實(shí)問題必將成為“無根之木”。數(shù)學(xué)必扎根于生活，實(shí)施現(xiàn)實(shí)原則的關(guān)鍵是讓學(xué)生接觸現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題、提取出數(shù)學(xué)問題，主動思考如何解決這一問題，總結(jié)方法并能提煉數(shù)學(xué)模型，遇到問題能主動應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決非刻板化的、靈活的現(xiàn)實(shí)問題的能力。

案例4：“植樹問題”是人教版數(shù)學(xué)五年級上冊的教學(xué)內(nèi)容，這一內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)主要是滲透植樹問題的思想方法，教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)學(xué)生常見的生活中的問題，通過畫線段圖，使學(xué)生主動探索植樹規(guī)律，提取植樹模型，再用探索到的植樹模型解決生活中常見的實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，教師應(yīng)善于將模型思想與生活中的實(shí)際問題聯(lián)系起來，結(jié)合具體的事例進(jìn)行數(shù)學(xué)模型思想地滲透。教師應(yīng)意識到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想是為了提高學(xué)生解決實(shí)際生活中的復(fù)雜問題，而不是有準(zhǔn)確答案的虛擬問題。生活中的問題包含了許多小學(xué)生可以嘗試探索的數(shù)學(xué)模型，教師要善于將真實(shí)問題情境遷移到課堂當(dāng)中，培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際生活中主動探索與應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識。

弗氏數(shù)學(xué)教學(xué)思想中數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則充分重視了學(xué)生在教學(xué)中的主體地位。根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)貼近學(xué)生生活的教學(xué)探究活動，讓學(xué)生在生活情境中仔細(xì)觀察、合理猜測驗(yàn)證和解決問題的過程中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型；根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生在生活中善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型、利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際生活中的問題?？傊?，基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則培養(yǎng)小學(xué)生模型思想，可以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。