侯 斌 萬金珠

(江蘇省太湖高級中學 214125) (江蘇省無錫市濱湖區(qū)教育研究發(fā)展中心 214072)

《數(shù)學課程標準》明確指出：中學數(shù)學課堂教學應揭示數(shù)學的本質(zhì)，重視知識的生成和發(fā)展過程及其背后的思想．但當前很多教師的概念教學仍舊是“一個定義，幾點注意”，與新課標的要求相去甚遠．課堂教學不能僅僅是陳述事實，更重要的是探索過程以及在此過程中所表現(xiàn)出來的理性和科學精神．筆者今年上了一節(jié)題為“函數(shù)的奇偶性”的大市公開課，通過反復磨課和評課，對于概念教學中如何進行教學設計以更好地促進學生的深度學習有了更深的體會．現(xiàn)將這節(jié)課的教學設計和實施過程進行整理和反思，敬請同行專家批評指正．

1 教學呈現(xiàn)與設計說明

1.1 情境引入

問題1 如圖1，剪紙是中國的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，圖案漂亮卻很復雜，怎樣剪省時省力？(折疊)

圖1

問題2 剪出來的圖形是一種怎樣的美？(對稱美)

問題3 它們分別對應我們數(shù)學中的哪種對稱關(guān)系？(軸對稱和中心對稱)

問題4 哪些函數(shù)圖象也具有類似的對稱性？怎樣判斷圖象的對稱性？

學生舉例，如：f(x)=x，f(x)=x2等具有對稱性，根據(jù)圖象運用軸對稱和中心對稱的定義判斷其對稱性．

問題5 函數(shù)f(x)=x3+x的圖象具有對稱性嗎？

(學生沉默……)

問題6 在研究函數(shù)單調(diào)性時我們有沒有遇到過類似的困難？當時是怎樣解決的？

學生聯(lián)想到類比研究單調(diào)性的方法，嘗試用數(shù)量刻畫函數(shù)的對稱性.

設計意圖由剪紙引出生活中的對稱性，激發(fā)學生的學習興趣；再將對稱這個概念從生活中遷移到數(shù)學中．設置問題5引發(fā)認知沖突，從而激發(fā)學生對新知的探求欲，而問題6類比單調(diào)性從“形”轉(zhuǎn)化到“數(shù)”的研究方法，既連接了新舊知識，也為用數(shù)量刻畫對稱性作好鋪墊．

1.2 概念構(gòu)建

探究一量化對稱，初識“任意”

完成表格：

x…-3-2-10123…f(x)=x2…9410149…f(x)=|x|…3210123…

畫出圖象：

圖2

問題1 圖象有何共同特征？(關(guān)于y軸對稱)

問題2 仔細觀察表格中的數(shù)量特征，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？有何結(jié)論？(f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)，…，歸納得f(-x)=f(x))

問題3 自變量取一對相反數(shù)時，對應函數(shù)值相等．結(jié)論是否具有一般性？可否證明？

設計意圖用函數(shù)的三種表示方法分別嘗試刻畫函數(shù)對稱性，在對比過程中學生發(fā)現(xiàn)：列表法刻畫對稱性不夠完善，不能取盡所有的數(shù)值；圖象法不夠嚴謹；唯有解析法能精確地刻畫函數(shù)的數(shù)量關(guān)系，因此嘗試用解析式刻畫對稱性．在此過程中滲透特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．學生在直觀感知圖象性質(zhì)、尋找特值關(guān)系的過程中，逐步認識“任意x”的必要性．

探究二幾何演示，理解“任意”

問題1 教師用GeoGebra演示點P在f(x)=x2圖象上運動，提問圖象由什么元素構(gòu)成？(點)

問題2 圖象關(guān)于y軸對稱的實質(zhì)是什么？(點關(guān)于y軸對稱)

問題3 點P在圖象上，關(guān)于y軸對稱的點P′在哪里？(仍在圖象上)

問題4 圖象上任取一點P(x0,f(x0))，則點P(x0,f(x0))關(guān)于y軸對稱的點P′的坐標是什么？(P′(-x0,f(x0)))

問題5 點P′也在函數(shù)圖象上，坐標還能怎樣表示？(P′(-x0,f(-x0)))

問題6 兩種方式都表示點P′，可以得到什么結(jié)論？(f(-x0)=f(x0))

問題7 反之，若f(-x0)=f(x0)成立，如何理解這個等式？(橫坐標互為相反數(shù)時，相應的兩個函數(shù)值相等，即點關(guān)于y軸對稱．[2])

問題8 我們將具有以上特征的函數(shù)稱為 偶函數(shù)，能用符號語言概括偶函數(shù)的定義嗎？(?x∈R，f(-x)=f(x))

設計意圖用點坐標刻畫函數(shù)的性質(zhì)是研究形的基本方法．通過對點坐標的研究把幾何問題代數(shù)化，使學生理解兩個“任意”：一是圖形的對稱性對任意點都成立；二是任意關(guān)于y軸對稱的圖形都有該數(shù)量關(guān)系．

探究三抽象概括，揭示特征

問題1 圖象關(guān)于y軸對稱具有一般性，定義域一定為R嗎？(不一定．不妨設定義域為I，?x∈I，f(-x)=f(x))

問題2 如果在f(x)=x2的圖象上去掉點(1,1)，圖象還關(guān)于y軸對稱嗎？定義域取[-3，2]呢？(都不是軸對稱圖形)

問題3 那么我們對偶函數(shù)又有什么新的認識？(偶函數(shù)的定義域關(guān)于數(shù)0對稱)

問題4 能完善偶函數(shù)的抽象定義嗎？(?x∈I，都有-x∈I且f(-x)=f(x))

設計意圖通過分析、觀察、歸納得偶函數(shù)的定義是本節(jié)課的核心部分，充分引導學生發(fā)現(xiàn)和歸納定義域的特征，有利于學生豐富和完善偶函數(shù)的概念，加深對定義的理解．

探究四概念形成，深化理解

如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)具有奇偶性．

問題1 歸納奇函數(shù)與偶函數(shù)的異同點：

偶函數(shù)奇函數(shù)定義域關(guān)于數(shù)0對稱圖象(形)關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點中心對稱定義(數(shù))?x∈I,都有-x∈I,且f(x)=f(-x)?x∈I,都有-x∈I,且f(x)=-f(-x)

問題2 如何說明一個函數(shù)不是偶函數(shù)？

不是偶函數(shù)只需滿足“?x∈I，-x?I”或“?x∈I，有f(-x)≠f(x)”．因此，用自然語言描述：定義域不關(guān)于數(shù)0對稱或舉特例說明，如f(-1)≠f(1)．

問題3 判定奇偶性的方法和步驟是什么？

方法：圖象法和定義法．步驟：①看(定義域)；②找(等量關(guān)系)；③下結(jié)論．

設計意圖讓學生通過類比獨立推導奇函數(shù)的定義，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力和探索意識．從四種命題的角度來看，若“函數(shù)f(x)滿足?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，則f(x)是一個偶函數(shù)”為真命題，則逆否命題“若函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則?x∈I，有-x?I或f(-x)≠f(x)”也為真命題.處理時不用過多強調(diào)，只需理清邏輯關(guān)系．

1.3 概念應用

例(1)判斷函數(shù)f(x)=5x的奇偶性；

(2)函數(shù)變成f(x)=5|x|，f(x)=5x2,x∈[-1,2]呢？

問題1 是否存在既奇又偶的函數(shù)呢？(比如y=0)

問題2 根據(jù)奇偶性可以將函數(shù)分為哪幾類？

設計意圖使學生掌握判斷奇偶性的步驟以及圖象法、特值法、定義法等幾種判斷方法．

1.4 拓展提升

圖3

思考：(1)圖3是函數(shù)f(x)=x3+x圖象的一部分，你能根據(jù)奇偶性畫出函數(shù)在y軸左邊部分的圖象嗎？

(2)想一想：能否通過添加項使函數(shù)f(x)=x3+x仍是奇函數(shù)？非奇非偶函數(shù)？偶函數(shù)？既奇又偶函數(shù)？

設計意圖(1)與解決情境提出的問題前后呼應，判斷函數(shù)的奇偶性后自然得出圖象的對稱，體現(xiàn)了學習奇偶性的必要性．(2)是對教材思考題的改編，添加項的探究讓學生在課堂上進行操作，學生利用大屏上的GeoGebra操作尋找規(guī)律，促進對奇偶性概念的深度理解．

2 教學感悟

2.1 情境喚醒——聯(lián)想與結(jié)構(gòu)

本課是學生繼函數(shù)單調(diào)性之后第二次接觸到用代數(shù)方法刻畫函數(shù)的幾何特征(對稱性)，對他們而言探索思路和研究方法還比較陌生．教師通過具有中國傳統(tǒng)文化色彩的剪紙藝術(shù)引入生活中的對稱性，引導學生聯(lián)想到函數(shù)圖象中的對稱性，將生活經(jīng)歷與本課所學相聯(lián)系，使知識具體化．情境引入問題6的目的是喚醒學生以往的學習經(jīng)驗，聯(lián)想到函數(shù)單調(diào)性中曾經(jīng)學習過的用代數(shù)方法刻畫幾何特征，當“形”不能解決時，轉(zhuǎn)為“數(shù)”的定量刻畫．在融入以往的學習經(jīng)驗之后，學生就可能產(chǎn)生聯(lián)想：想到類比單調(diào)性的研究方法來研究函數(shù)的奇偶性．學生經(jīng)過兩次聯(lián)想之后，知識就有了生長的根基．本課所學習的關(guān)于奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義、非偶函數(shù)和非奇函數(shù)的概念、判斷函數(shù)奇偶性的方法和步驟這些相關(guān)知識細碎又龐雜，教師通過探究四的問題1～3這三個問題指導學生梳理、建構(gòu)知識體系，使枝干清晰、細節(jié)豐滿[3]．而學生根據(jù)當前的學習活動去激活以往的經(jīng)驗，以融會貫通的方式對學習內(nèi)容進行組織從而建立自己的知識結(jié)構(gòu)，這正是深度學習的特征之一．

2.2 探究促進——活動與體驗

在概念教學中，教師應該關(guān)注以學生為主體的主動活動是否充分、學生是否充分感知到概念的產(chǎn)生和發(fā)展、學生在活動中有怎樣的學習體驗，以及除了知識以外有沒有體會到更深刻的學科思想方法．本課基于學生的活動和體驗進行探究設計，情境引入的問題5通過引發(fā)認知沖突從而激發(fā)學生對所學內(nèi)容的求知欲，有效激發(fā)學生的學習興趣．在概念構(gòu)建部分，探究一讓學生體會解析法刻畫函數(shù)對稱性的必要性；探究二揭示了函數(shù)關(guān)于y軸對稱所滿足的恒等關(guān)系；探究三揭示定義域的對稱性并完善了偶函數(shù)的定義；探究四則是由學生自主探索得到奇函數(shù)的定義并深化對奇偶性概念的理解．在探究過程中，學生親歷概念的發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展的過程，通過活動與體驗主動建構(gòu)知識體系，發(fā)展了數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．而學生的活動與體驗正是深度學習的學習機制，也是深度學習的特征之一．

2.3 問題驅(qū)動——本質(zhì)與變式

深度學習的著眼點在于教師通過怎樣的方式引導學生掌握知識的本質(zhì)．這節(jié)課上，教師以有效提問為抓手幫助學生搭建認知的階梯，進而把握概念的本質(zhì)．教師通過探究二的問題1和問題2向?qū)W生揭示研究函數(shù)圖象性質(zhì)的一般思路：用點坐標來研究函數(shù)性質(zhì)．仍舊是在探究二部分，教師通過問題3～6構(gòu)成的問題串一氣呵成，得到了奇函數(shù)所滿足的恒等式，至此概念本質(zhì)即奇函數(shù)的定義呼之欲出．變式也是幫助學生形成正確概念的必經(jīng)之路，比如探究三的問題1，教師通過變式進行追問，引導學生進一步反思偶函數(shù)定義域的特征；問題2則給出定義域非對稱的變式，學生在正反對比中發(fā)現(xiàn)、歸納出偶函數(shù)的定義域關(guān)于數(shù)0對稱．教師通過問題串、追問的形式以及正反變式進行舉例，引導學生全面把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．學生形成對學習對象進行深度加工的意識與能力，把握知識本質(zhì)，并能在本質(zhì)基礎(chǔ)上進行變式，也是深度學習的特征之一．

2.4 任務引領(lǐng)——遷移與應用

知識要通過遷移和應用轉(zhuǎn)化成為學生個體的學習經(jīng)驗.在探究四部分，教師組織學生類比偶函數(shù)的定義得奇函數(shù)的定義，在此過程中，知識發(fā)生了遷移．概念應用部分的例題是對函數(shù)奇偶性的簡單應用，問題1和問題2對學生應用所學知識解決問題的能力要求更高．事實上，聚焦學科內(nèi)容、具有挑戰(zhàn)性的學習任務更需要學生有綜合的能力和創(chuàng)新的意識，可以更好地促進學生的深度學習．例如情境引入部分的問題5其實是為拓展思考部分的學習任務埋下伏筆．總共兩個任務：(1)根據(jù)一半圖象作出另一半圖象；(2)添加項使其變成四種函數(shù)中的任意一種．根據(jù)函數(shù)奇偶性，任務(1)不難完成．任務(2)的情境開放且答案不唯一，精彩紛呈的答案更能體現(xiàn)學生在課堂教學中的主體地位．學生解決問題的手段也是多樣的，既可以借助GeoGebra畫圖尋找答案，也可以從“數(shù)”的角度去思考，學生綜合運用本節(jié)課所學知識完成任務的過程就是高層次的遷移和應用．學習內(nèi)容的深刻性與豐富性，學生學習的主動性、積極性都在完成任務的過程中得以體現(xiàn)．而遷移與應用也是深度學習的特征之一．

3 結(jié)語

通常認為，深度學習具有以下一些特征：聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、活動與體驗、本質(zhì)與變式、遷移與應用．在概念教學中如何促進學生深度學習的發(fā)生？教師可以通過創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境喚醒學生以往學習經(jīng)驗；通過教學活動使經(jīng)驗得到提升和結(jié)構(gòu)化；通過設置合理的探究活動引導學生充分展開活動與體驗，主動進行知識建構(gòu)；通過設計有效的提問讓學生的思維外顯，幫助學生理解數(shù)學的本質(zhì)；通過設計具有挑戰(zhàn)性的學習任務引導學生完成學習任務，促進知識的遷移與應用．以上策略均能促使學生的深度學習真實有效地發(fā)生．廣大教師應該深刻認識到概念教學的育人價值，明確概念教學的出發(fā)點和目標方向并設計好探索路徑，以促使學生走向深度學習并發(fā)展其數(shù)學核心素養(yǎng)．