李偉方,周永輝

(1.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.貴州師范大學(xué) 大數(shù)據(jù)與計算機科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

1973年，Black等[1]建立了無套利基礎(chǔ)上的期權(quán)定價理論。通過連續(xù)調(diào)整由股票和無風(fēng)險債券組成的投資組合，投資者可精確地復(fù)制該股票上任何期權(quán)的回報，且期權(quán)價格就等于復(fù)制期權(quán)回報的投資組合的值。而當(dāng)存在比例交易成本時，由于擴散過程具有無限變差，復(fù)制期權(quán)回報的投資組合的值都會變得無限高，Black-Scholes的期權(quán)定價理論不再適用。1985年，Leland[2]給出了一種依賴交易成本大小與修正頻率的期權(quán)復(fù)制策略，得到了比例交易成本時Black-Scholes期權(quán)定價的逼近。1989年，Karatzas[3]在期權(quán)定價中使用了超復(fù)制策略來復(fù)制投資組合。1990年，Merton[4]開始在離散時間框架中建立期權(quán)定價問題，并得到存在比例交易成本時的期權(quán)價格。1995年，Kusuoka[5]證明了比例交易成本的離散時間金融模型中，超復(fù)制價格存在尺度極限，并給出了其表達(dá)式。其中，超復(fù)制價格定義為允許通過某種投資組合策略對沖期權(quán)回報的最小初始資本。

2004年，Cetin等[6]通過引入隨機供給曲線構(gòu)建了連續(xù)時間的非流動性市場模型。2013年，Dolinsky等[7]在離散時間通過引入二次交易成本構(gòu)建非流動性市場模型，將交易成本擴展到了由比例交易成本與二次交易成本組成的非線性交易成本，證明了當(dāng)該市場存在確定波動率時超復(fù)制存在尺度極限，并給出了其表達(dá)式。進一步，2014年，Bank等[8]也給出了市場存在不確定波動率并超復(fù)制尺度極限的表達(dá)式。有關(guān)在沒有市場摩擦且具有不確定波動率的連續(xù)時間金融模型中的超復(fù)制定價問題的研究見[9-11]。2015年，Bank等[12]研究了存在多個風(fēng)險資產(chǎn)下的具有比例交易成本的超復(fù)制尺度極限問題。2019年，Bank等[13]考慮了交易成本依賴時段的超復(fù)制存在尺度極限問題。2021年，Dolinsky等[14]首次考慮了內(nèi)部信息對超復(fù)制的影響，證明了在二次交易成本且波動率不確定的條件下超復(fù)制價格存在尺度極限，并給出了其表達(dá)式。其它關(guān)于內(nèi)部信息對效用最大化影響的研究見[15-16]。

實際上，內(nèi)部交易者利用私有信息獲利而損害噪聲交易者的利益，受到廣泛關(guān)注。美國國會分別在1984年和1988年頒布了《內(nèi)部交易制裁法》和《內(nèi)部交易與證券欺詐執(zhí)行法》，增加了對被定罪內(nèi)部人的處罰。1996年，Shin[17]在內(nèi)部交易模型中引入監(jiān)管準(zhǔn)則，并得出容忍一定數(shù)量的內(nèi)部交易可能是最優(yōu)監(jiān)管策略。2019年，Liu等[18]發(fā)現(xiàn)，當(dāng)市場監(jiān)管存在時，理性內(nèi)部交易者與啟發(fā)性內(nèi)部交易者更傾向于不那么激進的交易，而獲得更多的期望利潤。2020年，張鐵紅等[19]研究了理性內(nèi)部交易者、啟發(fā)性內(nèi)部交易者和做市商均收到部分風(fēng)險資產(chǎn)公共信息時的內(nèi)部交易監(jiān)管市場，并證明了該市場的最優(yōu)交易策略、有效定價規(guī)則和最優(yōu)監(jiān)管力度組成的線性Bayesian-Nash均衡的存在唯一性。

本文將研究一類具有內(nèi)部信息、交易成本和市場監(jiān)管的歐式期權(quán)超復(fù)制定價問題，討論超復(fù)制價格的尺度極限，并考察市場監(jiān)管對該極限的影響。

1 模型描述

下面，我們將考慮該市場伴有內(nèi)部信息、交易成本和市場監(jiān)管的歐式期權(quán)的超復(fù)制定價問題。由于實際市場是離散時間交易，因此我們將[0,1]區(qū)間n等分以考慮離散情況，進而研究當(dāng)交易階段數(shù)n趨于無窮時超復(fù)制格的尺度極限。本文的模型在文獻[14]中模型的基礎(chǔ)上，引入了市場監(jiān)管[17]，具體描述如下：

(i)樣本空間與股票離散化價格

其中標(biāo)準(zhǔn)過程Xk(ω)=xk，?ω=(x1,x2，…)，且s∈R是常數(shù)。

(ii)內(nèi)部信息與內(nèi)部交易策略

固定n′∈Ν，假設(shè)投資者可看到未來n′階段的股票信息，即投資者的信息濾子為

Gk=σ{X1,…,Xk+n′}，k∈Z+=Ν∪{0}

因此，n階段模型的內(nèi)部交易策略是一映射γ:{0,1,…,n-1}×Ω→R，其中?k=0,1,…,n-1，γk為Gk可測函數(shù)，表示投資者在k階段選擇持有股票份額的數(shù)量。

(iii)監(jiān)管者發(fā)現(xiàn)內(nèi)部交易情況與監(jiān)管策略

(iv)內(nèi)部交易策略的市值

假設(shè)內(nèi)部交易的成本為二次函數(shù)φ→Λφ2，其中Λ>0是一常數(shù)且φ是股票的交易量。

其中，k=0,1,…n-1，且γ-1≡0。

(v)超復(fù)制價格

本文的主要問題就是研究超復(fù)制價格的尺度極限

進而，討論市場監(jiān)管對該尺度極限的影響。

為了研究尺度極限，還需要在集合D[0,1]中引入適當(dāng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。通常地，引入skorohod度量：

其中χ:[0,1]→[0,1]嚴(yán)格增，且χ(0)=0，χ(1)=1。

進一步假定未定權(quán)益函數(shù)H:D[0,1]→R+關(guān)于skorohod度量拓?fù)銵ipschitz連續(xù)。

顯然，如無市場監(jiān)管，該模型與[14]中的模型相同。

2 主要結(jié)果及證明

引理1 對任意n，有下列不等式成立

其中P是Ω上所有概率測度構(gòu)成的集合。

證明令y∈R且γ是一交易策略使得

則?p∈P，有

(Λ+β)(γi-γi-1)2))]

(Λ+β)(γi-γi-1)2))]

≤y+(1-q)

(1)

類似文獻[14]的性質(zhì)2.2的證明，同樣可以得到超復(fù)制價格πn(Zn)的尺度極限的下界，即定理1，略去其證明。

定理1 令H:D[0,1]→R+關(guān)于skorohod度量Lipschitz連續(xù)，且?C,μ使得

為了得到超復(fù)制價格πn(Zn)的尺度極限的上界，給出下面的定義1。

定義1 1)?k∈Ν，定義樣本空間

2)對任意未定權(quán)益Borel可測函數(shù)Z:Ωk→R+，定義相應(yīng)超復(fù)制價格

顯然，?k∈Ν，Ωk?Ωk+1?Ω。我們有下面的結(jié)果。

引理2 ?n∈Ν，

=inf{y∈R:?γk，s.t.y≥Zn(ω)-(1-

≤inf{y∈R:?γk，s.t.y≥Zn(ω)-(1-

≤inf{y∈R:?γk，s.t.y≥Zn(ω)-(1-

=πn(Zn)

另一方面，不失一般性，假設(shè)γk關(guān)于k在Ν上一致有界。事實上，?k∈Ν，令y∈R與交易策略γk使得

一致有界，所以，可選擇y≤‖Zn‖∞。再結(jié)合Zn≥0，得到

≥0，?ω∈Ωk

進而，有

則?y∈R，

因此

最后，由H的連續(xù)性

則

由引理2，?n∈Ν，存在k=k(n)使得

(2)

定義2 ?ε∈(0,1)，n∈Ν，如下遞歸定義Ωn上的停時列：

令

其中Ι表示示性函數(shù)。

類似[14]中引理4.2的證明，可得下面的引理，略去其證明：

引理3 ?ε,λ∈(0,1)，當(dāng)n足夠大時，有

其中，

K=K(ε,λ)=[c(λ)/(ελ)2]+1，c(λ)>2

從而，有下面的結(jié)論：

引理4 存在λ0∈(0,1)，使得?ε>0，0≤λ<λ0，n=1,2,…

同理，有

其中，不等式右邊的最后兩項是對交易成本的估計。因此，根據(jù)柯西不等式

當(dāng)0≤λ<λ0，有

在引出引理5之前，先給出下面的定義。

類似地，對k=0,1,…,m，令ck=ak+1-[n1/3]。?k=0,1,…,m+1，在時間區(qū)間[ak,ak+1-1]上定義交易策略γ。

若ak>n-2n1/3，則不在[ak,ak+1-1]上交易。否則，對足夠大的n，有bk

在[ak,bk)上以常速進行交易，且股票份額的數(shù)量從0變到φk。

在[bk,ck)上，?i∈[bk,ck)，交易

即

(3)

最后，在[ck,ak+1-1]上以常速清算投資組合。

因此，同理(1)式的做法，有

進一步，由(3)式與Sn在[0,am]上一致有界的事實，有

-Ο(n-2/3)

類似地，有

-Ο(logn2/n1/6)-Ο(n-2/3)

-Ο(logn2/n1/6)-Ο(n-2/3)

從而，

在引出引理6之前，先給出下列定義。

且

引理6

其中，

類似[14]中引理4.7的證明，即可得：

引理7

根據(jù)(2)式與引理3、4、6、7，我們得到下面的定理。

定理2 令H:D[0,1]→R+關(guān)于skorohod度量Lipschitz連續(xù)，則超復(fù)制價格πn(Zn)的尺度極限滿足下列不等式

證明由(2)式，只需證

從而，有

+Ο(ε+λ)

)(引理6)

因此，結(jié)合定理1與定理2，我們得到下面的定理。

定理3 令H:D[0,1]→R+關(guān)于skorohod度量Lipschitz連續(xù)，則超復(fù)制價格πn(Zn)的尺度極限為

在上面的主要結(jié)果定理3的基礎(chǔ)上，進一步考慮當(dāng)投資者看到未來交易的階段數(shù)趨于無窮時，超復(fù)制價格的尺度極限的變化，我們得到下面的推論。

推論1

證明對等式左邊，取v≡0可得

另一方面，根據(jù)Doob不等式與H的Lipschitz連續(xù)性，存在一常數(shù)L使得

從而，

3 比較分析

在這部分，我們的目的是站在市場監(jiān)管者的角度，研究內(nèi)部交易發(fā)現(xiàn)概率的變化對歐式期權(quán)超復(fù)制價格的尺度極限所帶來的影響。

首先，對不存在市場監(jiān)管的情況，有q=0，亦有β=0。此時，

與文獻[14]中結(jié)果保持一致。

其次，當(dāng)存在市場監(jiān)管時，根據(jù)懲罰交易量平方的倍數(shù)α與二次成本函數(shù)的系數(shù)Λ大小的比較，可分為三種情況。

①對于α=Λ的情況，有

②對于α>Λ的情況，有

③對于α<Λ的情況，令

則，

將其關(guān)于q求導(dǎo)并令為零，有

A*q2+B*q+C*=0

其中，

A*=3E>0，B*=-(4E+2D)，C*=2D+E。

最后，當(dāng)市場監(jiān)管者發(fā)現(xiàn)內(nèi)部交易的概率q=1時，超復(fù)制價格的尺度極限的表達(dá)式為

(4)

4 結(jié)語