趙維濤， 尹福平， 胡東超

(沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，沈陽 110136)

1 引 言

層次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process)因其操作簡單，且不需要大量數(shù)據(jù)等優(yōu)點得到廣泛使用，并且ADC模型[1]的能力矩陣大多采用AHP計算。近年來，許多學(xué)者對AHP做出改進(jìn)，衍生出多種AHP，如群組AHP、模糊AHP和區(qū)間AHP等。

閻朝一[2]以判斷矩陣的一致性指標(biāo)作為專家權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建了群組AHP。李春強[3]基于區(qū)間AHP構(gòu)建了艦船動力系統(tǒng)的評估模型。馬淼等[4]運用AHP與模糊綜合評價法對拋錨器作戰(zhàn)效能進(jìn)行評估。周曼等[5]將模糊AHP應(yīng)用在綜合電子信息系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)適用性分析中。段若晨等[6]通過三標(biāo)度法代替九標(biāo)度法，并采用最優(yōu)傳遞矩陣對AHP進(jìn)行改進(jìn)。王建等[7]通過將判斷矩陣轉(zhuǎn)化成模糊一致性矩陣，使其自然滿足一致性檢驗。LI等[8]采用模糊綜合評價法對指標(biāo)進(jìn)行評價，采用AHP確定指標(biāo)體系的權(quán)重，進(jìn)而評估潛艇集群魚雷武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能。Zhao等[9]利用AHP確定無人機回收系統(tǒng)的影響權(quán)重，通過定性分析和定量分析相結(jié)合，對無人機回收系統(tǒng)進(jìn)行有效評價。Jia等[10]將熵權(quán)法和AHP結(jié)合確定權(quán)重，最終得出設(shè)備管理信息系統(tǒng)的綜合水平。Wei等[11]采用模糊AHP與ADC模型相結(jié)合的方式對艦載通信設(shè)備進(jìn)行效能評估。Mangla等[12]采用模糊AHP對風(fēng)險進(jìn)行定性和定量評估，確定其關(guān)注的優(yōu)先級。He等[13]通過引入一種基于評價者偏好順序的相對權(quán)重計算方法，取代傳統(tǒng)的九標(biāo)度法。雷寧等[14]等采用AHP確定武器導(dǎo)彈維修保障指標(biāo)體系的權(quán)重，結(jié)合模糊綜合評價法確定武器導(dǎo)彈維修保障效能。唐政等[15]提出水聲對抗系統(tǒng)效能灰色層次分析評估方法，解決了水下信息模糊與數(shù)據(jù)缺失對水聲對抗系統(tǒng)效能評估的影響。楊東岳等[16]使用德爾菲咨詢法構(gòu)建了云探測的能力指標(biāo)，首次引用AHP對云探測的作戰(zhàn)效能進(jìn)行了相對客觀的系統(tǒng)評估。Chang等[17]結(jié)合AHP、重要性能分析和二元模糊語言表示模型來確定仿真訓(xùn)練系統(tǒng)的效益，該方法不損失專家提供的任何有價值的信息。Xing等[18]運用AHP和模糊評價法，定量分析鄉(xiāng)村旅游發(fā)展的各種要素。Han等[19]為減少主觀因素的影響，提出了一種基于層次分析與熵權(quán)的無人機智能群系統(tǒng)效能評估方法。

目前，AHP的研究主要集中在判斷矩陣、比例標(biāo)度和一致性與可信度等問題上，但這些研究并未改變AHP采用底層指標(biāo)效能線性加權(quán)模型的本質(zhì)，對于非線性體系效能或能力評估誤差較大。因此，本文以底層指標(biāo)效能值等于1/2為展開點，基于泰勒展開推導(dǎo)出二階加權(quán)模型的表達(dá)式，并給出二階AHP效能評估步驟，構(gòu)建二階AHP的基本框架，減少利用AHP評估非線性體系效能或能力的誤差，進(jìn)而減少產(chǎn)生決策性錯誤的機率。

2 經(jīng)典AHP

2.1 基本原理和方法

經(jīng)典AHP評估系統(tǒng)效能的基本思想是將研究對象的目標(biāo)分解為一個層次結(jié)構(gòu)模型。然后由專家對同一層次的因素進(jìn)行兩兩比較與評估，形成判斷矩陣并對其進(jìn)行一致性檢驗，若不滿足則需要重新構(gòu)建判斷矩陣,若滿足則可獲得各評估指標(biāo)的權(quán)重。最后,由底層次向頂層次(目標(biāo)層)逐層進(jìn)行計算，進(jìn)而得到系統(tǒng)效能評估值。

設(shè)頂層指標(biāo)效能為E，底層指標(biāo)i的效能為ei，則經(jīng)典AHP數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

2.2 缺陷分析

經(jīng)典AHP為線性加權(quán)模型，而在實際問題中，絕大多數(shù)體系頂層指標(biāo)效能與底層指標(biāo)效能的關(guān)系為非線性，當(dāng)采用經(jīng)典AHP評估高度非線性問題時會引入較大的誤差，易產(chǎn)生決策錯誤。若武器裝備效能評估值高于真實效能，則可能導(dǎo)致裝備在實戰(zhàn)中執(zhí)行力不足和任務(wù)失敗，影響戰(zhàn)爭結(jié)局；若武器裝備效能評估值低于真實效能，則可能導(dǎo)致裝備保障和維修等費用增加，造成資源浪費。

3 二階AHP

3.1 二階效能模型

二階效能模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2)

式中fi(ei)為底層指標(biāo)效能的非線性函數(shù)。

將各評估指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理后，效能值E處于[0,1]。因此，當(dāng)ei=0時，fi(ei)=0；當(dāng)ei=1時，fi(ei)=1。

在ei=1/2處對fi(ei)進(jìn)行二階泰勒展開，得

fi(ei)=fi(1/2)+f′i(1/2)(ei-1/2)+

[f″i(1/2)/2](ei-1/2)2

(3)

當(dāng)ei=0時，有

fi(0)=fi(1/2)-(1/2)f′i(1/2)+f″i(1/2)/8=0

(4)

當(dāng)ei=1時，有

fi(1)=fi(1/2)+(1/2)f′i(1/2)+f″i(1/2)/8=1

(5)

將式(4,5)分別進(jìn)行相加和相減計算，并將相加和相減結(jié)果代入式(3)，得

fi(ei)=fi(1/2)+ei-1/2+[2-4fi(1/2)]×

(ei-1/2)2

(6)

將式(6)代入式(2)，得

(7)

式(7)為頂層指標(biāo)效能與底層指標(biāo)效能之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，其中fi(1/2)為未知常量。只有確定fi(1/2)值，才能得出頂層指標(biāo)效能E與底層指標(biāo)效能ei的數(shù)學(xué)表達(dá)式。對于所有評估指標(biāo)，本文令fi(1/2)均相等，即fi(1/2)=f(1/2)，則

(8)

由式(8)可知，當(dāng)ei=1/2時，E=f(1/2)，故f(1/2)物理意義為當(dāng)?shù)讓又笜?biāo)效能均取1/2時，頂層指標(biāo)的效能值。

3.2 底層指標(biāo)效能函數(shù)

底層指標(biāo)效能函數(shù)f(ei)為ei的二次函數(shù)，因此f(ei)可能出現(xiàn)負(fù)值或大于1的情況，而效能值范圍為[0,1]，因此需要對f(ei)進(jìn)行修正。修正方法為,當(dāng)效能值不處于[0,1]時，二次函數(shù)采用直線進(jìn)行代替。修正后的f(ei)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

當(dāng)f(1/2)=1/2時，

f(ei)=ei

(9)

當(dāng)f(1/2)∈[1/4，1/2)∪(1/2,3/4]時，

f(ei)=f(1/2)+ei-1/2+[2-4f(1/2)]×

(ei-1/2)2

(10)

當(dāng)f(1/2)∈[0,1/4)時，

(11)

當(dāng)f(1/2)∈(3/4,1]時，

(12)

當(dāng)f(1/2)分別取1/8，1/3，1/2，2/3和7/8時，函數(shù)f(ei)如圖1所示。

圖1 f (ei)與ei關(guān)系曲線Fig.1 Relationship curve between f (ei) and ei

3.3 二階AHP基本步驟

(1) 建立效能評估指標(biāo)體系； (2) 利用經(jīng)典AHP確定權(quán)重； (3) 通過專家評估模型的非線性程度，打分確定當(dāng)?shù)讓又笜?biāo)效能均取1/2時頂層指標(biāo)效能，即確定f(1/2)；4)根據(jù)f(1/2)值，計算f(ei)； (5)根據(jù)式(8)計算頂層指標(biāo)效能。

4 算例

4.1 數(shù)學(xué)問題

設(shè)某系統(tǒng)頂層指標(biāo)效能E與底層指標(biāo)效能e1和e2之間的關(guān)系為

(13)

4.1.1 經(jīng)典AHP計算表達(dá)式

為獲得權(quán)重，將e1和e2分別在0～1均勻生成10個點，然后組合可構(gòu)建出100個樣本點并利用式(13)計算解析解，最后通過優(yōu)化(經(jīng)典AHP評估值與解析解誤差最小)得到權(quán)重。計算結(jié)果為ω1=ω2=1/2，故經(jīng)典AHP的表達(dá)式為

Ea=e1/2+e2/2

(14)

4.1.2 二階AHP計算表達(dá)式

(15)

4.1.3 結(jié)果討論

按照100個樣本點效能值大小進(jìn)行排序，解析解、經(jīng)典AHP和二階AHP的評估值如圖2所示。可以看出，采用二階AHP給出的效能評估值比經(jīng)典AHP更接近于解析解，二階AHP評估效果優(yōu)于經(jīng)典AHP。另外，對比式(13～15)可知，二階AHP模型保留了解析解的二次特征，而經(jīng)典AHP模型為線性模型，從理論上講,二階AHP模型相比經(jīng)AHP典模型更接近解析解。

圖2 評估結(jié)果(算例1)Fig.2 Results of evaluation (Example 1)

4.2 拉桿強度效能評估

拉桿截面為圓形，半徑為r，拉力為P。由材料力學(xué)可知，拉桿的正應(yīng)力σ為

σ=P/πr2

(16)

式中r∈[0.1,1]為趨大型指標(biāo)，P∈[0,π [σ]/100]為趨小型指標(biāo)，σ∈[0，[σ]]為趨小型指標(biāo)，[σ]為許用應(yīng)力。

4.2.1 效能解析解

將底層指標(biāo)r和P以及頂層指標(biāo)σ按其所屬類型轉(zhuǎn)換到[0,1]區(qū)間內(nèi)的效能指標(biāo)，并代入式(16)，得效能解析解為

E=1-(1-eP)/(9er+1)2

(17)

4.2.2 經(jīng)典AHP計算表達(dá)式

采用與算例1相同的優(yōu)化方法計算權(quán)重，經(jīng)典AHP的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Ea=0.7273er+0.2727eP

(18)

4.2.3 二階AHP計算表達(dá)式

當(dāng)er=eP=1/2時，效能解析解為119/121，即f(1/2)=119/121，則二階AHP的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Es=0.7273f(er)+0.2727f(eP)

(19)

式中

表1記錄了25個底層指標(biāo)效能er與eP，分別采用經(jīng)典AHP和二階AHP計算25個樣本點的效能，計算結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯觯AAHP評估效能比經(jīng)典AHP更接近于解析解。

表1 樣本點效能值Tab.1 Efficiency of sample points

圖3 評估結(jié)果(算例2)Fig.3 Results of evaluation (Example 2)

4.3 火力打擊能力評估

該算例來源于文獻(xiàn)[20]，為火炮火力打擊能力評估?；鹆Υ驌裟芰H由火力反應(yīng)時間tF、彈藥殺傷半徑r、射擊精度PS和彈藥威力DW決定，火力打擊能力的計算模型[20]為

CH=(1-tF/t)πr2PSDW/S

(20)

4.3.1 火力打擊能力解析解

(21)

4.3.2 經(jīng)典AHP計算表達(dá)式

采用與算例1相同的優(yōu)化方法計算權(quán)重，則經(jīng)典AHP的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Ca=0.2458CtF+0.2626Cr+

0.2458PS+0.2458DW

(22)

4.3.3 二階AHP計算表達(dá)式

當(dāng)CtF=Cr=PS=DW=1/2時，能力的解析解為1/32，則二階AHP評估能力Cs的表達(dá)式為

Cs=0.2458f(CtF)+0.2626f(Cr)+

0.2458f(PS)+0.2458f(DW)

(23)

4.3.4 結(jié)果討論

文獻(xiàn)[20]介紹了M777輕型火炮、FH-77B牽引火炮、T-240 mm 榴彈炮以及66式152 mm榴彈炮，四種火炮性能指標(biāo)參見文獻(xiàn)[20]。采用經(jīng)典AHP和二階AHP的能力評估結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，二階AHP相比于經(jīng)典AHP更接近于解析解。

圖4 評估結(jié)果(算例3)Fig.4 Results of evaluation (Example3)

5 結(jié) 論

(1) 針對經(jīng)典AHP采用線性加權(quán)模型的缺陷，本文基于泰勒展開建立二階加權(quán)模型，對于線性系統(tǒng)，二階加權(quán)模型可退化為線性加權(quán)模型。推導(dǎo)出二階AHP的數(shù)學(xué)表達(dá)式，給出二階AHP效能評估步驟，構(gòu)建二階AHP的基本框架。

(2) 算例結(jié)果表明，二階AHP的評估結(jié)果相比經(jīng)典AHP的評估結(jié)果更接近解析解。對于武器裝備而言，若評估誤差較大會給決策者提供錯誤的信息或帶來一定的負(fù)面影響，因此采用二階AHP可減少產(chǎn)生決策性錯誤的機率，從而提高戰(zhàn)爭勝率。

(3) 本文引入了f(1/2),其物理意義為當(dāng)?shù)讓又笜?biāo)效能均取1/2時頂層指標(biāo)的效能值。算例f(1/2)均采用解析解，對于實際問題f(1/2)，可由專家按照尺度標(biāo)準(zhǔn)打分給出，尺度標(biāo)準(zhǔn)等問題將在后續(xù)研究中結(jié)合實際問題進(jìn)行深入探究。