龔舒倩 朱 哲 (浙江師范大學教師教育學院 321004)

近年來，越來越多的發(fā)達國家把STEAM教育作為國家戰(zhàn)略發(fā)展的重要選擇．在《中國教育現(xiàn)代化2035》提出加強拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)以及加大應用型、復合型、技術技能型人才的比重的現(xiàn)實要求下，STEAM作為整合培養(yǎng)實踐型、創(chuàng)新型、綜合型人才的教育理念[1]，在國內(nèi)引起了一番研究熱潮．數(shù)學是STEAM的基礎學科，STEAM理念的融入為數(shù)學教育帶來新的機遇與挑戰(zhàn)．數(shù)學建模作為數(shù)學教育中最貼合STEAM理念的課程形式，是呈現(xiàn)STEAM理念的良好載體．數(shù)學建模能夠為STEAM活動的開展提供著力點，STEAM理念也會為數(shù)學建?；顒訋硇滤悸放c新方法，數(shù)學建模教學需要順勢而為，在新的時代背景下增添新的內(nèi)涵．

1 STEAM理念進入數(shù)學教育

STEAM教育的理念可以概括為：以數(shù)學為基礎，通過工程和藝術解讀科學和技術．STEAM教育主要以基于項目的學習、問題的學習為主要教學方式，引導學生通過合作與實踐，以學科整合的方式認識世界，以綜合創(chuàng)新的形式改造世界，培養(yǎng)解決問題的創(chuàng)新能力[2]．數(shù)學是STEAM教育的基礎學科，數(shù)學教育與STEAM教育的融合使二者相得益彰．一方面，數(shù)學在其他學科及實際生活中具有廣泛的應用性，體驗現(xiàn)實生活中的應用并以數(shù)學方式對現(xiàn)實世界的情況進行建模是有效STEAM教育的核心[3]．另一方面，STEAM教育同數(shù)學教育改革在理念上相契合．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中指出：“高中數(shù)學課程強調(diào)數(shù)學與生活以及其他學科的聯(lián)系，提升學生應用數(shù)學解決實際問題的能力．”而STEAM強調(diào)基于真實情境的跨學科學習將有助于數(shù)學教育的改革與發(fā)展[4]．

鑒于此，在數(shù)學教育中融入STEAM理念，探索數(shù)學教育與STEAM教育的融合模式是教育現(xiàn)代化背景下促進數(shù)學教育改革與發(fā)展的必由之路．

2 STEAM理念下的數(shù)學建模

STEAM作為一種理念支撐，切實落地于數(shù)學教育需要找到其相應的載體，這種載體既要能體現(xiàn)學科融合的特點，又要求能整合現(xiàn)有數(shù)學課程資源[5]．數(shù)學建模作為當下數(shù)學教育中最貼合STEAM理念的課程形式，是呈現(xiàn)STEAM理念的良好載體．數(shù)學建模是指對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題[6]，是實現(xiàn)數(shù)學學科的應用功能的重要中介和基本形式[7]．數(shù)學建模問題的背景通常取材于現(xiàn)實生活，對問題的分析不僅局限在數(shù)學上，還需要調(diào)動其他學科的知識或生活經(jīng)驗，以數(shù)學與現(xiàn)實問題及相關學科知識相融合的方式，確定影響問題的因素，進而做出合適的數(shù)學模型解決問題[8]．

數(shù)學建模和STEAM教育既有共通之處又相互獨立．數(shù)學建模以數(shù)學學科為主導，體現(xiàn)的是數(shù)學知識和思維方法的廣泛應用性，而STEAM教育不是將重點放在某個學科上，它體現(xiàn)的是跨學科思維、綜合性學習．整體上STEAM教育包含的領域更廣泛，不是所有STEAM活動都是建?；顒?，只是許多STEAM活動可能會經(jīng)歷建模過程，但在數(shù)學建模的過程中會涉及STEAM的各個方面[9]．STEAM教育和數(shù)學建模教學的融合，根據(jù)目標主體的不同可以歸納為兩種模式(圖1)：一是將數(shù)學建?；顒幼鳛镾TEAM教育的教學材料，在STEAM教育中融入數(shù)學建模思想，促使STEAM教育更加科學深入，目標是為STEAM教育服務；二是以STEAM理念指導數(shù)學建模教學，在數(shù)學建模過程中融入STEAM理念，使數(shù)學建?；顒诱嬲c實際生活以及其他學科緊密結合起來，目標是為數(shù)學建?；顒臃眨疚囊芯康募词窃搯栴}．

圖1

STEAM理念的融入，為數(shù)學建模活動帶來新思路與新方法．在理念上，從問題解決的單學科視角轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄬W科途徑．STEAM理念下的數(shù)學建模能實現(xiàn)各學科知識內(nèi)容、研究方法、思維方式和認知路徑等的有效關聯(lián)[10]．在方式上，從單一的理性分析轉(zhuǎn)變?yōu)閷嵺`與分析相結合．讓學生適時地走出純思維的數(shù)學課堂，通過實踐去接觸實際問題，進一步引發(fā)他們的思考質(zhì)疑和深入探究，反過來促進學生腦海中的數(shù)學建模思想更加完善[11]．

3 STEAM理念下的中學數(shù)學建?；顒舆^程

基于以上對STEAM理念下數(shù)學建模的思考，筆者構建了STEAM理念下中學數(shù)學建?；顒舆^程(圖2)，總體分為選題開題、做題和結題三個階段．

圖2

第一階段目的是讓學生通過實踐探究充分了解問題背景，運用跨學科思維綜合分析把握問題本質(zhì)，在選題開題的過程中滲透STEAM理念．首先，教師要根據(jù)選題內(nèi)容精心設計教學活動，實現(xiàn)理論與實踐相結合，課內(nèi)和課外活動相結合，自主學習、小組合作、教師講授等多種學習方式相結合．其次，引導學生運用跨學科思維分析問題，從多角度思考問題解決的策略，聯(lián)系其他學科知識確定問題的影響因素．在進行教學設計時，教師要明確以下幾點：①該問題涉及哪些學科知識？②這些知識是否基于學生已有知識經(jīng)驗？③這些知識是否有助于理解問題本質(zhì)？最后，對現(xiàn)實的復雜情境作出合理假設，從開放性問題聚焦到條件更加明確的問題．根據(jù)學生的興趣和經(jīng)驗可以提出不同角度的問題，根據(jù)學生的能力和水平可以提出不同難度的問題．該階段結束后，要求學生撰寫開題報告，在下一階段匯報研究思路．

第二階段是整個數(shù)學建模活動的中心和核心環(huán)節(jié)，目的是讓學生在建立模型解決問題的過程中綜合運用其他學科知識和生活經(jīng)驗提高思維的創(chuàng)造性和嚴謹性，在做題的過程中滲透STEAM理念．學生應經(jīng)歷對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象、用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的完整過程．在以小組合作的形式實踐探究、收集數(shù)據(jù)的過程中，可能會涉及其他學科的知識內(nèi)容以及實驗操作，教師要對此加以復習、指導．結果的檢驗既要檢驗模型與實驗數(shù)據(jù)的擬合程度，還要判斷根據(jù)所得的模型推出的問題結論是否符合實際經(jīng)驗和其他學科的認知．

第三階段是結題，目的是在總結反思、交流學習的過程中，引導學生再創(chuàng)造、提升各方面的素養(yǎng)．學生要完成結題報告，教師要組織結題答辯．結題報告可以采用多種形式和內(nèi)容，形式上鼓勵實踐操作和使用信息技術，內(nèi)容上提倡結合其他學科知識．在整個結題過程中，要以設計思維為導向，充分發(fā)揮學生的創(chuàng)新精神，設計思維不僅能夠促進學習者反思以及對實踐中經(jīng)歷的反思進行再反思，還能促進學習者應對解決真實世界中復雜問題的能力[12]，這一點與數(shù)學建模教學和STEAM教育的目標不謀而合．

總之，STEAM理念應貫穿數(shù)學建模全程，即“以STEAM理念分析數(shù)學建模問題，以STEAM理念指導數(shù)學建模過程，以STEAM理念總結數(shù)學建?；顒印保?/p>

4 STEAM理念下的數(shù)學建模案例

基于STEAM理念下的數(shù)學建模活動過程，以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(必修)》第一冊數(shù)學建模專題中的“最佳口感茶水問題”為例開發(fā)教學案例．

4.1 第一階段：選題開題

(1)自主學習調(diào)研，了解問題背景

課前設置自主學習任務單，讓學生分小組進行調(diào)查研究、自主學習，充分了解問題背景．任務單中明確要解決的問題，提供可學習的方式，如 圖3所示．

圖3

(2)跨學科思維分析，把握問題本質(zhì)

課上請每個小組交流分享學習調(diào)研的結果．

生1：中華茶文化博大精深．根據(jù)制作工藝的不同，有六大茶類．

生2：水為茶之母，器為茶之父．泡一杯好茶除了茶葉，水和器具也很重要．

生3：看到茶藝師行云流水般的茶藝，感覺泡茶就是一項藝術．

師：那么如何才能泡出一杯好茶呢？哪些因素會影響茶水的口感？

引導學生從學習調(diào)研結果出發(fā)，運用發(fā)散性思維多角度思考．以下是教師的總結，將學生的回答歸納為茶葉、茶水、茶具、茶藝四類，結合其他學科的知識進行更深入的解釋，幫助學生把握問題本質(zhì)．

·茶葉

師：茶葉的可口程度和它內(nèi)含的生化成分有關，主要是氨基酸和茶多酚的含量高低以及兩者的比值關系．茶葉的制作工藝在很大程度上會影響茶葉的口感，通常覺得綠茶較為清爽，紅茶較為甘醇，就是因為不同加工過程中茶多酚類物質(zhì)氧化程度不同．發(fā)酵是茶葉加工的一種方式，茶葉在發(fā)酵過程中，因其自身氧化酶和微生物的作用，多酚類物質(zhì)會轉(zhuǎn)化成茶紅素、茶黃素等[13]．因此，綠茶作為未發(fā)酵的茶葉種類，多酚類物質(zhì)含量最高．

·茶水

師：《梅花草堂筆談》言“茶性必發(fā)與水，八分之茶，遇十分之水，茶亦十分矣；八分之水，試十分之茶，茶只八分耳．”茶性的發(fā)揮需要合適的水，水質(zhì)只是一方面，不同的茶葉對水的溫度、水的比例都有要求．以鮮嫩的綠茶為例，茶與水比例為1∶50，水溫通常在85 ℃左右，水溫太高容易破壞茶中維生素C，咖啡堿容易析出，致使茶湯變黃，滋味較苦．除此以外，喝茶也講究水溫．我們的口腔、咽部等部位的粘膜都是柔嫩脆弱的，一般能承受50 ℃～60 ℃左右，喝過熱的茶水容易破壞粘膜、誘發(fā)食道癌．

·茶具

不同的茶葉都有各自適宜的茶具，茶具的物理材質(zhì)特性是茶具選擇的一個重要因素．茶具的質(zhì)地以密度來區(qū)分，密度不同，導熱和散熱系數(shù)也就不同，一般密度高的茶具，散熱速度快，保溫效果差．所以茶具的密度高，泡出的茶香清揚，密度低，泡出的茶香低沉．通常茶具材質(zhì)密度排序為：玻璃>瓷器>陶器，因此用玻璃茶具沖泡綠茶比較好，瓷器沖泡紅茶比較好，陶器如紫砂壺可以沖泡黑茶．

·茶藝

茶藝，萌芽于唐，發(fā)揚于宋，改革于明，極盛于清，是飲茶活動過程中形成的藝術文化現(xiàn)象．雖然茶藝師的手法、經(jīng)驗會在一定程度上影響茶水的口感，但是茶葉本身的品質(zhì)難有較大改變．

(3)假設情境，聚焦問題

師：在前面的學習中了解到，茶水口感受很多因素影響，但是最重要的因素是茶葉類型、水溫以及泡茶的時間．綠茶通常用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃飲用，茶水口感最佳．那么在25 ℃室溫下，一杯剛泡好的茶水需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？請同學們就這一問題進行思考，小組討論確定研究方案、撰寫開題報告．

4.2 第二階段：做題

(1)數(shù)學抽象，明確思路

組織開展開題交流活動，對該問題進行數(shù)學抽象，明確做題思路．

組1：用85 ℃的水泡制綠茶，每隔1 min測一次水溫，等到60 ℃左右，就可以知道大致的時間．

師：如果想知道更加精確的時間怎么辦？茶水溫度變化是否有規(guī)律？

組2：先收集一些每隔一定時間的茶水溫度數(shù)據(jù)，找到茶水溫度隨時間變化而變化的規(guī)律，據(jù)此計算茶水降至60 ℃時的時間．

師：什么數(shù)學模型可以刻畫事物變化的規(guī)律?

生：函數(shù)．

師：明確思路是建立茶水溫度隨時間變化的函數(shù)模型，求出茶水從85 ℃降到60 ℃所需的時間．應當如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型呢？

生：收集數(shù)據(jù)，作散點圖，通過圖象判斷適用的函數(shù)模型．

(2)合作探究，收集數(shù)據(jù)

在開始收集數(shù)據(jù)之前，引導學生思考該實驗需要控制的變量(茶葉類型、茶水比例、茶具等)．讓學生以小組為單位，分工合作，進行茶水溫度測量．由于該實驗涉及水量、溫度的測量，需帶領學生復習量杯、溫度計的使用方法．

材料：綠茶、電子秤、玻璃茶具、量杯、電熱水壺、溫度計、秒表等．

要求：先在茶具中投放3 g綠茶，再用量杯稱量150 ml水，煮沸后待溫度降至85 ℃時泡制綠茶，每隔一段時間測量茶水的溫度并記錄數(shù)據(jù)．(請1組學生每隔30 s測量茶水溫度，直至水溫趨于穩(wěn)定，用該組數(shù)據(jù)留待檢驗模型)

(3)建立模型

各小組根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，以時間為橫軸、水溫為縱軸作散點圖，匯報所選擇的函數(shù)模型．

組1：觀察發(fā)現(xiàn)，茶水溫度隨時間流逝而逐漸變低，選擇用k值為負的一次函數(shù)．

組2：我們測量的時間間隔更短，數(shù)據(jù)點分布更加密集．觀察發(fā)現(xiàn)茶水溫度不是線性降低的，先降得快后降得慢，選擇用開口向上的二次函數(shù)．

組3：發(fā)現(xiàn)茶水溫度隨時間流逝而逐漸變低，先降得快后降得慢．并且根據(jù)經(jīng)驗，最后會接近于室溫值，選擇反比例型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)．

選擇模型時應該看這個模型是否能客觀地反映所要解決的問題的本質(zhì)[14]．根據(jù)熱交換原理向?qū)W生解釋，在茶水降溫的過程中為什么開始降得快后來降得慢，并且最后趨于穩(wěn)定．因此，一次函數(shù)、二次函數(shù)都不符合這個特點，可以選擇反比例型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)作模型假設．

師：根據(jù)散點圖并聯(lián)系實際，所求的函數(shù)圖象在平面直角坐標系中應具有什么特點？

生：①與縱坐標軸有交點，②趨近于一個定值．

師：基于以上特點，如何作出你們的模型假設？

組2：選擇指數(shù)型函數(shù)，假設函數(shù)模型y=kax+b．

(4)求解模型

可以用兩種方法來求解模型．一是直接計算，各小組將各自的數(shù)據(jù)代入假設的解析式，用待定系數(shù)法求解，并通過計算殘差平方和進行誤差分析．二是利用軟件，用Matlab或SPSS作擬合，用最小二乘法的原理得出該種模型下的最優(yōu)函數(shù)．

(5)檢驗結果

首先根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進行檢驗，發(fā)現(xiàn)指數(shù)型函數(shù)擬合程度更好．其次，利用所求的指數(shù)型函數(shù)推出泡制一杯最佳口感茶水所需時間是7 min．然而根據(jù)實際經(jīng)驗，綠茶的沖泡時間一般不超過3 min，茶葉浸泡時間過長則茶湯苦澀，且內(nèi)含物析出過多對人體有害．因此，還需要在所得的指數(shù)型函數(shù)的基礎上繼續(xù)修正模型．

(6)修正模型

通過視頻展示茶藝師泡茶的過程，既要保證茶湯溫度適宜又要防止茶葉久泡，可以選擇在茶葉沖泡3 min后，將茶湯倒入公道杯中，待溫度適宜再品茗．據(jù)此沖泡流程，茶湯在轉(zhuǎn)入公道杯時，會有熱量損失，因此可建立分段函數(shù)，在明晰能用指數(shù)型函數(shù)刻畫茶水溫度隨時間變化的基礎上，重新收集數(shù)據(jù)，修正模型．

(7)問題解決，模型推廣

解決了25 ℃室溫下泡制一杯最佳口感茶水所需時間的問題，進一步思考，嘗試將建立的模型一般化，探究不同室溫下泡制一杯最佳口感茶水所需的時間．

4.3 第三階段：結題

要求學生課下撰寫結題報告，總結反思這次數(shù)學建?；顒樱餍〗M根據(jù)各自的函數(shù)模型，設計泡一杯最佳口感茶水的步驟，為家人或朋友泡一杯最佳口感的茶，并錄制視頻．組織開展結題答辯和交流分享．

5 結語

STEAM理念的融入勢必會給數(shù)學建模教學帶來更多可探索的空間，數(shù)學建?；顒幽軌蚋由钊氲嘏c其他學科和實際生活聯(lián)系起來，促進學生的數(shù)學建模素養(yǎng)落地．本文基于課題學習的形式構建了一個STEAM理念下的數(shù)學建模活動模式，以STEAM理念貫穿數(shù)學建?；顒尤?，并據(jù)此開發(fā)了教學案例，以期為中學數(shù)學建?；顒拥拈_展提供參考．