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        “頻率”與“概率”是一回事嗎?

        2022-11-20 03:20:12張衛(wèi)明
        初中生世界 2022年14期
        關(guān)鍵詞:測量

        文/張衛(wèi)明

        在實際生活中,我們常用隨機事件的頻率去估計該事件的概率。那么,頻率與概率是一回事嗎?為什么可以用頻率估計概率?如何用頻率估計概率?頻率和概率雖然是兩個不同的概念,但二者既有區(qū)別又有聯(lián)系。下面,我們從兩個方面進行分析,來幫助同學(xué)們厘清頻率與概率的關(guān)系。

        一、頻率與概率的區(qū)別

        頻率是指在試驗中,某個對象出現(xiàn)的次數(shù)(即頻數(shù))與試驗總次數(shù)的比值。頻率在試驗之前是不能確定的,它隨著試驗次數(shù)的變化而變化,即便兩次重復(fù)試驗的次數(shù)相同,隨機事件出現(xiàn)的次數(shù)也可能不同,頻率也就可能不同。因此,頻率是一個隨著試驗次數(shù)的增加可能發(fā)生變化的統(tǒng)計量,它是不確定的。

        概率是指一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值。概率是隨機事件自身的屬性,是對隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量。一個隨機事件發(fā)生的概率是由隨機事件自身決定的,并且是先于試驗而客觀存在的,它不會因為試驗次數(shù)的變化而發(fā)生變化。比如,拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5,與做不做試驗或做多少次試驗都無關(guān)。

        二、頻率與概率的聯(lián)系

        初學(xué)概率的同學(xué)可能會產(chǎn)生困擾:概率是什么?是一個精確的數(shù),還是一個近似的數(shù)?事實上,一個隨機事件的發(fā)生既有隨機性(對單次試驗來說),又存在統(tǒng)計規(guī)律性(對大量重復(fù)試驗來說),是偶然性與必然性的統(tǒng)一。隨機事件的統(tǒng)計規(guī)律表現(xiàn)在:隨機事件的頻率會隨著試驗次數(shù)的變化而變化,但在大量的重復(fù)試驗中,隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動,而且,試驗次數(shù)越多,擺動越小,并且頻率會趨于穩(wěn)定。這個性質(zhì)就是頻率的穩(wěn)定性。在實際中,當(dāng)概率不易求出時,人們常常取試驗次數(shù)很大時的事件的頻率作為概率的估計值。試驗次數(shù)越多,頻率與概率就越接近,因此,概率可以通過頻率來“測量”。

        對于概率可以通過頻率來“測量”,我們要明確兩點:

        首先,頻率穩(wěn)定于概率這個結(jié)論是對于在相同的條件下,大量重復(fù)試驗而言的。如果在試驗次數(shù)不多的條件下,用頻率估計概率是不可取的。

        比如,在拋擲硬幣的試驗中,拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣50次,正面朝上的有20次,則正面朝上的頻率是0.4,于是就認為正面朝上的概率大約為0.4。這樣的結(jié)論我們肯定不認同,因為誤差太大了。如果我們不斷增加試驗的次數(shù),就會得到不同的結(jié)果,而這個結(jié)果也會越來越接近這個事件的理論值0.5。因此,頻率穩(wěn)定于概率是對于大量重復(fù)試驗而言的。

        其次,雖然大量重復(fù)試驗后,一個事件的頻率會穩(wěn)定于它的概率,但頻率并不等同于概率,它只是概率的一個近似值。

        比如,拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,正面朝上的概率是0.5,但人們在做拋擲硬幣的試驗時,并不能保證硬幣正面朝上的次數(shù)是試驗總次數(shù)的一半。事實上,在試驗次數(shù)很多時,正面朝上的頻率只是接近0.5。當(dāng)然,這與我們在實際中用頻率去估計概率并不矛盾,就像測量一根木棒的長度一樣。木棒有其客觀存在的“真實長度”,但在實際中,我們測量時,必定會存在誤差。因此,我們用工具測得的木棒長度,總是穩(wěn)定在木棒“真實長度”的附近,很難得到木棒的“真實長度”。這里測量得到的數(shù)值與木棒的“真實長度”的關(guān)系就像頻率與概率的關(guān)系一樣。

        對同學(xué)們來說,概率是一種新的數(shù)學(xué)觀念。概率中的數(shù)學(xué)方法和其他確定性數(shù)學(xué)方法一樣,也是一種科學(xué)的方法,它能夠有效地解決現(xiàn)實世界中的眾多問題,能夠反映概率的思維方式與確定性思維的差異。

        在我們的日常生活和科學(xué)研究中,概率都有著廣泛的應(yīng)用,用頻率估計概率只是求概率的常用方法之一。希望這篇文章能幫助同學(xué)們撥開云霧,為今后的概率學(xué)習(xí)以及在生活中運用頻率和概率解決問題打下基礎(chǔ)。

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