201210 華東師范大學張江實驗中學 孫建良

數(shù)學應用題是數(shù)學聯(lián)系實際生活的具體表現(xiàn)，是數(shù)學在現(xiàn)實世界中的應用，是真實的生活問題經過一定數(shù)學模型處理而形成的題目形式.復旦大學李大潛教授認為：“應用題主要目的是檢驗學生能否應用數(shù)學知識來解決一些經過簡化甚至理想化的‘實際問題’.”[1]《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能有意識地用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關聯(lián)；學會用數(shù)學模型解決實際問題，積累數(shù)學實踐的經驗；認識數(shù)學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神.”[2]由此可見，應用題涉及數(shù)學的實際應用，是對學生掌握的數(shù)學基礎知識、理解問題的能力、分析與解決問題的能力的綜合考查，故對學生的要求較高.

近年來，筆者對2000年至2021年上海高考數(shù)學試題(全部秋考數(shù)學試題和部分春考數(shù)學試題)及2022年上海春考數(shù)學試題進行統(tǒng)計分析.2000年至2016年，上海實行“三加一”高考模式，高考數(shù)學試卷分為理科試卷與文科試卷，理科試卷與文科試卷中有部分題目相同，為了不產生重復，筆者只對理科試卷進行統(tǒng)計分析.從2017年起，上海實施新高考綜合改革，高考數(shù)學試卷只有一份，不分文科與理科，應屆高中畢業(yè)生既可以參加春考，也可以參加秋考.因而，對于這一階段，筆者同時分析秋考與春考數(shù)學試題.

一、 高考應用題涉及的類別

表1展示了2000年至2021年上海高考以及2022年上海春考數(shù)學試卷(共28套)中應用題的考查內容、對應大類和對試題特點的概括.

表1 2000年至2021年上海高考以及2022年上海春考數(shù)學應用題分類統(tǒng)計表

二、 高考應用題的若干特點

(一)高考應用題所涉及的內容

從對28套高考數(shù)學試卷的統(tǒng)計來看，2011年的應用題只出現(xiàn)在填空題中，2000年與2009年的應用題同時出現(xiàn)在填空題和解答題中，其余年份的應用題均出現(xiàn)在解答題中.從考查內容來看，試卷中工程建設問題(周長、面積、體積)的出現(xiàn)次數(shù)最多，共6次；測量問題其次，為5次；增長率問題名列第三，為4次；其他還涉及路程追及(3次)、農藥殘留、銷售打折、生產利潤、廣告燈設計、衛(wèi)生費支出、通勤時間、交通流量、垃圾點設置、共享單車保有量、扇形、知識掌握程度、報刊點設置等問題，共計16類問題.這些題目基本涉及日常生活中的一般問題，都比較貼近學生的生活和認知能力范圍，為學生正確理解試題并解決問題提供可能.同時，它們讓學生感受到所學的數(shù)學知識在實際生活的應用，更進一步培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界的能力[2].

(二)高考應用題所涉及的數(shù)學知識

高考應用題所涉及的知識面較廣，基本涵蓋高中數(shù)學的全部內容.其中，與傳統(tǒng)函數(shù)(二次函數(shù)、三角函數(shù)、分段函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù))有關的內容出現(xiàn)10次；與不等式、二次曲線、面積有關的內容均出現(xiàn)6次；與數(shù)列、解三角形、矩形有關的內容均出現(xiàn)4次.另外，相關題目還考查了極坐標、百分數(shù)、圓、五邊形、平均數(shù)、圓錐和新定義函數(shù)等.值得注意的是，題目中新定義函數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)在逐步增加.這對教師的教與學生的學均提出了新的要求，值得廣大師生的重視.

(三)高考應用題所涉及的試題形式

2011年高考的應用題只出現(xiàn)在填空題中，2000年與2009年高考的應用題既有填空題，又有解答題，其余年份的應用題均為解答題，屬于中高難度的試題，對學生的要求較高.近年來，上海高考數(shù)學卷的總題量為21題，應用題位置相對固定，為第19題.這是一個承上啟下的位置，如果能夠順利突破，則對解決最后兩道試題有激勵作用.從試題的長度來看，應用題題干一般都較長，包括文字、字母和符

號，平均長度約為150個字符左右，題目蘊含的信息量較大，對學生的閱讀能力與理解能力均提出了相當高的要求.特別是2019年春考第19題，這道應用題的內容涉及衛(wèi)生費支出，題目特別長，有近330個字符，而且題中還出現(xiàn)了表格信息，對學生正確理解題意帶來了明顯的挑戰(zhàn).據(jù)當年老師回憶，很多學生在閱讀題目時就開始敗下陣來，更不用說解決問題了.從試題的呈現(xiàn)形式來看，有的試題通過簡單的文字與數(shù)學表達式呈現(xiàn)，求解要求明確，結果封閉；有的試題則包含了文字、數(shù)學表達式、圖像和表格，條件形式多樣，求解是一個說理過程，結果半開放.從總體來看，無論哪一類高考應用題，都應該做到長度適中，語言清晰準確.

(四)高考應用題所涉及的解題方法

應用題的解題方法與題目所涉及的數(shù)學知識點有關，因題而異有不同的解題方法，雖然沒有完全統(tǒng)一的方法，但也有一些規(guī)律可循.分類討論的方法在解題時經常被使用.應用題一般來自現(xiàn)實世界，它的變量要與實際生活相一致，或要有實際意義，所以要特別注意變量的取值范圍和實際存在的可能.正因如此，分類討論就必不可少.還有較多應用題涉及工程造價最節(jié)約、方案設計最合理等問題，自然地，在解題過程中需要求函數(shù)的最值.限于上海高中學生掌握的知識，目前學生能用于求最值的方法中，常用的有二次函數(shù)、三角函數(shù)與基本不等式等方法.用二次函數(shù)求最值，要注意的是所求最值不一定在頂點處取得，還要考慮函數(shù)的頂點是否在閉區(qū)間內，對于兩個閉區(qū)間端點函數(shù)值與頂點函數(shù)值的大小，不要忘記進行必要的討論.用三角函數(shù)求最值，同樣要考慮自變量的取值范圍.用基本不等式求最值，一定要注意不等式成立的條件，特別要搞清楚等號成立的條件.

(五)高考應用題所涉及內容與時事熱點間的關系

人們都說文學來源于生活，但又高于生活，數(shù)學同樣如此.例如，2010年舉辦了上海世界博覽會，其主題是“城市讓生活更美好”.結合這一熱點，當年高考應用題(第21題)出現(xiàn)了一道與制作圓柱形燈籠有關的問題，體現(xiàn)了喜慶祥和的氛圍.2017年，共享經濟發(fā)展如火如荼，當年的高考應用題就出現(xiàn)了共享單車投放問題，說明數(shù)學與社會經濟的密切關系.為了改善生態(tài)環(huán)境，促進人與自然的和諧發(fā)展，2019年上海開始實行全面的垃圾分類，2020年春考(2020年1月舉行)的應用題就設計了與垃圾點設置便利性有關的問題.這對提高學生垃圾分類的意識，促進人類的永續(xù)發(fā)展大有益處，也是滲透德育的有效途徑.

三、 對高考應用題設計的建議

上海高考應用題的設計彰顯了數(shù)學的工具性和應用性.學生用所學的數(shù)學知識去解決實際生活中的問題，體現(xiàn)出數(shù)學的實用性；用數(shù)學的思想去觀察、思考現(xiàn)實世界中的問題，體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹性，使問題的處理結果科學精準.總之，高考應用題的編制是優(yōu)質的，反映了上海基礎教育的高質量和教育綜合改革的成果，是值得肯定的.同時，細細分析研究，可以發(fā)現(xiàn)其中也有值得探討的空間.

(一)應提高高考應用題所涉條件的清晰性

2021年春考試題的第19題是一道應用題，具體題目如下.

(1)團隊在O點西側、東側20千米處設有A，B兩站點，測量距離發(fā)現(xiàn)一點P滿足|PA|-|PB|=20千米，可知P在A，B為焦點的雙曲線上，以O點為原點，東側為x軸正半軸，北側為y軸正半軸，建立平面直角坐標系，P在北偏東60°處，求雙曲線標準方程和P點坐標.

(2)團隊又在南側、北側15千米處設有C，D兩站點，測量距離發(fā)現(xiàn)|QA|-|QB|=30千米，|QC|-|QD|=10千米，求|OQ|(精確到1米)和Q點位置(精確到1米，1°).

這道題分為兩個獨立的小問，沒有總題干，一般情況下，這兩個小問應該互不相干，這樣一來，小問(2)就無法解答.唯一讓這兩個小問產生聯(lián)系的是“團隊”二字.但這兩個“團隊”是否指同一個集體，是否在同一次測量中得到數(shù)據(jù)，在題中均不是很明確.當年不少考生對此提出了疑問，對同一問題的理解產生歧義，以致影響了部分考生的解答.面對一道題目，如果不同的人閱讀后有不同的理解，那么題目的表述方式就值得商榷.從數(shù)學的角度來說，這樣的題目嚴謹性有待進一步加強，需要進行修正，使題目的表述更加規(guī)范精準.可以對這道題目加一個總題干，在總題干中說明團隊進行測量的公共條件，這樣就不會使學生產生誤解，不會影響學生解題.

(二)應提高高考應用題的實際意義

2004年高考數(shù)學試題的應用題如下.

某單位用木料制作如圖1所示的框架,框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架圍成的總面積為8cm2.問x，y分別為多少(精確到0.001m)時用料最省?

圖1

所以當x的長為0.023m，y的長為0.028m時，木框的用料最省.

此題的題目本身不長，給出的條件也比較簡潔，初看時讓人感覺不是一道難題，解決起來比較容易.其實不然，本題有一個條件陷阱：給出的邊長單位是m，而面積的單位是cm2.

解題時，首先須統(tǒng)一單位，這樣才能求得正確結果.不過從解答結果來看，要制作木框的邊長僅為0.023m與0.028m，這在實際生活中很少見，只有在制作微縮作品時才可能出現(xiàn)，但用木材制作，精度也不會太高，用料最省的要求也似乎缺乏實際意義.由此可見，本題雖不能說有錯，但立意有些經不起推敲.

四、 高考應用題復習應注意的問題

(一)指導學生讀懂弄通題意

應用題一般題目較長，信息量大，要深刻理解，需要認真閱讀題目.首先，要整體讀題，把題目讀通，理解題目的含義，明白這是怎樣的一個問題.其次，要詳細讀題，弄清楚題目給出的條件和求解要求，并將其逐一圈劃出來，如果題目較長或給出的條件較多，可以進行編號，以便在解題時充分利用條件，避免產生遺漏.再次，要精準讀題，弄清楚每一個名詞、概念、定義的含義，分析每一個條件與結論的數(shù)學意義.遇到包含一個總題干和若干小問的題目時，要分清楚是總題干給出的條件，還是各小問滿足的條件.面對復雜一些的問題，通過多次讀題，完整準確地掌握題目的總體概況、具體的條件和所求的結論，為正確解題奠定基礎.

(二)指導學生尋找條件之間的關系

應用題給出的條件一般較多，如何梳理題目中的條件、建立各條件之間的關系是正確解題的關鍵.要注意題目中出現(xiàn)的關鍵詞和重要語句，如數(shù)量之間的等量和不等量關系、變量之間的正比例與反比例關系、點線面體之間的位置關系等，它們均是條件與條件之間搭建關系的橋梁.還要善于挖掘題目中的隱含條件和條件之間隱含的關系，找到正確的解題方法與途徑，順利解決問題.

(三)指導學生進行分類歸納

應用題題目繁多、類型各異，對學生來說挑戰(zhàn)不小.在進行高考應用題復習時，教師要幫助學生進行分類歸納，如可將題目分為工程建設問題、路程追及問題、增長率問題、測量問題等，對相關題型進行必要的訓練，使學生熟練掌握題目分析、條件提取、關系建立和正確解題的方法，并對題目適當變形，舉一反三，達到學以致用的效果.這樣，當學生遇到新問題時，就能進行必要的分析與轉化，會把新的問題轉化為相對熟悉的題型，用類比、化歸和建模等有效手段解決問題，從而實現(xiàn)解決新問題的目的.

應用題是教師教學與學生學習的一大難點，因為應用題與現(xiàn)實世界緊密相連，涉及的知識種類和解題方法千變萬化，沒有統(tǒng)一的模式可以套用.應用題的解答是數(shù)學基本知識與基本能力的綜合應用，對學生的能力要求較高.應用題又是高考數(shù)學試題的熱點，頗受社會有識之士的關注，所以數(shù)學教師和學生要充分重視應用題.從教師教學的角度來看，教師要認真研究應用題的題型，尋找一些適合學生能力要求的方法，對學生進行有效指導.從學生的角度來看，學生要活學活用所學的數(shù)學知識，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題的能力.這樣，應用題就不再是師生難以攀越的高臺，反而成為師生共同進步的階梯.