滕兆春， 席鵬飛

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050)

1 引 言

現(xiàn)代科技發(fā)展需要能滿足各種苛刻環(huán)境的材料，功能梯度材料FGM(Functionally Graded Materials)可以適應(yīng)包括熱載荷在內(nèi)的多種復(fù)雜工況，能很好地滿足這種需求。因此，許多學(xué)者對FGM構(gòu)件在各種條件下的動靜態(tài)力學(xué)行為進(jìn)行了大量研究[1-3]。Hussain等[4]研究了Winkler和Pasternak彈性地基上旋轉(zhuǎn)FGM圓柱殼的振動特性。Wang等[5]基于Levinson梁理論對FGM梁的自由振動進(jìn)行了分析，并用數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了梯度指數(shù)、長細(xì)比和邊界條件等對振動響應(yīng)的影響。鄧陽等[6]基于修正偶應(yīng)力理論和Kirchhoff板理論研究了功能梯度微板的熱力耦合屈曲問題，討論了材料尺度參數(shù)、邊長比及梯度指數(shù)對板穩(wěn)定性的影響。近年來由于增強(qiáng)FGM材料的出現(xiàn)和使用，一些學(xué)者研究了碳納米管[7]和石墨烯[8]等增強(qiáng)FGM結(jié)構(gòu)的力學(xué)問題，進(jìn)一步擴(kuò)展并豐富了FGM的基礎(chǔ)理論研究。但是，上述研究工作大多是從材料的理想形態(tài)入手建立力學(xué)模型并進(jìn)行分析，忽略了材料在實(shí)際應(yīng)用中孔隙的存在。

FGM在實(shí)際生產(chǎn)和制備中，由于生產(chǎn)方式和工藝的缺陷，在材料內(nèi)部往往會產(chǎn)生孔隙?？紫妒沟貌牧显诠こ虘?yīng)用中的力學(xué)性能存在不確定性，因此，孔隙對材料性能的影響得到很多學(xué)者的重視和研究，并提出了材料的多種孔隙分布理論。Nam等[9]基于高階剪切變形研究了用正交和斜加強(qiáng)筋增強(qiáng)的多孔功能梯度材料板的非線性熱機(jī)械屈曲，發(fā)現(xiàn)孔隙分布和加強(qiáng)筋等對板的性能影響較大。Kiran等[10]研究了不同孔隙分布、孔隙率和傾角等幾何參數(shù)對斜功能梯度磁彈性板的影響。Daikh等[11]采用一種新的簡單的高階剪切變形理論，研究了多孔功能梯度夾層板的自由振動和機(jī)械屈曲，分析了孔隙率、夾芯板幾何形狀和非均勻性參數(shù)對FG夾芯板屈曲和自由振動的影響。上述研究都是在同一種孔隙分布體系下展開的，應(yīng)用了四種可用數(shù)學(xué)表述孔隙分布模型。同時，基于余弦函數(shù)形式的孔隙理論，Rezaei等[12]給出了多孔材料厚矩形板自由振動的精確解，分析了約束、流體、板的幾何尺寸以及板的孔隙率對自由振動的影響。Kim等[13]采用經(jīng)典和一階剪切變形板理論研究了功能梯度多孔微板的彎曲、自由振動和屈曲響應(yīng)。這些研究在一定程度上驗(yàn)證了孔隙理論的適用性。

各種FGM力學(xué)性能的研究中，其控制微分方程可以通過各種方法求解，如有限單元法[14]和微分求積法[15]等。在多種求解方法中，微分變換法DTM(Differential Transformation Method)[16]受到了很多人的青睞。Ebrahimi等[17]基于DTM研究了旋轉(zhuǎn)的基于Mori-Tanaka模型FGM梁的自由振動問題。Ebrahiminejad等[18]基于DTM研究了不同邊界條件下，材料梯度、非局部效應(yīng)、壓電電壓以及溫度變化對壓電FGM納米梁振動特性的影響。Houbowski等[19]用DTM研究了非均勻加載梁的橫向扭轉(zhuǎn)屈曲問題。上述研究利用DTM對各問題的控制微分方程進(jìn)行變換求解，得到方程各階導(dǎo)數(shù)微分變換式之間的代數(shù)關(guān)系，再將經(jīng)微分變換的邊界條件代入代數(shù)關(guān)系遞推，可求得原方程解的離散值，將這個解進(jìn)行微分反變換即可得到用連續(xù)自變量表示的級數(shù)形式方程的解，這一過程非常適合計算機(jī)編程計算。DTM在特征值問題中不使用反變換就能求得特征值，從而在解決自由振動和屈曲問題中具有較多應(yīng)用。

目前，關(guān)于彈性地基上多孔FGM矩形板自由振動與臨界屈曲載荷問題的研究在國內(nèi)外還未有文獻(xiàn)報道，且考慮到彈性地基板在工程實(shí)際中的廣泛應(yīng)用背景，本文采用DTM對Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板自由振動與臨界屈曲載荷展開研究，分析梯度指數(shù)、孔隙率、地基剛度系數(shù)、長寬比、四邊受壓載荷及邊界條件等對多孔FGM矩形板無量綱固有頻率的影響以及各參數(shù)對無量綱臨界屈曲載荷的影響，為今后多孔FGM板的研究提供數(shù)據(jù)支撐。

2 多孔FGM矩形板的物性參數(shù)

Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板的力學(xué)模型如圖1所示。多孔FGM矩形板長度為a，寬度為b，厚度為h，邊界上受到垂直于y軸截面上的壓載荷Ny和垂直于x軸截面上的壓載荷Nx的作用，Winkler地基剛度系數(shù)為kw，其邊界條件約定按x=0，y=b，x=a和y=0的順序給出。

圖1 Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板Fig.1 Porous FGM rectangular plate with four sides compression on Winkler elastic foundation

含孔隙FGM矩形薄板的彈性模量和密度等沿厚度方向呈梯度變化，上表面是負(fù)向，為完全金屬，下表面是正向，為完全陶瓷，可用改進(jìn)的混合率公式表示為[10]

P(z)=(Pc-Pm)(1/2+z/h)n+

Pm-(Pc+Pm)Vjθ/2

(1)

式中n為梯度指數(shù)，Pc和Pm分別為無孔隙時陶瓷和金屬材料的物性參數(shù)，θ為孔隙率，Vj為四種孔隙分布模型(j=1,2,3,4)，根據(jù)z軸正向向下，可得孔隙分布如圖2所示?？紫堆睾穸确较虻牟煌植寄Ｐ蚔j如下。

(a) 孔隙均勻分布

V1=1

(2)

(b) 孔隙集中在兩種材料結(jié)合部分，并向頂部和底部呈線性減少至零。

V2=1-2|z|/h

(3)

(c) 中間結(jié)合部分孔隙率低，靠近頂部和底孔隙率增大。

V3=2|z|/h

(4)

(d) 正向孔隙率高，負(fù)向孔隙率低。

V4=1+2z/h

(5)

圖2 孔隙分布Fig.2 Pore distribution

3 控制微分方程的推導(dǎo)與DTM變換

3.1 無量綱控制微分方程

考慮到FGM矩形薄板的面內(nèi)尺寸遠(yuǎn)大于其橫向尺寸，橫向剪切變形可忽略，即多孔FGM矩形板滿足克?；舴蚣僭O(shè)，其位移分量為

u(x,y,z,t)=-(z-z0)?w/?x

v(x,y,z,t)=-(z-z0)?w/?y

w(x,y,z,t)=w(x,y,t)

(6)

式中u，v和w分別為板內(nèi)一點(diǎn)沿x，y和z方向的位移，t為時間，z0為物理中面。物理中面內(nèi)應(yīng)力分量與應(yīng)變分量為零，其表達(dá)式為[20]

(7)

基于經(jīng)典薄板理論所給的本構(gòu)關(guān)系，應(yīng)用Hamilton原理[21]可推導(dǎo)出Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板的自由振動與屈曲問題的控制微分方程。Hamilton原理為

(8)

式中T，U和V分別為系統(tǒng)的動能、應(yīng)變能和外力勢能，δ為變分符號，t1和t2分別為系統(tǒng)運(yùn)動的初始時刻和終止時刻。本文只考慮橫向位移，令w=w(x,y,t)，可得

(9)

(10)

(11)

式中D11和D12為抗彎剛度，D33為抗扭剛度，I1為多孔FGM矩形板的慣性系數(shù)，則

(Ec/Em+1)γ

由此可知，當(dāng)n趨近于0時，抗彎剛度變?yōu)镈c，當(dāng)n趨近于無窮大時，抗彎剛度變?yōu)镈m，α,β和γ的數(shù)值由孔隙分布類型決定，即

若按(a)型分布α=θ/2，β=0，γ=θ/2

若按(b)型分布α=θ/4，β=0，γ=θ/8

若按(c)型分布α=θ/4，β=0，γ=3θ/8

若按(d)型分布α=θ/2，β=θ/12，γ=θ/24

將式(9～11)代入式(8)，可得Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板橫向運(yùn)動的控制微分方程為

(12)

綜上可得Winkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板自由振動時的無量綱控制微分方程為

(13)

由彈性穩(wěn)定性理論可知，臨界屈曲載荷使得矩形板發(fā)生屈曲時，其固有頻率將變?yōu)榱?，故?13)中Ω=0時，也可以表示W(wǎng)inkler彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板屈曲時的無量綱控制微分方程。

多孔FGM矩形板在X=0和X=1處的無量綱邊界條件為

簡支(S)W=0， d2W/dX2=0

(14)

固定(C)W=0， dW/dX=0

(15)

(16)

3.2 控制微分方程和邊界條件的DTM變換

用DTM原理，將彈性地基上四邊受壓多孔FGM矩形板自由振動和屈曲的無量綱控制微分方程(13)轉(zhuǎn)換為如下迭代形式的代數(shù)特征方程，

(17)

邊界條件的DTM變換為

在X=0處，

(18)

(19)

(20)

在X=1處，

(21)

(22)

自由(F)

(23)

4 計算結(jié)果及分析

4.1 算例對比

各種材料的物性參數(shù)列入表1。表2是將材料退化為無孔隙FGM時計算結(jié)果與已有文獻(xiàn)對比，以驗(yàn)證本文相關(guān)研究的正確性與有效性。

表1 不同材料的物性參數(shù)Tab.1 Physical parameters of different materials

表2 不同長寬比和邊界條件下前兩階無量綱固有頻率(n =1,2)Tab.2 First two dimensionless natural frequencies under different aspect ratios and boundary conditions(n =1,2)

4.2 結(jié)果分析

圖3 在不同梯度指數(shù)與孔隙分布時孔隙率對CSCS邊界條件下FGM矩形板一階無量綱固有頻率的影響Fig.3 Effect of porosity on the first order dimensionless natural frequency of FGM rectangular plate under CSCS boundary conditions with different gradient index and pore distribution

圖4 在不同孔隙分布與邊界條件時彈性地基對多孔FGM矩形板一階無量綱固有頻率的影響Fig.4 Influence of elastic foundation on the first order dimensionless natural frequency of porous FGM rectangular plate with different pore distribution and boundary conditions

圖5 在不同孔隙率與孔隙分布時長寬比對CSCS邊界條件下FGM矩形板一階無量綱固有頻率的影響Fig.5 Effect of aspect ratio on the first order dimensionless natural frequency of FGM rectangular plate under CSCS boundary conditions at different porosity and pore distribution

圖6 在不同孔隙率與孔隙分布時四邊對稱載荷對CSCS邊界條件下FGM矩形板一階無量綱固有頻率的影響Fig.6 Effect of quadrature symmetric load on the first order dimensionless natural frequency of FGM rectangular plate under CSCS boundary conditions at different porosity and pore distribution

圖7 在不同梯度指數(shù)和孔隙分布時孔隙率對對稱邊界條件下FGM矩形板無量綱臨界屈曲載荷的影響Fig.7 Effect of porosity on the dimensionless critical buckling load of FGM rectangular plates under symmetric boundary conditions with different gradient index and pore distribution

5 結(jié) 論

通過分析不同參數(shù)對無量綱的固有頻率和臨界屈曲載荷的影響，得到如下結(jié)論。

(1) 孔隙率對無量綱固有頻率的影響受材料梯度指數(shù)和孔隙分布方式的影響。梯度指數(shù)較小時，四種分布中無量綱固有頻率均隨孔隙率的增大而增大，梯度指數(shù)較大時，V1和V3中無量綱固有頻率隨孔隙率的增大而減小，V2和V4中無量綱固有頻率隨孔隙率的增大而增大，但增幅在減小。

(2) 長寬比對無量綱固有頻率的影響受孔隙率和孔隙分布方式的影響。長寬比增大，無量綱固有頻率也隨之增大，同時，在V1和V3中，無量綱固有頻率頻率隨孔隙率增大而減小，在V2和V4中，無量綱固有頻率隨孔隙率增大而增大。

(3) 有孔隙存在時，對稱載荷對無量綱固有頻率的影響因孔隙分布方式的不同而呈復(fù)雜變化?？傮w上無量綱固有頻率隨對稱載荷的增大而減小，但在V1和V3中，無量綱固有頻率隨孔隙率的增大而增大，在V2和V4中，對稱載荷增大時，無量綱固有頻率隨孔隙率的變化會發(fā)生突變。

(4) 無量綱臨界屈曲載荷隨孔隙率和梯度指數(shù)的增大而減小，隨邊界約束增強(qiáng)而增大。