陳 宇

(江蘇省南通市幸福中學(xué)，江蘇南通，226001)

整體法是初中數(shù)學(xué)中常用的一種解題方法，這種方法將問題看作一個完整的整體，注重問題的整體結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)改造，特點(diǎn)是可以宏觀上全面觀察事物的整體結(jié)構(gòu)，從而揭示事物的本質(zhì)[1].初中數(shù)學(xué)和高中以及小學(xué)數(shù)學(xué)有著很大的不同，小學(xué)數(shù)學(xué)更多地注重學(xué)生的逆向思維，高中數(shù)學(xué)更側(cè)重于學(xué)生正向思考并解決問題，而初中數(shù)學(xué)則需要完成這個過渡.初中數(shù)學(xué)有很多種解決的方法，而方法的選取決定了解題的上限，運(yùn)用好的解題方式可以更加方便快捷.整體法就是解決初中部分?jǐn)?shù)學(xué)問題的一種非常便利的方法.靈活運(yùn)用整體法可以提高數(shù)學(xué)分析能力和解決能力.整體法在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要可以從以下幾個方面進(jìn)行展開.

1 整體法在代數(shù)式求值中的應(yīng)用

代數(shù)式求值是初中數(shù)學(xué)中最為重要的知識點(diǎn)，在解決此類問題時，利用整體法可以有效進(jìn)行化簡求值，其中整體代入可以更快捷地解決部分問題.整體代入的解題思路是將一個代數(shù)式作為一個整體，然后將這個整體的值代入到另一個代數(shù)式中進(jìn)行運(yùn)算，具體案例如下：

例1已知a2+5ab=16，并且3b2+2ab=50，求a2+11ab+9b2的值.

題目中出現(xiàn)兩個未知數(shù)a和b，在正常的解題中，需要通過兩個代數(shù)式結(jié)合計算出a和b相對應(yīng)的代數(shù)值，再代入到最后所要計算的代數(shù)式中進(jìn)行解析，計算起來相對繁瑣.

現(xiàn)采用整體法對這道題進(jìn)行解題分析，首先將兩個代數(shù)式a2+5ab=16和3b2+2ab=50看作兩個整體A和B進(jìn)行分析，然后可以發(fā)現(xiàn)最后所求的代數(shù)式a2+11ab+9b2，可以由一個整體A和三個整體B進(jìn)行相加得到，即a2+11ab+9b2=(a2+5ab)+3×(3b2+2ab)，因此可以很方便地求出最后的函數(shù)值為166.

因此，在解題時，學(xué)生的思路應(yīng)該時刻保持清晰，能夠準(zhǔn)確地把握題中的要點(diǎn)，結(jié)合整體法的思路對代數(shù)問題進(jìn)行分析，找到解決問題的捷徑，進(jìn)而快速準(zhǔn)確地完成解題.

2 整體法在因式分解中的應(yīng)用

整體法在函數(shù)中的運(yùn)用還可以體現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)最重要的解題要點(diǎn)——因式分解中，因式分解在很大程度上運(yùn)用了數(shù)學(xué)的整體思想，把重點(diǎn)放在問題的整體上，多方位思考，進(jìn)行整體變形，多角度探究，最終確定解題的策略，進(jìn)而解決問題.

例2分解因式(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

題干中可以發(fā)現(xiàn)如果將每一個括號內(nèi)的代數(shù)式分別進(jìn)行相乘最后再進(jìn)行分解因式會顯得非常困難，這里我們可以進(jìn)行分組，當(dāng)(x+1)和(x+6)相乘以及(x+2)和(x+3)相乘可以得到相似的內(nèi)容，因此可以先將這兩部分進(jìn)行組合計算，得到的展開式再利用整體進(jìn)行運(yùn)算即可，具體的解題過程如下：

解：原式=(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)+x2

=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2.

設(shè)(x2+6x+6)為a，

那么原式=(a+x)(a-x)+x2

=a2-x2+x2

=a2

=(x2+6x+6)2.

通過上述問題的解決，可以發(fā)現(xiàn)因式分解的過程中應(yīng)該特別注意整體法的應(yīng)用，結(jié)合整體代入的方法，不僅可以簡化運(yùn)算，而且能夠有效地避免由繁瑣的運(yùn)算帶來的弊端.將部分算式看作整體，在實(shí)際解題中有著很大的作用.

3 整體法在解方程中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)離不開方程的運(yùn)用，解方程的題目類型多種多樣.很多解方程的問題，也會運(yùn)用到整體法，在解方程的過程中，韋達(dá)定理對于學(xué)生一定不會陌生，這種利用根的性質(zhì)所運(yùn)用的定理，同樣利用了整體法的性質(zhì)，從而使問題更加容易解決.

例3若m是方程2x2-3x-1=0的一個根，則6m2-9m+2 022的值是多少？

題目中可知m是方程的一個根，因此將m代入到方程中，一定成立，而代入后通過比較已知方程和需要求解的方程，會發(fā)現(xiàn)二者存在數(shù)量關(guān)系，然后利用整體法直接代入可以得出所求方程的值.利用整體法可以免去計算未知數(shù)的值，整體代入求出所需值，提高了準(zhǔn)確性.

解：2x2-3x-1=0

則2x2-3x=1，

將m代入可得2m2-3m=1，

原式=6m2-9m+2 022

=3×(2m2-3m)+2 022

=3+2 022

=2 025.

通過上述方程的解決，可以發(fā)現(xiàn)，合理地運(yùn)用整體法的知識可以解決很多解方程的問題.計算過程中，對問題整體化考慮，可以將問題簡潔化，有時甚至可以不計算未知數(shù)的值就可以解出所需結(jié)果.在教學(xué)過程中要注意到學(xué)生使用整體法尋找最優(yōu)解題的路徑，這可以拓寬學(xué)生的知識面，同時培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

4 整體法在分式方程組中的應(yīng)用

處理部分分式方程組時，對方程組直接進(jìn)行賦值計算會比較麻煩.這些較為復(fù)雜的方程組利用常規(guī)的計算既浪費(fèi)時間，又容易出錯.如果可以利用整體法對問題進(jìn)行簡化處理，然后再進(jìn)行計算會使問題的解決變得更加容易.

例4甲、乙二人合作完成一項(xiàng)工程需要24天；若乙先干10天后甲再加入，則需要花費(fèi)20天完成，問甲，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需要多少天？

面對這類問題，首先想到的就是列方程組進(jìn)行計算，接著進(jìn)行解方程分別計算出甲、乙完成這項(xiàng)工程需要花費(fèi)多少天即可.真正解題時會發(fā)現(xiàn)所得方程組為分式方程組，這時如果利用傳統(tǒng)解方程組的方法，并不容易求解，因此需要靈活變通，找到便捷的解題路徑，做到解題省時又省力.該題利用整體法就可以很好地解決，求解過程與分析如下：

解：首先需要假設(shè)甲、乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需要x天以及y天.

這時可以得到如下方程組

通過上述問題的解決，可以發(fā)現(xiàn)整體法在處理分式方程組的便捷之處.在實(shí)際教學(xué)工作中，教師應(yīng)滲透整體的思想方法，提高學(xué)生的解題效率.

5 整體法在幾何問題中的應(yīng)用

初中幾何問題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，解決此類問題的困難之處在于做輔助線進(jìn)行分析，但輔助線的選取對于學(xué)生來說是一個巨大的考驗(yàn)，整體法同樣適用于解決此類問題.解決初中幾何問題經(jīng)常會用到的方法就是整體補(bǔ)形法，這是整體法的一個分類.利用整體補(bǔ)形法對幾何問題進(jìn)行分析，通過補(bǔ)形還原整體圖形的原有狀態(tài)，可以有效訓(xùn)練學(xué)生的整體性思維，從而更好地對問題進(jìn)行分析處理.

例5如圖，四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，CD=1,∠ABC=120°，∠BCD=90°，求四邊形ABCD的面積.

從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，由于四邊形ABCD是一個不規(guī)則的四邊形，想要直接求出四邊形ABCD的面積是很難做到的.那么要想求出它的面積，首先就要進(jìn)行組合或者拆分，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的規(guī)則四邊形的面積.因此就需要利用整體補(bǔ)形法對其進(jìn)行補(bǔ)形，然后再進(jìn)行計算，具體解題思路和方法如下：

初中幾何問題中，利用輔助線解決問題是難點(diǎn)也是重點(diǎn).大部分題目都是缺失輔助線導(dǎo)致很難分析，間接考慮這個問題就會發(fā)現(xiàn)，添加輔助線在大多數(shù)情況下都是在利用整體補(bǔ)形法將缺失部分補(bǔ)全，從而還原本身圖形進(jìn)行分析.因此，學(xué)生掌握整體法的思維模式是解決幾何問題的重中之重.掌握好整體法的思路，會極大提高學(xué)生的空間想象能力，對于學(xué)生的解題技巧同樣會有所提高.同時，幾何問題對于學(xué)生們的智力開發(fā)也起到了非常大的積極作用，利用好整體法解決問題可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，除此之外，合理運(yùn)用整體法進(jìn)行解題也會使得不易解決的幾何問題更加清晰明了.

6 整體法在邏輯思維問題中的應(yīng)用

整體法在一些思維邏輯問題上同樣可以起到意想不到的效果.在面臨很多相對復(fù)雜的問題時，將問題步驟細(xì)化會導(dǎo)致思考量增大，解決問題相對也不容易，但利用整體法思考，拋棄中間的步驟，將問題簡化，反而會有更好的成效.

例6王師傅開店，一雙鞋進(jìn)價為30元，甩賣20元，顧客買鞋給了50元，王師傅找鄰居換了50元，事后鄰居發(fā)現(xiàn)這是假幣，王師傅又賠給鄰居50元，問王師傅虧了多少錢.

這個問題看似很簡單，但很多人都會走入誤區(qū).很多學(xué)生習(xí)慣于把這個問題分開考慮，將問題細(xì)化到每一個交易環(huán)節(jié)，反而會使頭緒出現(xiàn)問題，最后出現(xiàn)錯算，少算以及誤算的情況.將問題進(jìn)行整體分析，會發(fā)現(xiàn)在全部的交易中，導(dǎo)致王師傅虧損的只有甩賣以及收假幣兩個環(huán)節(jié)，其他部分找零錢以及換錢等環(huán)節(jié)都是平等交易，不涉及虧損，因此通過整體法分析，發(fā)現(xiàn)只存在假幣50元以及甩賣所賠10元，共計虧損60元.

通過上述問題，可以發(fā)現(xiàn)，很多思維邏輯問題都是給學(xué)生創(chuàng)造誤區(qū)，讓學(xué)生追求分析每一個步驟，反而忽略了問題的本身，做了大量無用功.而合理運(yùn)用整體法，一方面可以幫助學(xué)生將復(fù)雜的邏輯梳理清楚，另一方面可以幫助學(xué)生對問題有更深層次的理解.能否將復(fù)雜的問題簡單化處理是一個學(xué)生的邏輯思維水平的重要體現(xiàn).

7 整體法對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)思考

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，整體法可以讓學(xué)生在解答各種類型問題的過程中，對所了解的知識內(nèi)容進(jìn)行整體分析和研究，可以有效提高解題的正確率和效率[2].初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程是一個漫長的過程，它需要老師和學(xué)生的緊密配合.解決問題的方法有很多種，整體法只是研究問題的其中一個方法，但整體法的應(yīng)用，不拘泥于常規(guī)的解題思路，它可以更深層次地幫助學(xué)生建立做題的思維模式.

在對于初中數(shù)學(xué)習(xí)題的分析過程中，整體法一直都扮演著一個特殊的角色，它不僅僅是一種解題的策略，更是一種對于學(xué)生能力培養(yǎng)的有效方法.熟練運(yùn)用整體法最大的優(yōu)勢依然在于計算時間上的節(jié)省以及解題準(zhǔn)確率上的大幅提高.

對于學(xué)生亦或是教師而言，數(shù)學(xué)是一個美麗的學(xué)科，是一個有魅力的學(xué)科，它最讓人流連忘返的地方在于它的多樣性，每道題的解題方法都不單單是某一種，整體法在龐大的初中數(shù)學(xué)解題方法中，也不過是冰山一角.很多學(xué)生會把這種方法當(dāng)作投機(jī)取巧而不屑一顧，因?yàn)樗坪跖c傳統(tǒng)數(shù)學(xué)枯燥復(fù)雜燒腦的解題手段格格不入，但是整體法的靈活運(yùn)用，摒棄了那些冗長繁瑣的步驟，它如同生活中“大道至簡”的理論一樣，將問題化繁從簡，更應(yīng)該是初中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的方向.

總而言之，整體法在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一種非常重要的學(xué)習(xí)方法.在解題方面，它可以提高學(xué)生解題的效率和能力，讓學(xué)生可以在題干中找到問題的關(guān)鍵點(diǎn)，把握住總體視角，也讓學(xué)生的解題思路更加清晰明確，省時省力的同時也提高了解決復(fù)雜問題的準(zhǔn)確性.在教學(xué)方面，整體法的教學(xué)應(yīng)該更高水準(zhǔn)地應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓它不僅僅作為解題的一種手段.教師要能通過這種方法，提高學(xué)生的分析思考能力，構(gòu)造學(xué)生的空間想象力，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，靈活運(yùn)用所學(xué)到的知識，積累更多的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)一題一解.一題多解至一題優(yōu)解的轉(zhuǎn)化.