楊慧慧

（國家知識(shí)產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作北京中心，北京 100160）

0 引言

四桿機(jī)構(gòu)常用于設(shè)計(jì)移動(dòng)機(jī)器人的關(guān)節(jié)或者腿，如Banala等[1]利用四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)機(jī)器人的膝關(guān)節(jié)以提高步行穩(wěn)定性。Yamamot等[2]使用平行四邊形機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了腳踝關(guān)節(jié)以實(shí)現(xiàn)人的足式運(yùn)動(dòng)。此外還有一些研究者利用平面四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)單自由度機(jī)器人的腿[3-4]和兩足步行玩具[5-6]。

與上述的研究不同，近年來也有一些研究利用單個(gè)四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)移動(dòng)機(jī)器人。如文獻(xiàn)[7]利用一個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種兩足滑行四桿機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[8]基于空間4U四桿機(jī)構(gòu)，提出了兩足步行移動(dòng)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[9]基于兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和圓柱副的空間四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種雙足步行機(jī)構(gòu)。本文通過改變運(yùn)動(dòng)副配置，提出了一種新型的空間RCRC步行機(jī)構(gòu)，轉(zhuǎn)動(dòng)副和圓柱副的軸線都相互平行，其中兩個(gè)桿件被設(shè)計(jì)為兩足，通過兩個(gè)曲柄帶動(dòng)足的步行運(yùn)動(dòng)。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與自由度分析

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

如圖1所示，該步行機(jī)器人是由空間四桿機(jī)構(gòu)組成，包括2個(gè)L形狀的桿ABD和EGH及2個(gè)相同的曲柄AF和HC。其中2個(gè)桿之間的連接關(guān)系如下：桿ABD與曲柄AF在A點(diǎn)通過轉(zhuǎn)動(dòng)副R1連接，曲柄AF與桿FGH在F點(diǎn)通過圓柱副C1連接，桿FGH和曲柄HC在H點(diǎn)通過轉(zhuǎn)動(dòng)副R2連接，曲柄HC和桿ABD在C點(diǎn)通過圓柱副C2連接。轉(zhuǎn)動(dòng)副R1與圓柱副C1的軸線平行，轉(zhuǎn)動(dòng)副R2與圓柱副C2的軸線平行，轉(zhuǎn)動(dòng)副R1與圓柱副C2的軸線垂直，轉(zhuǎn)動(dòng)副R2與圓柱副C1的軸線垂直。方便期間，將該四桿機(jī)構(gòu)簡稱為空間RCRC機(jī)器人。桿ABD和桿EHF作為機(jī)器人的兩足，每個(gè)足的L形的一端內(nèi)部設(shè)有一個(gè)直流電動(dòng)機(jī)，L形的另一端設(shè)有滑道，滑道的末端設(shè)置一個(gè)配重塊，使得足的質(zhì)心在L的拐角處，同時(shí)配重塊還能夠起到增大足的支撐作面的作用。當(dāng)曲柄AF和HC分別旋轉(zhuǎn)，則將帶動(dòng)兩個(gè)足交替落地，實(shí)現(xiàn)步行運(yùn)動(dòng)。機(jī)構(gòu)的參數(shù)定義如下：l1為AB的長度；l2為BD的長度；l3為曲柄長度。機(jī)構(gòu)的附圖標(biāo)記定義如下：1為足1；3為足3；2為曲柄AF；4為曲柄HC。

圖1 空間RCRC四桿步行機(jī)構(gòu)

1.2 自由度分析

根據(jù)RCRC的機(jī)構(gòu)簡，機(jī)構(gòu)可認(rèn)為是兩支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。其中下平臺(tái)為桿ABD，上平臺(tái)為桿EGH，曲柄AF和HC為支鏈。這樣可通過螺旋理論分析該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度。機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算修正公式[10]為

式中：d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)；n為連桿數(shù)目；g為運(yùn)動(dòng)副數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度；ν為虛約束；ξ為冗余約束。

首先根據(jù)如圖1（c）所示的機(jī)構(gòu)簡圖，建立運(yùn)動(dòng)副的螺旋系。運(yùn)動(dòng)服螺旋定義如下：轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的螺旋為$1；圓柱副C1的螺旋用一個(gè)移動(dòng)螺旋$1和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)螺旋$3表示；轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的螺旋為$4；圓柱副C2的螺旋同樣用一個(gè)移動(dòng)螺旋$5和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)螺旋$6表示。θ1和θ2分別為曲柄AF和HC從水平位置轉(zhuǎn)過的角度。如圖1（b）建立直角坐標(biāo)系o-xyz，坐標(biāo)系原點(diǎn)與B重合，ox軸沿著BD方向，oy軸沿著BA方向，oz垂直于ABD所在的平面。根據(jù)幾何關(guān)系，運(yùn)動(dòng)副螺旋$i（i=1，2，… 6）矩陣可表示為：

根據(jù)機(jī)構(gòu)位置的不同，自由度分為以下兩種情況：

1）當(dāng)θ1=θ2∈（-90°，90°）∪（90°，270°）時(shí)，螺旋矩陣具有一個(gè)反螺旋為

由反螺旋可得到，機(jī)構(gòu)繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度被限制。進(jìn)一步因?yàn)橹淮嬖谝粋€(gè)反螺旋，故運(yùn)動(dòng)副螺旋矩陣的秩為5，則RCRC兩足步行機(jī)構(gòu)有1個(gè)公共約束，即λ=1。機(jī)構(gòu)的階數(shù)d=6-λ=5。根據(jù)自由度計(jì)算公式（1），可得到

通過上述的自由度分析，當(dāng)機(jī)構(gòu)的桿3處于桿ABD正上方時(shí)或者桿ABD處于桿3的正上方的時(shí)候，機(jī)構(gòu)處于奇異位置具有兩個(gè)自由度，此時(shí)需要兩個(gè)電動(dòng)機(jī)控制機(jī)構(gòu)；在其它位置時(shí)，機(jī)構(gòu)只需要一個(gè)電動(dòng)機(jī)去驅(qū)動(dòng)。

二是具有自動(dòng)控制功能。在電氣自動(dòng)控制系統(tǒng)中，自動(dòng)控制技術(shù)是必不可少的。當(dāng)整個(gè)運(yùn)轉(zhuǎn)平臺(tái)有故障發(fā)生時(shí)，系統(tǒng)不僅要檢測出并警報(bào)故障，還要對(duì)故障進(jìn)行緊急應(yīng)對(duì)，以保證全套自動(dòng)系統(tǒng)及設(shè)備的安全。因此，自動(dòng)控制功能不但能夠有效保障設(shè)備和人員的安全，還能夠提高生產(chǎn)效率。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

如圖1（b）所示，當(dāng)桿ABD與地面接觸，曲柄AF和EH轉(zhuǎn)過θ1和θ2，通過正運(yùn)動(dòng)分析，求解上平臺(tái)各個(gè)點(diǎn)在o-xyz坐標(biāo)系中的位置ri，i為A、B、C、D、E、F，G和H。根據(jù)下平臺(tái)桿ABD中的幾何關(guān)系得到，點(diǎn)A、B和D的位置如下：

注意到曲柄旋轉(zhuǎn)過程中，上平臺(tái)相對(duì)下平臺(tái)始終發(fā)生平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，則θ1和θ2必須滿足

根據(jù)等式（14），可分為2種情況進(jìn)一步分別討論。

第一種情況：θ1=θ2，即2個(gè)電動(dòng)機(jī)同速同向轉(zhuǎn)動(dòng)。點(diǎn)G、E、F和H的位置可重寫為：

每個(gè)足的短的一端上安裝有電動(dòng)機(jī)，長的一端設(shè)有配重塊，使得兩端的質(zhì)量相同。設(shè)足的整體質(zhì)量為2m，則每段質(zhì)量為m。則足1和足3的質(zhì)心可表示為：

第二種情況：π-θ1=θ2，即2個(gè)電動(dòng)機(jī)同速異向轉(zhuǎn)動(dòng)。點(diǎn)G、E、F和H的位置可重寫為：

為了驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)分析結(jié)果，使用表1中的機(jī)構(gòu)參數(shù)，根據(jù)式（17）和式（19）編寫Matlab程序，得到機(jī)構(gòu)在半個(gè)周期的質(zhì)心在地面的投影曲線。圖2（a）所示為當(dāng)2個(gè)電動(dòng)機(jī)同向同速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)質(zhì)心軌跡曲線，且θ1=θ2∈［0，180°］。圖2（b）為當(dāng)2個(gè)電動(dòng)機(jī)異向同速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的質(zhì)心軌跡曲線，且θ1∈［0，180°］，θ2=π-θ1。圖中三角形區(qū)域?yàn)樽?的支撐區(qū)域。

表1 機(jī)構(gòu)參數(shù)

圖2 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)質(zhì)心

3 步行運(yùn)動(dòng)及穩(wěn)定性分析

3.1 步態(tài)規(guī)劃

本節(jié)對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)步態(tài)進(jìn)行規(guī)劃，如圖1中的附圖標(biāo)記，1）初始時(shí)刻（θ1=θ2=0°），兩足同時(shí)著地；2）電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)90°，足1支撐，足3抬至最高位置，此時(shí)機(jī)器人到達(dá)奇異位置；3）電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)180°，足3返回地面，兩足支撐；4）電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)270°，足3支撐，足1抬至最高位置，機(jī)器人到達(dá)另第二個(gè)奇異位置；5）電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)360°，足1返回地面，機(jī)器人回到與初始位置相同的狀態(tài)，完成一個(gè)步行周期。電動(dòng)機(jī)持續(xù)以相同的轉(zhuǎn)速和方向周轉(zhuǎn)，則兩個(gè)足交替落地與抬起，機(jī)器人沿著虛線箭頭方向運(yùn)動(dòng)。2個(gè)電動(dòng)機(jī)也可以反向轉(zhuǎn)動(dòng)，則機(jī)器人實(shí)現(xiàn)上述運(yùn)動(dòng)的反向運(yùn)動(dòng)。

3.2 穩(wěn)定性分析

1）靜態(tài)穩(wěn)定性分析。

參照圖3，以足1在地面上為例，其支撐區(qū)域?yàn)橛牲c(diǎn)A、B和D構(gòu)成的三角形。根據(jù)步態(tài)分析的描述，當(dāng)θ1在［0，180°］區(qū)間時(shí)，足1支撐，要滿足步行運(yùn)動(dòng)的靜穩(wěn)性，則質(zhì)心的投影必須在三角形ABD之內(nèi)。令Q為質(zhì)心的投影點(diǎn)，則步行靜態(tài)穩(wěn)定條件可表示為：

圖3 支撐區(qū)域

根據(jù)式（23），我們得到步行機(jī)器人滿足靜穩(wěn)性的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)條件。例如當(dāng)機(jī)器人足的大小確定后（即l1和l2確定），則曲柄長度l3可根據(jù)不等式（23）選擇。參照表1的機(jī)構(gòu)參數(shù)，將l1=105 mm和l2=190 mm代入式（23），得到l3≤52.5 mm。表1中的機(jī)構(gòu)參數(shù)滿足靜態(tài)穩(wěn)定性的要求。

2）動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析。

步行機(jī)器人的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性通過機(jī)器人的零力矩點(diǎn)（ZMP）是否落在支撐范圍之內(nèi)來判定[11]。當(dāng)機(jī)器人ZMP在其支撐區(qū)域之內(nèi)，滿足動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性；反之，ZMP在支撐區(qū)域之外，則機(jī)器人失去穩(wěn)定性，將發(fā)生傾翻。ZMP可根據(jù)伍氏提出的計(jì)算通用公式[12]計(jì)算：

式中：n為步行機(jī)器人構(gòu)件數(shù)目；mi為構(gòu)件i的質(zhì)心；x¨i、y¨i、z¨i為桿i在x、y、z方向的加速度；xi、yi、zi為桿i的質(zhì)心；g為重力加速度。

下面以機(jī)構(gòu)的前半周期為例分析其步行穩(wěn)定性，當(dāng)θ1∈［0° 180°］，足1支撐在地面。令δ為ZMP點(diǎn)與D的連線和線段BD的夾角，若要使得ZMP點(diǎn)在足1的支撐區(qū)域之內(nèi)，需滿足：

將式（15）和式（17）分別代入式（24）得到ZMP為：

我們主要考慮2個(gè)電動(dòng)機(jī)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，電動(dòng)機(jī)角速度ω對(duì)ZMP的影響。使用表1的結(jié)構(gòu)參數(shù)，圖5給出了3組不同角速度下的ZMP變化曲線。如圖4（a）所示，當(dāng)ω=π，ZMP始終在三角形ABD支撐區(qū)域。如圖4（b）所示，當(dāng)ω≈5.8π時(shí)，xzmp=0，ZMP到達(dá)支撐區(qū)域的左邊界AB。如圖4（c）所示，當(dāng)ω≈8.9π時(shí)，δ=28.9°，ZMP到達(dá)支撐區(qū)域的上邊界AD。綜上，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ω＜5.8π，則ZMP始終在三角形ABD之內(nèi)；ω∈（5.8π，8.9π），機(jī)器人的在邊界AB失去動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，將向AB的左側(cè)傾翻；ω＞8.9π，機(jī)器人將在邊界AD和AB均失去動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。為了進(jìn)一步得到機(jī)構(gòu)在失去動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的位置，設(shè)定ω∈{π，5.8π，8.9π}，圖4（d）給出了δ隨θ1的變化曲線，當(dāng)ω=5.9π，θ1≈62.5°，ZMP點(diǎn)到達(dá)上邊界AD。圖4（e）給出了xzmp隨θ1的變化曲線，當(dāng)ω=8.9π，θ1≈161.5°，ZMP點(diǎn)到達(dá)左邊界AB。

圖4 ZMP隨電動(dòng)機(jī)速度的變化曲線

4 結(jié)論

基于空間RCRC四桿機(jī)構(gòu)，提出了一種兩足步行機(jī)器人的設(shè)計(jì)。根據(jù)螺旋理論，對(duì)機(jī)器人自由度進(jìn)行分析。并對(duì)機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析，討論了機(jī)器人保持靜穩(wěn)性的參數(shù)設(shè)計(jì)條件。在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析基礎(chǔ)之上，對(duì)機(jī)器人進(jìn)行了步態(tài)分析。然后，根據(jù)ZMP原理，最后對(duì)機(jī)器人動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得到了電動(dòng)機(jī)角速度對(duì)機(jī)器人穩(wěn)定性的影響。在后續(xù)研究中，我們將對(duì)機(jī)器人參數(shù)和電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。