201101 上海市七寶中學(xué) 周 丹

一、 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》[1](以下簡稱“課標(biāo)”)中明確指出直觀想象為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.2021年版上教社教材中立體幾何在整個高中數(shù)學(xué)的地位有所上升，建議課時數(shù)從原來的22節(jié)增加到現(xiàn)在的27節(jié)，教學(xué)時段從高三年級前移到高二年級，主要教學(xué)內(nèi)容基本相同，部分內(nèi)容的要求有所提高.而且，近幾年的高考中涌現(xiàn)出傳承中國古代數(shù)學(xué)文化、以立體幾何為主題考查直觀想象核心素養(yǎng)的試題.

二、 概念界定

高中立體幾何教學(xué)首先要關(guān)注幾何直觀，課標(biāo)中直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵是借助幾何圖形和空間想象感知事物的形態(tài)與變化、利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題.直觀想象由四個方面構(gòu)成，分別是建立形與數(shù)的聯(lián)系、利用幾何圖形描述問題、借助幾何直觀理解問題、運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物.直觀想象素養(yǎng)在教學(xué)實(shí)踐中的落實(shí)等已有很多研究成果，目前較為普遍的認(rèn)識是，直觀想象包括幾何直觀、空間想象兩個方面，空間想象一定程度依賴于幾何直觀.建立數(shù)與形的聯(lián)系、借助幾何直觀使抽象問題形象化、構(gòu)建直觀模型使復(fù)雜問題簡單化是落實(shí)培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié).

三、 問題解決

筆者主要結(jié)合文獻(xiàn)分析和教學(xué)實(shí)踐，梳理高中立體幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)策略.

(一)關(guān)注學(xué)生識圖、作圖、用圖能力的培養(yǎng)

章建躍博士曾說，作圖是立體幾何學(xué)習(xí)的第一件大事.2021年版上教社教材將直觀圖形的畫法前移至第十章第一節(jié)的第三課時，體現(xiàn)了對學(xué)生識圖、作圖、用圖能力的關(guān)注.學(xué)生在這一節(jié)，畫水平放置的正六邊形、三個平面相交的各種情形.學(xué)生作圖中畫交線，標(biāo)明實(shí)線、虛線的過程增強(qiáng)了他們的識圖、用圖能力.除了直觀圖的作圖外，還可以在利用牟合方蓋推導(dǎo)球體體積公式一課前，讓學(xué)生畫一畫牟合方蓋.筆者以“正方體的截面”為主題探討以下問題.

例1平面有平、無限延展，無大小、厚薄之分的特點(diǎn).用一個平面截正方體，正方體的表面與平面的交線所圍成的平面圖形叫做平面截正方體的截面.按照截面圖形的邊數(shù)進(jìn)行分類，截面可以為四邊形等.圖1展示了截面為四邊形時，四邊形是梯形、正方形、矩形的情況，以及截面是三角形、五邊形、六邊形的情況.

圖1

請回答以下問題.

(1)能否截出直角三角形?

(2)截面面積最大的三角形是什么形狀的?

(3)截面為四邊形時，四邊形能否為菱形？若能，請畫出來，若不能，請說明理由.

(4)有沒有可能截出邊數(shù)超過6的多邊形?

(5)能否截出正五邊形?

(6)是否存在正六邊形的截面?

解答此題時，可使用事先準(zhǔn)備好的蘿卜塊或可以裝水的透明正方體盒子幫助觀察.

筆者曾利用立體幾何章節(jié)教學(xué)前的一節(jié)課時間讓學(xué)生測試，完成上述問題，時值疫情線上教學(xué)期間，學(xué)生在家中利用攝像頭完成該測試問題.測試前一天，筆者提醒學(xué)生準(zhǔn)備好蘿卜塊或裝水的透明正方體盒子.測試過程中，筆者利用釘釘視頻會議功能，不斷翻頁觀察學(xué)生解答此題的狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)研究此問題時學(xué)生的主要表現(xiàn)有三類.第一類學(xué)生利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具“水”立方(裝不同容量水的正方體盒子)，或用刀切事先準(zhǔn)備好的正方體塊來研究截面，探索正方體截面的形狀，這屬于在直觀操作中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).第二類學(xué)生在度量計算(算圖)和思辨論述(證圖)中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，這屬于數(shù)形結(jié)合.如基于計算論述不可能為直角三角形；基于邏輯推理思辨得出因?yàn)檎襟w有六個面，所以截面最多為六邊形，當(dāng)截面多邊形為五邊形時，必有兩條邊平行，從而不可能為正五邊形等.第三類學(xué)生在具備一定直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，在熟悉幾何畫板或GeoGebra軟件的情況下，制作出了直觀的動態(tài)演示文件，揭示正方體截面之間的關(guān)系.

(二)為學(xué)生提供豐富的實(shí)物模型和現(xiàn)實(shí)情境

部分學(xué)生并不相信邏輯告訴他們的事實(shí).反例比一般證明更能說服人.因而教師不能一味強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象，而應(yīng)遵循由特殊到一般、由直觀到抽象的認(rèn)識事物的客觀規(guī)律.如對于假命題“四個面都是等腰三角形的四面體為正棱錐”的討論中，可以為學(xué)生提供搭好的直觀反例模型(如圖2-1所示).又如，可以利用信息技術(shù)給學(xué)生展示直觀的“正方體截面”動畫(如圖2-2所示).利用牟合方蓋推導(dǎo)球體體積公式的課堂中，教師可以親自為學(xué)生呈現(xiàn)將蛋糕切成牟合方蓋的過程.

圖2-1

圖2-2

此外，在關(guān)于多面體與球的切接問題中，由于球心位置及球半徑的確定對學(xué)生抽象思維要求較高，可在第一次出現(xiàn)相關(guān)問題時為學(xué)生提供直觀圖形.

如圖 3，有了直觀圖形，學(xué)生可以更好地理解并求解問題，如例2.

圖3

例2邊長為a的正方體的各棱與球相切，則球的直徑是多少？

(三)重視利用“基本圖形”解決立體幾何問題

對于立體幾何問題，學(xué)生總感到圖形線條多，又處在不同平面內(nèi)，難以發(fā)現(xiàn)要素之間的關(guān)系.實(shí)際上，在空間幾何體中，長方體、正四面體、球是基本圖形，它們類似于平面幾何中的直角三角形、等腰三角形、圓.把這些基本圖形的組成元素的位置關(guān)系搞清楚了，在解決其他問題時，就容易排除干擾，提煉出本質(zhì)特征來，因此，教學(xué)中要重視基本圖形的作用[2].立足從“基本圖形”到“變式圖形”，再到“綜合圖形”，要特別關(guān)注長方體這一最基本的立體圖形，充分發(fā)揮它在研究立體圖形及其位置關(guān)系中的作用.長方體的原型在生活中隨處可見，學(xué)生所在的教室就提供了離學(xué)生最近的實(shí)例.在研究基本圖形位置關(guān)系時，無論對于空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的整體認(rèn)識，還是對于空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理等，都可以在長方體中找到對應(yīng)的表示.長方體還可以和空間直角坐標(biāo)系建立聯(lián)系，因此，它也是今后用向量法解決立體幾何問題的基礎(chǔ).

例3在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M為等邊三角形D1AC中線D1E上一點(diǎn),記點(diǎn)M到平面A1D1DA、平面D1C1CD以及平面ABCD的距離的平方和為m,則m的最小值為________.

如圖4，構(gòu)造一個小長方體解題.

圖4

(四)關(guān)注立體幾何基本研究方法和思想的滲透

從人們認(rèn)識世界的過程來看，對“形”的認(rèn)識要先于對“數(shù)”的認(rèn)識，“形”是直觀、具體、形象的，“數(shù)”是理性、抽象、邏輯的.所以學(xué)習(xí)立體幾何的基本方法是“直觀感知(識圖)-操作確認(rèn)(畫圖)-度量計算(算圖)-思辨”[2].在經(jīng)歷識圖、作圖和在各種豐富的情境中識別基本圖形的過程中，學(xué)生能習(xí)得立體幾何基本的研究思想和方法，其中割補(bǔ)法、類比轉(zhuǎn)化法是最基本的方法.下面通過例題示例說明.

例4已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，側(cè)棱長為4cm，作與側(cè)棱垂直的截面，截得的△EFG是邊長為2cm的正三角形，則它的側(cè)面積為________.

如圖5，先將原斜三棱柱沿直截面割為兩部分，后補(bǔ)為直棱柱，割補(bǔ)過程中體積、側(cè)面積并沒有發(fā)生變化.

圖5

將立體幾何中的空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題，其本質(zhì)是降維，降維也是推導(dǎo)歐拉定理的基本方法.

(五)滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)愛國情懷

文化是民族生存和發(fā)展的重要力量.立體幾何中與中國古代數(shù)學(xué)文化息息相關(guān)的“關(guān)鍵詞”有很多，如牟合方蓋、祖暅原理、塹堵、陽馬等.近幾年的高考題也傳遞著以立體幾何為載體傳承中國古代數(shù)學(xué)文化的重要信息，如2019年全國卷中的金石文化(形狀為“半正多面體”的獨(dú)孤印信)、2018年全國卷中的“咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖”、2015年湖北卷中的“陽馬”.這些問題既考查了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，又讓學(xué)生感受立體幾何的實(shí)用價值，領(lǐng)略中國古代數(shù)學(xué)的魅力.下面呈現(xiàn)兩道以祖暅原理為背景、需要學(xué)生通過直觀想象構(gòu)造模型、還原幾何體求解幾何體體積的高考題.

圖6

例6(2019浙江高考-4) 祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”被稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=sh，其中s是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖7所示，則該柱體的體積是( )

圖7

A．158 B．162 C．182 D．324

祖暅原理是祖暅一生最具有代表性的發(fā)現(xiàn)，也是等價轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn).割補(bǔ)的本質(zhì)也是等價轉(zhuǎn)化.例7、例8為2021年版教材配置的習(xí)題，例7中的多面體來自《九章算術(shù)》[3]中的“楔體”，其體積的求法可借助多種割補(bǔ)方案，既可以充分發(fā)揮學(xué)生思維的發(fā)散性，又培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，更展現(xiàn)了中國古人的智慧.例8的“鱉臑”中存在特殊的線面關(guān)系，更體現(xiàn)“斜解立方，得兩塹堵；斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”的割補(bǔ)思想.

例7在如圖8所示的多面體中，已知ABCD為矩形，ABFE和DCFE為全等的等腰梯形，AB=4,BC=AE=EF=2．求此多面體的表面積與體積．

圖8

例8我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中研究過一種叫“鱉臑”的幾何體(見《九章算術(shù)》卷五“商功”之一六)，它指的是由四個直角三角形圍成的四面體．用你學(xué)過的立體幾何知識說明這種四面體確實(shí)存在.

四、 案例及思考

中國古代數(shù)學(xué)家將割補(bǔ)法與等價轉(zhuǎn)化奉為珍寶，創(chuàng)造出了讓人贊嘆不已的精神食糧.如祖暅在劉徽構(gòu)造的牟合方蓋模型基礎(chǔ)上，結(jié)合割補(bǔ)思想推導(dǎo)得出了球的體積公式.與圓柱圓錐模型推導(dǎo)球的體積公式相比，或許復(fù)雜了些，但經(jīng)歷這一過程讓人感受到的數(shù)學(xué)價值和情懷無以言表、無可媲美.筆者簡述課程案例的主要環(huán)節(jié).

(一)準(zhǔn)備工作

在本節(jié)課的前一天，布置畫牟合方蓋模型的作圖題.題目如下.

請用筆畫出一個棱長為4cm的正方體，用圓柱從縱、橫兩側(cè)面(橫表示左右方向，縱表示前后方向)作內(nèi)切圓柱體時，請畫出兩圓柱體的公共部分 (請標(biāo)清公共部分幾何體的輪廓線).

圖9-1為學(xué)生的作圖.

圖9-1

(二)課前實(shí)驗(yàn)

教師用圓柱形的牙簽盒從縱、橫兩個方向切正方體形狀的面包，得到牟合方蓋實(shí)物.如圖9-2所示為切的過程，如圖9-3所示為切得的牟合方蓋.

圖9-2圖9-3

(三)課中講解

環(huán)節(jié)1取出牟合方蓋的八分之一(如圖10-1所示)

圖10-1

環(huán)節(jié)2研究八分之一牟合方蓋的體積并思考相關(guān)問題

(1)如圖10-2，設(shè)小正方體的棱長為r，設(shè)ON=h,NL=a,為什么OL=r?試求圖10-2中“帶狀陰影”部分的面積.(因?yàn)辄c(diǎn)L在四分之一圓弧上，所以O(shè)L=r，而S帶狀陰影=r2-a2=h2)

(2)如圖10-3，設(shè)ON=h，思考四棱錐O-ABCD的截面NRST的形狀及面積.(截面NRST為正方形，且SNRST=h2)

圖10-2圖10-3

環(huán)節(jié)3牟合方蓋體積的應(yīng)用

推導(dǎo)球的體積公式并思考以下問題.

(1)用平行于底面的平面去截正方體的內(nèi)切球，所得截面是什么？

(2)用平行于底面的平面去截正方體的牟合方蓋，所得截面是什么？

環(huán)節(jié)4思考討論

(1)說說你對牟合方蓋的認(rèn)識.

(2)在祖暅原理的基礎(chǔ)上，利用牟合方蓋模型推出了球的體積公式，過程中都涉及了哪些思想？(割補(bǔ)法和等價轉(zhuǎn)化)

(3)你是否還有其他推導(dǎo)球的體積公式的方法？

本節(jié)課是運(yùn)用前文所述教學(xué)策略的教學(xué)實(shí)踐案例.課前準(zhǔn)備讓學(xué)生畫出牟合方蓋，關(guān)注學(xué)生的作圖、識圖.課前教師切出一個牟合方蓋，為學(xué)生提供實(shí)物情境.課中借助正方體、四棱錐、球等基本圖形，演繹了運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想方法推導(dǎo)球體體積的精彩篇章.此外，本節(jié)課多次使用祖暅原理，傳播先祖的智慧，傳承中國古代數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生內(nèi)心產(chǎn)生自豪感，也激勵學(xué)生養(yǎng)成鉆研求真的科學(xué)精神，是非常好的數(shù)學(xué)學(xué)科育人案例.筆者執(zhí)教的學(xué)生經(jīng)歷了利用牟合方蓋推導(dǎo)球的體積公式的過程后，對劉徽構(gòu)造的牟合方蓋模型，祖暅將八分之一牟合方蓋體積轉(zhuǎn)化為一個小正方體體積減去一個四棱錐體積，以及千年之前的數(shù)學(xué)家基于祖暅原理將割補(bǔ)法運(yùn)用得淋漓盡致發(fā)出感嘆.數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，數(shù)學(xué)的文化價值和育人價值的體現(xiàn)莫過于此.

“關(guān)注學(xué)生識圖、作圖、用圖能力的培養(yǎng)”以及“利用信息技術(shù)和實(shí)物模型為學(xué)生提供豐富的現(xiàn)實(shí)情境”側(cè)重在直觀感知和操作確認(rèn)中培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，即為學(xué)生理解和掌握圖形提供直觀，以實(shí)現(xiàn)抽象與直觀的結(jié)合.而“關(guān)注在各種情境中熟悉掌握基本圖形、基本研究思想方法，關(guān)注滲透數(shù)學(xué)文化”側(cè)重實(shí)現(xiàn)學(xué)生的感性認(rèn)識飛躍到理性認(rèn)識，在這一過程中，學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力均得到提高,數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)得以培育.經(jīng)歷這樣的過程，也會讓學(xué)生最終獲得言必有據(jù)的縝密思維習(xí)慣和求真的理性精神，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情和民族自豪感，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的積極性和主動性.

立體幾何在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面發(fā)揮著不可替代的作用.而給學(xué)生“冷靜思考的時間”和“充分表達(dá)的機(jī)會”，是實(shí)現(xiàn)深度理解的一個重要途徑[4].因此，在“立體幾何初步”單元教學(xué)的設(shè)計和安排中，教師要關(guān)注幾何研究對象尤其是基本圖形[5]，善于整合各類教育教學(xué)資源.教師要關(guān)注學(xué)生主體，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)探究，結(jié)合立體幾何內(nèi)容的內(nèi)在邏輯和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，構(gòu)建有針對性的教學(xué)進(jìn)度研究框架和探究實(shí)踐案例.如可將2021年版上教社高中數(shù)學(xué)教材必修三[6]中的“多面體的歐拉定理”、必修四[7]中的“包裝彩帶”整合為學(xué)生探索研究的案例，更好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).