張華健 陳珍平 劉程偉 楊 超 譚 波 甘 斌 陳富財 于 濤

1（南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院 衡陽 421001）

2（中國核動力研究設(shè)計院核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計技術(shù)國家重點實驗室 成都 610213）

3（湖南省數(shù)字化反應(yīng)堆工程技術(shù)研究中心 衡陽 421001）

輻射屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計是反應(yīng)堆設(shè)計的重要組成，是保障反應(yīng)堆安全性與經(jīng)濟性的重要環(huán)節(jié)。隨著核反應(yīng)堆應(yīng)用領(lǐng)域的日漸廣泛（如船舶、航空、勘探與緊急救援等）及先進核反應(yīng)堆設(shè)計的不斷探索，核反應(yīng)堆屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計面臨高要求、無經(jīng)驗、難取舍等多種難題。

傳統(tǒng)屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計主要依賴專家經(jīng)驗，輔以確定論方法或蒙特卡羅方法，進行多輪次迭代修正［1］。近年來，有學(xué)者基于最優(yōu)化理論和算法研究新的輻射屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，在單優(yōu)化目標的屏蔽設(shè)計問題上具有良好表現(xiàn)［2-4］。因此，國內(nèi)外開展了一系列優(yōu)化算法研究，以實現(xiàn)屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計方案自動尋優(yōu)。目前，單目標優(yōu)化研究已拓寬至多目標優(yōu)化領(lǐng)域，能較好解決2～3目標的反應(yīng)堆屏蔽優(yōu)化設(shè)計問題［5-7］。

然而，實際工程中三維屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計過程復(fù)雜，待優(yōu)化目標遠超3個，屬于高維多目標優(yōu)化問題（大于等于4個以上待優(yōu)化目標的問題）范疇，傳統(tǒng)優(yōu)化方法已無法完全滿足工程設(shè)計需求。因此，為進一步擴寬基于優(yōu)化算法理念的屏蔽設(shè)計優(yōu)化方法的應(yīng)用范圍，本文基于第三代非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic AlgorithmⅢ，NSGA-Ⅲ）［8］面向三維屏蔽結(jié)構(gòu)開展高維多目標優(yōu)化方法研究。

1 高維多目標優(yōu)化問題

輻射屏蔽設(shè)計通常需要對重量、體積、輻射劑量率分區(qū)等多個設(shè)計目標進行綜合考量，其中任意一個設(shè)計目標的優(yōu)化還往往會導(dǎo)致其他一個或多個設(shè)計目標的劣化，是一個典型的高維多目標優(yōu)化問題。

基于傳統(tǒng)進化多目標遺傳算法的屏蔽結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化方法在求解二維或三維的屏蔽結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題上具有良好效果。但當待優(yōu)化目標維度增至高維（大于等于4）多目標時，其求解過程主要面臨以下兩個問題［9］：其一，種群中非支配個體占比隨目標維度增加呈指數(shù)形式增加，空間搜索能力退化難以收斂；其二，高維多目標問題下，擁擠度算子［10］計算復(fù)雜，且不適合評價種群多樣性。因此，研究適用于三維屏蔽結(jié)構(gòu)的高維多目標優(yōu)化方法，具有一定工程意義。

文中三維屏蔽結(jié)構(gòu)高維多目標優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可表示為：

式中：X為n維決策向量X=(x1，x2，…，xn)，包含各屏蔽層厚度、材料等信息；W(X)為屏蔽層總重量；V(X)為屏蔽層總體積；RAU(X)為屏蔽層外圍軸向上方輻射劑量率；RAL(X)為屏蔽層外圍軸向下方輻射劑量率；RR(X)為屏蔽層外圍徑向輻射劑量率；Tmin為屏蔽層單層最小厚度；Tmax為屏蔽層單層最大厚度；Mmin為可選屏蔽材料最小序號；Mmax為可選屏蔽材料最大序號。優(yōu)化目標為尋找一組X*=使F(X*)在兼顧5個優(yōu)化目標的情況下達到較優(yōu)結(jié)果。

2 基于NSGA-III高維多目標優(yōu)化方法

本文主要基于NSGA-III算法建立三維屏蔽結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化方法?；舅枷耄簩⑷舾善帘谓Y(jié)構(gòu)設(shè)計方案的集合作為生物種群，每個方案以特定編碼后的染色體（一組二進制數(shù)）進行表征，染色體內(nèi)基因片段代表對應(yīng)方案的設(shè)計參數(shù)，如材料類型、屏蔽層厚度和布置位置等，基于“優(yōu)勝劣汰，適者生存”的自然進化法則，以設(shè)計方案的屏蔽層重量、體積和分區(qū)的輻射劑量率作為適應(yīng)度考量標準，指導(dǎo)方案尋優(yōu)。

三維屏蔽結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法流程圖見圖1。其主要由構(gòu)建屏蔽結(jié)構(gòu)方案初始解空間、方案適應(yīng)度值計算、方案性能評價方法、新方案生成操作和方案集合選擇策略5個關(guān)鍵步驟組成。

圖1 三維屏蔽結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法Fig.1 Flow chart of the 3D shielding structure optimization design method

2.1 構(gòu)建屏蔽結(jié)構(gòu)方案初始解空間

基于待優(yōu)化三維屏蔽結(jié)構(gòu)模型（圖2），提取屏蔽結(jié)構(gòu)信息（表1），并將三維屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計優(yōu)化問題，轉(zhuǎn)換為特定空間幾何上各材料與屏蔽層厚度的組合優(yōu)化問題。

表1 屏蔽層序號與位置說明Table 1 Description of the shield number and its location

圖2 核反應(yīng)堆三維屏蔽結(jié)構(gòu)側(cè)視圖(a)和俯視圖(b)Fig.2 Side view(a)and vertical view(b)of 3D shielding structure of nuclear reactor

屏蔽方案的材料、屏蔽層厚度和屏蔽層位置等關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)，以經(jīng)過特定編碼后生成的二進制數(shù)組表示，二進制數(shù)組與方案呈一一映射關(guān)系。以合理約束設(shè)定規(guī)避生成不具有可行性的方案，然后在各參數(shù)取值范圍內(nèi)隨機抽樣產(chǎn)生新方案，所有新方案的集合構(gòu)成一個初始解空間。

2.2 屏蔽結(jié)構(gòu)方案適應(yīng)度值計算方法

屏蔽結(jié)構(gòu)方案尋優(yōu)過程中，方案以二進制數(shù)組形式存在，經(jīng)譯碼（即反向編碼）操作獲取方案的關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)，便可使用理論公式計算方案的屏蔽層重量、體積。因屏蔽性能的求解需借助屏蔽計算程序開展，且程序計算需要讀取特定格式文件（屏蔽計算模型），故依照方案關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)和待優(yōu)化三維模型結(jié)構(gòu)生成特定屏蔽計算模型，調(diào)用屏蔽計算程序完成各個區(qū)域輻射劑量率的求解。

本文基于蒙特卡羅模擬計算程序（Monte Carlo N-Particle Transport Code，MCNP）開展屏蔽計算分析，選取屏蔽層最外側(cè)軸向上方平面、軸向下方平面和徑向側(cè)面平面三個位置開展區(qū)域輻射劑量率的求解。求解的輻射劑量率為人體（或其他生物體）單位時間所受到的輻射強度，基于粒子通量-劑量率轉(zhuǎn)換因子（來自美國國家標準ANSI/ANS-6.1.1-1977）將MCNP求取到的粒子通量密度轉(zhuǎn)換后獲得，因MCNP的粒子輸運計算是模擬單個粒子的輸運過程，故求解的劑量率結(jié)果為歸一化劑量率。為了提高計算效率，采用了多核并行、重要性減方差及多群輸運等手段，采用相應(yīng)方法后的計算資源對比如表2所示。

表2 MCNP計算資源對比Table 2 MCNP computing resource comparison

從表2可以看出，多核并行方法可顯著加快運算速度，但占用了大量內(nèi)存；重要性減方差方法可有效提高求解精度，但耗費了大量時間；多群輸運方法同時減少了內(nèi)存占用和運算時間，卻犧牲了部分計算精度；綜合使用這三種方法后，內(nèi)存占用略微減少，運算速度和計算精度顯著提高，進而有效提高了輻射屏蔽計算效率。

2.3 屏蔽結(jié)構(gòu)方案性能評價方法

對不同三維屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計方案進行性能評價時，在單目標（如屏蔽層重量）情況下，屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計方案的屏蔽層重量越小，則方案性能越優(yōu)。但在多目標情況下，由于每個屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計方案具有多維屬性（如屏蔽層重量、體積、分區(qū)劑量率等），評判方案性能優(yōu)劣不能簡單依靠數(shù)值大小關(guān)系進行直觀判斷。

利用Pareto支配［11］作為屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計方案的性能評價方法，即當兩個方案間存在Pareto支配關(guān)系時，其中處于支配地位的方案性能將優(yōu)于處于被支配地位另一方案。對于方案集合中任意兩個方案Xu和Xv，如果Xu和Xv滿足下列條件就認為XuPareto支配Xv，簡稱Xu支配Xv：

當Xu和Xv之間不存在相互支配情況，且Xu和Xv也并不完全相等時，則Xu和Xv互為非支配，兩方案無法直接進行性能比較。

依照各方案間的支配關(guān)系對當前方案集合進行快速非支配排序（圖3）。首先對于每個方案計算兩個數(shù)值：支配該方案的方案數(shù)目np，被該方案支配的方案集合Sp。當前所有支配計數(shù)np為0的所有方案，構(gòu)成第一層非支配層，存入F1層。檢索F1層內(nèi)所有方案的支配方案集合Sp，將其內(nèi)方案的支配計數(shù)np減1，當任何方案的支配計數(shù)np變?yōu)?時，將其取出存入F2層，構(gòu)成第二層非支配層。如此往復(fù)，直到所有的解都被存入對應(yīng)分層內(nèi)。其中，方案所在的非支配層序號越靠前，代表該方案在當前方案集合中的適應(yīng)度越好，越容易將遺傳信息傳遞給下一代方案。

圖3 快速非支配排序流程圖Fig.3 Flow chart of fast nondominated sorting

對于解空間內(nèi)的任意一個方案Xw，當且僅當解空間內(nèi)不存在可支配Xw的方案，便稱Xw為Pareto最優(yōu)解，其特點是：無法在改進任何目標屬性的同時不削弱至少一個其他目標屬性。面對三維屏蔽結(jié)構(gòu)高維多目標優(yōu)化問題，由于各目標間存在沖突無法同時優(yōu)化，故而不存在于所有目標上都能達到最優(yōu)的方案，進行優(yōu)化研究的目的是為了能夠更快得到更貼近真實Pareto最優(yōu)解集的方案集合。

2.4 屏蔽結(jié)構(gòu)新方案生成方法

通過模擬生物體產(chǎn)生子代過程，修改用于表征方案的染色體（一組二進制數(shù)），從而實現(xiàn)新方案的生成，該過程主要由選擇、交叉和變異操作三部分組成。

選擇操作采用二元錦標賽選擇策略：每次從當前方案集合中抽取兩個方案，判斷兩方案間的支配關(guān)系，復(fù)制位于支配地位的方案加入配對庫中，當兩個方案互為非支配時需自定義選擇規(guī)則（如為了獲得更小的屏蔽層重量和體積，選擇重量與體積和更小者復(fù)制加入配對庫），重復(fù)操作直至交配池方案數(shù)目等于集合規(guī)模大小。交叉操作采用單點交叉策略：在配對庫中任選兩個方案，隨機選擇染色體上的位置點，交換兩染色體位置點同側(cè)部分，從而得到兩個新的染色體，即兩個新方案。變異操作采用位翻轉(zhuǎn)突變策略：依照給定變異概率，對于符合變異觸發(fā)行為的染色體，隨機選取該染色體上的一個基因進行翻轉(zhuǎn)。

2.5 屏蔽結(jié)構(gòu)方案集合選擇策略

基于精英策略，將當前方案集合Pt與產(chǎn)生的新方案合并為一個大集合。選擇將該大集合內(nèi)非支配層較低的方案進入下一代方案集合Pt+1內(nèi)，直到將第Fl層的全部個體選擇到Pt+1，使Pt+1規(guī)模與Pt規(guī)模相等，若將第Fl層的全部個體選擇到Pt+1，下一代種群Pt+1規(guī)模大于Pt規(guī)模，則基于參考點抽樣選擇策略挑選第Fl層適量個體填補至Pt+1，令Pt+1規(guī)模等于Pt規(guī)模。

基于參考點抽樣選擇策略是解空間方案多樣性的重要保障，在屏蔽結(jié)構(gòu)高維多目標優(yōu)化問題中還是種群收斂的有力保證。其操作流程如下：

采用預(yù)定義結(jié)構(gòu)化方式生成參考點，將參考點放置于超平面內(nèi)（超平面分布圖如圖4所示）。對可能被選擇的Fl層所有方案進行自適應(yīng)歸一化處理，再將參考點與原點連接，并視連接線段為參考線，計算每個方案與參考線的垂直距離，與參考線垂直距離最小的方案被關(guān)聯(lián)至相應(yīng)的參考點（關(guān)聯(lián)示意圖見圖5）。計算前l(fā)-1層方案關(guān)聯(lián)至各參考點的數(shù)目，記變量ρj為第j個參考點關(guān)聯(lián)的前l(fā)-1層方案中的方案數(shù)目。設(shè)集合Jmin={j：arg minj ρj}為擁有最小ρj的參考點集，當該集合包含多個元素時，從中隨機挑選jˉ∈Jmin。

圖4 三維歸一化的超平面分布圖Fig.4 Distribution map of 3D normalised hyperplane

圖5 三維歸一化的超平面下關(guān)聯(lián)操作示意圖Fig.5 Schematic diagram of association operation under 3D normalised hyperplane

當ρˉJ=0時，選擇Fl中與參考線垂直距離最近的方案加入Pt+1，同時參考點jˉ的ρj增加1；如果Fl無個體被關(guān)聯(lián)至該參考點jˉ，則該參考點在本次選擇中不予考慮。當ρˉJ＞1時，任意挑選Fl中一個方案加入Pt+1，同時相應(yīng)的ρj增加1。重復(fù)該操作，直至種群集合中滿足需要選擇的方案數(shù)目。

3 三維屏蔽結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析與數(shù)值驗證

高維多目標方法與傳統(tǒng)多目標方法的中時間復(fù)雜度皆為O（N2M），其中，N為種群大小，M為目標數(shù)，故而算法層面兩方法的計算資源消耗相近。為驗證本文方法可行性與有效性，構(gòu)建核反應(yīng)堆三維屏蔽結(jié)構(gòu)模型作為優(yōu)化對象（圖2），并隨機生成初始屏蔽方案（具體初始屏蔽方案詳細參數(shù)如表3所示）。

表3 參考模型初始屏蔽設(shè)計參數(shù)Table 3 Initial shielding design parameters for the nuclear reactor

以屏蔽層總重量、屏蔽層總體積、屏蔽結(jié)構(gòu)軸向最上方平面輻射劑量率、屏蔽結(jié)構(gòu)軸向最下方平面輻射劑量率和屏蔽結(jié)構(gòu)徑向最外側(cè)圓柱面輻射劑量率5個目標為待優(yōu)化目標。將種群規(guī)模參數(shù)設(shè)置為210，最大優(yōu)化代數(shù)設(shè)置為100，隨機產(chǎn)生初始方案集合，基于該初始方案集合，由本文高維多目標優(yōu)化方法（Many-objective Optimization）與傳統(tǒng)多目標優(yōu)化方法（Multi-objective Optimization）分別開展優(yōu)化計算（可選屏蔽材料如表4所示），并繪制Pareto前沿均值變化趨勢圖（圖6～8）和末代種群方案平行坐標圖（圖9）。

表4 優(yōu)化過程可選屏蔽材料庫Table 4 Optional shielding material library for the optimization processes

均值變化趨勢圖內(nèi)以初始種群的Pareto前沿均值為單位1，對其他各代Pareto前沿均值作歸一化處理。實線表示本文高維多目標方法指導(dǎo)尋優(yōu)下Pareto前沿均值，虛線表示傳統(tǒng)多目標方法指導(dǎo)下Pareto前沿均值。

從圖6～8可見，在尋優(yōu)結(jié)果方面，本文高維多目標方法所得最終均值皆小于傳統(tǒng)多目標方法，特別是重量維度上本文方法的最終均值僅為傳統(tǒng)方法的10.23%，本文方法尋優(yōu)性能具有明顯優(yōu)勢。在尋優(yōu)過程方面，本文高維多目標方法在體積、重量、軸向上方劑量率和軸向下方劑量率四個維度的尋優(yōu)過程中Pareto前沿均值持續(xù)低于傳統(tǒng)方法，徑向側(cè)面劑量率維度方面前段進程次于傳統(tǒng)方法，后段進程不相上下，故而整體來看，本文方法具有更好的全局收斂能力。

圖6 目標體積(a)和重量(b)Pareto前沿均值變化趨勢圖Fig.6 Trend chart of frontier mean change of Pareto of objective volume(a)and weight(b)

本次模擬側(cè)重于對屏蔽層重量與體積的優(yōu)化，而重量、體積目標的優(yōu)化大概率使輻射劑量率相關(guān)目標的劣化，故圖中輻射劑量率相關(guān)目標均值皆呈現(xiàn)增長趨勢，但實際工程應(yīng)用中劑量率目標滿足限值即可。

末代種群方案平均坐標圖以隨機生成的初始屏蔽方案的各目標值為基準，對末代種群方案相應(yīng)目標值作歸一化處理，其后投射末代種群方案的各目標值至相應(yīng)的豎軸上，再以線段連接同方案的各目標值點，最終完成繪制，其中，紅線粗虛線對應(yīng)初始屏蔽方案，圖9（a）為傳統(tǒng)多目標優(yōu)化方法下末代種群方案平均坐標圖，圖9（b）為本文高維多目標優(yōu)化方法下末代種群平行坐標圖。

從圖9可見，除軸向上方劑量率維度初始屏蔽方案目標點高度相近，其他維度上本文方法的初始屏蔽方案目標點位置均高于傳統(tǒng)方法，于重量維度上本文方法的優(yōu)化比例更是達到了96.67%，遠高于傳統(tǒng)方法的56.19%。說明本文方法相較于傳統(tǒng)方法有更大概率生成優(yōu)于初始屏蔽方案的較優(yōu)方案，具有更好的屏蔽方案優(yōu)化能力。

圖7 目標軸向上方(a)和向下方(b)劑量率Pareto前沿均值變化趨勢圖Fig.7 Trend chart of frontier mean change of Pareto dose rate of objective radiation dose rate of axis upper(a)and axis lower(b)

為進一步科學(xué)評價兩種方法的綜合性能，選用超體積（Hypervolume，HV）指標作為衡量方案集合收斂性與分布性的性能指標，反映集合方案第一層非支配層與參考點構(gòu)成目標空間中區(qū)域的體積大小，其值越大，便說明優(yōu)化方法的綜合性能越好。從圖10可以看出，隨著迭代數(shù)目增加，高維多目標優(yōu)化方法指導(dǎo)下的方案集合HV指標整體呈現(xiàn)遞增趨向，其收斂性、分布性表現(xiàn)良好，當前所得方案集合依舊能進一步被優(yōu)化；而傳統(tǒng)多目標優(yōu)化方法指導(dǎo)下的方案集合HV指標，自29代后呈現(xiàn)波動變化，HV值無明顯升高，說明其方案集合后續(xù)迭代陷入停滯，其分布性與收斂性再無明顯提升。

圖10 HV指標對比示意圖Fig.10 Schematic diagram of HV index comparison

從兩優(yōu)化方法尋優(yōu)所得到的Pareto解集中，篩選出在體積、重量、軸向上方劑量率、軸向下方劑量率和徑向側(cè)面劑量率5個目標值上皆小于初始屏蔽結(jié)構(gòu)方案的方案。傳統(tǒng)多目標優(yōu)化方法下僅得到一個更優(yōu)方案，記為94號方案；高維多目標優(yōu)化方法下總共可得到三個更優(yōu)方案，記為97號、111號和149號方案（具體設(shè)計參數(shù)及目標值參見表5）。顯然，高維多目標優(yōu)化方法在三維屏蔽結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中具有更強尋優(yōu)能力，可發(fā)現(xiàn)更多更優(yōu)方案。

表5 優(yōu)化方案詳細設(shè)計參數(shù)及目標值Table 5 Detailed design parameters and target values for the better scheme

對比4個更優(yōu)方案的優(yōu)化效果（表6）：方案87對重量和徑向側(cè)面處劑量率優(yōu)化程度最大，分別達75.79%與54.08%，方案111對體積優(yōu)化程度最大達14.10%，方案149對軸向上下兩個方向的劑量率優(yōu)化程度最大，分別達到了54.54%與94.67%。在實際工程應(yīng)用中，設(shè)計者可根據(jù)實際需求在以上三個方案中選擇一個最佳方案。可見，本文高維多目標優(yōu)化方法在三維屏蔽結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中能取得更好地優(yōu)化效果。

表6 初始方案目標值及各優(yōu)化方案相對優(yōu)化比例（%）Table 6 Initial scheme target values and relative optimization ratios for each optimized scheme(%)

4 結(jié)語

本文將高維多目標優(yōu)化算法引入核反應(yīng)堆輻射屏蔽優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域，提出了基于NSGA-Ⅲ的三維屏蔽結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，并與傳統(tǒng)進化多目標優(yōu)化方法開展了對比分析，結(jié)論如下：

1）通過分析Pareto前沿均值變化趨勢圖、末代種群方案平行坐標圖、HV指標和優(yōu)化方案結(jié)果，驗證了本文方法的有效性與實用性。相比之下，基于NSGA-Ⅲ的高維多目標優(yōu)化方法在三維屏蔽結(jié)構(gòu)高維多目標優(yōu)化問題上具有更穩(wěn)定的收斂性和更優(yōu)異的全局性，可為各種新型核反應(yīng)堆復(fù)雜屏蔽優(yōu)化設(shè)計提供新的理論與技術(shù)支撐。

2）面向高維多目標問題中存在非支配解占比過多的現(xiàn)象，本文方法通過分解策略保持了高效尋優(yōu)能力，但尋優(yōu)完成后的Pareto最優(yōu)解集（其中包含大量較優(yōu)解），仍需設(shè)計者進行人工二次篩選。后續(xù)可引入設(shè)計者的偏好信息，進行Pareto最優(yōu)解集的自動篩選排序，或?qū)⑵眯畔⒆鳛镻areto支配關(guān)系的補充引入優(yōu)化過程開展相關(guān)研究。

作者貢獻聲明張華?。褐贫ㄕ撐难芯抗ぷ鞣椒?、框架和思路，編制論文稿件；陳珍平：負責(zé)完善研究方案、審閱修訂稿件和提供理論指導(dǎo)；劉程偉：負責(zé)協(xié)助開展算法對比研究與數(shù)據(jù)分析；楊超：負責(zé)對文章的屏蔽計算方法進行指導(dǎo)；譚波、甘斌、陳富財：負責(zé)提供模型數(shù)據(jù)、對比分析和方案研討；于濤：負責(zé)指導(dǎo)完善研究思路和提供理論指導(dǎo)。