200127 上海市浦東教育發(fā)展研究院 徐 穎

對于“乘法公式”這一部分的內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)中，許多教師會產(chǎn)生比較一致的感受，即在新課教學(xué)的過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)情況較為良好，一旦進(jìn)入綜合運(yùn)用階段，有些學(xué)生就會出現(xiàn)公式混用或者用錯的現(xiàn)象.究其原因，可能是這些學(xué)生對于“乘法公式”的整體理解還不夠，尤其是對兩個公式之間差異性的感受不夠明顯.

在人教版、北師大版、浙教版以及滬教版的教材中，“乘法公式”這一知識內(nèi)容的呈現(xiàn)有著較高的一致性，基本都分為“平方差公式”和“完全平方公式”兩個主題內(nèi)容，并且它們的先后順序、所用課時基本一致.因此，可以從發(fā)掘教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程等一致性的角度出發(fā)，采用共性特征設(shè)計教學(xué)，著重在知識整體探究的過程中不斷呈現(xiàn)差異比較.

一、 分析教材，提煉共性

筆者對教材進(jìn)行研讀，主要對多個版本教材中的“乘法公式”內(nèi)容從年級、課時、內(nèi)容的關(guān)鍵環(huán)節(jié)(問題)等角度進(jìn)行比較.(如表1所示)

表1

通過比較可以得到以下發(fā)現(xiàn).首先，相關(guān)知識的內(nèi)容與順序都一致，即平方差公式、完全平方公式、應(yīng)用以及賈憲(楊輝)三角.其次，“平方差公式”和“完全平方公式”這兩個教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系是并列的，也就是沒有嚴(yán)格的先后邏輯關(guān)系.最后，“平方差公式”和“完全平方公式”在教材中的呈現(xiàn)形式及順序有比較明顯的一致性，它們都是兩個兩項一次多項式相乘的特殊情況，一個是在公式的呈現(xiàn)形式上表現(xiàn)為兩個特殊的多項式相乘，另一個是用圖形解釋(說明)公式時利用特殊四邊形的面積.同時，這兩個公式在呈現(xiàn)的過程上基本一致，也就是說，相關(guān)教學(xué)過程中的基本流程幾乎一致，人教版與滬教版的教材中，基本都呈現(xiàn)了如圖1所示的教學(xué)流程.北師大版與浙教版教材在完全平方公式部分呈現(xiàn)了不同的流程，但其關(guān)鍵環(huán)節(jié)是與圖1一致的.

圖1

二、 適當(dāng)整合，制定方案

基于內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系以及教學(xué)流程的一致性，可以對一致性進(jìn)行提煉，重新規(guī)劃單元.在各個版本教材的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，關(guān)于乘法公式的內(nèi)容涉及四個課時，而“賈憲三角(楊輝三角)”基本不在這四個課時的教學(xué)中，需要另外安排時間教學(xué)，有些教師可能不安排教學(xué)這一內(nèi)容.綜合各版本教材的分析，需要在單元規(guī)劃過程中通過構(gòu)建主線與邏輯將教材進(jìn)行重組，并相應(yīng)地進(jìn)行整合，制定方案，同時確定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計問題與活動.

學(xué)生學(xué)習(xí)存在著一個較大的問題，即不會選擇解決問題的方法，例如，在學(xué)習(xí)時死記硬背、生搬硬套各種乘法公式，經(jīng)常出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象.針對這一問題，教師要在這些公式的引入環(huán)節(jié)做好設(shè)計，讓學(xué)生明白公式是怎么得到的，會分辨公式各有什么樣的特點(diǎn)，而不是教師教一個、練一個，學(xué)生學(xué)一個、扔一個.基于這樣的考慮，筆者將完全平方公式與平方差公式的導(dǎo)出部分合并.

完成整體規(guī)劃后，四個課時的教學(xué)可以這樣安排：平方差公式、完全平方公式的探究(1課時)；公式的基礎(chǔ)應(yīng)用(含簡便運(yùn)算，2課時)；拓展與提高(應(yīng)用問題、換元、楊輝三角，1課時).

單元規(guī)劃的重點(diǎn)在于公式的引入部分，因此，先重點(diǎn)分析乘法公式的引入，隨后再進(jìn)行后續(xù)教學(xué)與學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的設(shè)計.

一般地，將公式研究過程的主要環(huán)節(jié)歸納為“發(fā)現(xiàn)”、舉例、說明(解釋)、式子、文字表述、驗(yàn)證.北師大版教材重點(diǎn)呈現(xiàn)的是除了驗(yàn)證之外的五個環(huán)節(jié).(如圖2所示)

圖2

方案1利用特殊四邊形的面積，將“發(fā)現(xiàn)”與說明(解釋)環(huán)節(jié)整合.(如圖3所示)

圖3

制定目標(biāo)如下.

(1)經(jīng)歷平方差公式、完全平方公式的探求過程，理解這兩個公式的意義，知道平方差公式、完全平方公式與多項式乘法法則的關(guān)系.

(2)熟悉平方差公式、完全平方公式的特征，會初步選擇、運(yùn)用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行簡單計算.

(3)以折紙、拼圖為載體，搭建創(chuàng)新實(shí)踐平臺，產(chǎn)生對問題研究的好奇心與探究欲望.

(4)通過借助圖形面積進(jìn)行說明的過程，體會“從一般到特殊”的研究問題方法和數(shù)形結(jié)合、化歸的數(shù)學(xué)思想．

方案2利用兩個兩項一次多項式相乘的特殊性，將“發(fā)現(xiàn)”與驗(yàn)證環(huán)節(jié)整合.(如圖4所示)

圖4

制定目標(biāo)如下.

(1)理解平方差公式、完全平方公式的意義以及它們與多項式乘法的關(guān)系，會初步選擇、運(yùn)用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行簡單計算.

(2)經(jīng)歷對公式的推導(dǎo)進(jìn)行說明的過程，體會“從一般到特殊”的研究問題方法和化歸的數(shù)學(xué)思想.

(3)通過參與課堂活動，感受探索與合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗(yàn).

三、 問題引領(lǐng)，細(xì)化活動

在教學(xué)設(shè)計中，首先打破“數(shù)”和“形”在同一個公式教學(xué)中同步出現(xiàn)的情況，通過“數(shù)”和“形”兩個特殊性探究角度串聯(lián)起幾個乘法公式.

方案1利用特殊四邊形的面積，將“發(fā)現(xiàn)”與說明(解釋)環(huán)節(jié)整合.

本案例由華東師范大學(xué)張江實(shí)驗(yàn)中學(xué)的教師完成，在教學(xué)設(shè)計中，將原先兩課時的內(nèi)容進(jìn)行合并與調(diào)整：兩個公式的導(dǎo)出與辨析作為第一課時，練習(xí)與鞏固作為第二課時.學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對比較薄弱，在導(dǎo)出部分主要采用教師設(shè)計活動、學(xué)生同桌合作交流完成的形式，探究的主要成果以填空的形式出現(xiàn)，具體的導(dǎo)入設(shè)計如下.

1.操作與填空(同桌合作交流完成)

(1)把一張正方形紙片的一邊任意分成兩段，它們的長度分別設(shè)為a和b(且a>b)，用同樣的方法把紙片的另一邊也分成a和b兩段，然后按照如圖5-1所示折出虛線部分，沿著折痕剪下圖形，并在剪下的每塊圖形上寫出它所表示的面積．

請問：大正方形的邊長是________；大正方形的面積可以表示為________；還可以表示為________；它們的數(shù)量關(guān)系是________．

圖5-1

(2)按照圖5-2所示，把兩張邊長為a和b的長方形紙片以白色部分為正面覆蓋在邊長為a的正方形紙片上．

請問：圖5-2中陰影部分的邊長是________；它的面積可以表示為________；還可以表示為________；它們的數(shù)量關(guān)系是________．

(3)按照圖5-3所示，在邊長為a的正方形紙片的角上剪去邊長為b的正方形，請你再剪一刀，把這個不規(guī)則的圖形拼接成一個我們熟悉的四邊形．

請問：拼接成四邊形后的面積可以表示為________；圖5-3陰影部分的面積表示為________；它們的數(shù)量關(guān)系是________．

圖5-2圖5-3

2．思考(學(xué)生個人完成)

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a-b)2=a2-2ab+b2;

(a+b)(a-b)=a2-b2.

你能運(yùn)用我們所學(xué)過的知識來解釋上述式子從左到右的變化過程嗎？

以上的教學(xué)實(shí)踐設(shè)計基于整式教學(xué)中關(guān)于乘法公式的兩個要點(diǎn)：用圖形的面積說明(理解)乘法公式、用整式乘法法則推導(dǎo)乘法公式.同時，將教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)的突破口定位在先學(xué)會分辨差異，再鞏固提高正確率.

通過折紙，圖形面積“算兩次”，學(xué)生直觀感知平方差、完全平方公式的形式.在此基礎(chǔ)上，師生一起運(yùn)用多項式乘法的運(yùn)算法則探求平方差公式與完全平方公式.通過課堂的引入以及配套的辨析練習(xí)，學(xué)生普遍對于這兩個公式能夠做出較好的區(qū)分與辨別，并且基本采用先觀察、再計算的方法進(jìn)行乘法計算，教學(xué)效果較好.

方案2利用兩個兩項一次多項式相乘的特殊性，將“發(fā)現(xiàn)”與驗(yàn)證環(huán)節(jié)整合.

以北師大版教材為例，在乘法公式的前一節(jié)課“整式的乘法”中，有如下隨堂練習(xí).

這四道題目蘊(yùn)含了很大的信息量，從人教版教材對于兩個項數(shù)為2的多項式相乘的一般式看，如果(a+b)(p+q)中的p，q有一些特殊的特征，那么相乘所得多項式的項數(shù)可能出現(xiàn)特殊的情況，可以直接順著這樣的練習(xí)，在乘法公式的教學(xué)中，用以下的問題引入.

兩個項數(shù)為2的多項式相乘所得多項式的項數(shù)可能是________.

具有一些特征的兩個項數(shù)為2的多項式相乘會得到一些較特殊的結(jié)論.你能舉出一些例子并進(jìn)行說明嗎？

這樣的引入可能對于一些學(xué)生顯得過于開放，那么可以適當(dāng)?shù)貙栴}進(jìn)行分解，通過多項式的一些特殊性引入.

問題1你能用數(shù)學(xué)符號語言來敘述兩個多項式相乘的法則嗎？

問題2如果兩個多項式中的項有特殊的形式，其計算結(jié)果有何特征？

問題2.1如果兩個多項式中的項完全相同，其計算結(jié)果有何特征？

問題2.2如果兩個多項式中的項完全相反，其計算結(jié)果有何特征？

問題2.3如果兩個多項式中一項相同，一項相反，其計算結(jié)果有何特征？

以上教學(xué)設(shè)計中，問題2.1至問題2.3是對問題2的補(bǔ)充，如果在課堂中有比較充足的時間，學(xué)生會較自然地生成問題2.1至問題2.3三個問題.因此，在上海市陸行中學(xué)南校進(jìn)行的課堂實(shí)踐過程中，教師根據(jù)不同班級學(xué)生的課堂反饋情況，由統(tǒng)領(lǐng)性問題生成后續(xù)的分解小問題，且提出小問題的先后順序也會有所差異.

這樣的引領(lǐng)性問題體現(xiàn)了如圖6所示的乘法公式的引出過程，更多地體現(xiàn)出學(xué)生的自主探究.

圖6

以上兩個方案在探究過程中，都關(guān)注到乘法公式的特殊性，從數(shù)和形兩個角度進(jìn)行研究，在保持研究角度一致的情況下，需要從數(shù)的角度對從形的角度觀察得到的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，也可以從形的角度對從數(shù)的角度探究歸納得到的結(jié)果進(jìn)行說明與表示.因此，這兩種方案設(shè)計都可以在一個課時的學(xué)生探究過程中得出三個特殊的乘法公式，同時也達(dá)成了分開推導(dǎo)所不能達(dá)到的目標(biāo)：分辨各個公式各有什么樣的特點(diǎn)，以及進(jìn)行各個公式差異的比較.

知識結(jié)構(gòu)化不僅體現(xiàn)在單元或章節(jié)的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中，而且應(yīng)該體現(xiàn)在新課的教學(xué)中.找到知識的生長點(diǎn)，從結(jié)構(gòu)生成的角度進(jìn)行合理、有效的設(shè)計，并且設(shè)計好問題與活動，重點(diǎn)體現(xiàn)學(xué)生對于新問題的研究思路與探究過程，這就是單元教學(xué)的魅力與價值所在.