符曉燕

(江蘇省如東高級(jí)中學(xué)，江蘇南通，226400)

2022年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷有許多亮點(diǎn)題型，其中比較大小更值得我們關(guān)注.高中數(shù)學(xué)比較大小除了傳統(tǒng)意義的作差、作商、介值、特值、基本不等式、初等函數(shù)的單調(diào)性等方法外，還可以利用導(dǎo)數(shù)的切線、飄帶不等式、構(gòu)造函數(shù)、二項(xiàng)式定理、泰勒展開式等比較大小.通過研究近幾年的高考試卷，得出如下結(jié)論.

1 利用切線不等式比較大小

又y=xex-e(x≥1)單調(diào)增,所以xex-e≥0，所以h(x)≥0.

2 利用切線不等式的變形比較大小

證明：先證，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)min=f(a)=lna+1.

例4已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx-1.證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)≥0.

證明：∵a≥1，∴aex-1≥ex-1，∴f(x)≥ex-1-lnx-1.

∵x+1≤ex,∴x≤ex-1,∴ex-1-lnx-1≥x-lnx-1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).

對于指數(shù)式、對數(shù)式、分式這一類問題常利用切線不等式的一些變形、放縮能很快解決一些不等式的比較大小問題，提高效率.

3 利用飄帶不等式比較大小

( )

A.a

C.c

∴c

證明：可證得當(dāng)x>-1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)增，

由于這些函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中畫出來的圖象，像飄帶，故稱為飄帶不等式.飄帶不等式使用時(shí)要注意自變量的取值范圍，在不同的范圍內(nèi)，不等式的不等方向可能不同.

4 通過構(gòu)造函數(shù)比較大小

例7(八省聯(lián)考)已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則

( )

A.c

C.a

所以f(3)

兩種構(gòu)造方法，異曲同工，效果甚佳.

( )

A.a

C.b

當(dāng)00,∴h(x)單調(diào)遞增，

∵h(yuǎn)(0)=0,h(0.01)>h(0),∴a>c.

( )

A.e-1B.1 C.eD.e2

解析：由x>0,ax>0?a>0，

② 若ax>1，令f(x)=xlnx，f′(x)=1+lnx>0在(1,+∞)恒成立，

5 通過二項(xiàng)式定理放縮比較大小

對于一些指數(shù)式，有時(shí)可以用二項(xiàng)式展開式放縮，進(jìn)而可以比較大小.

再結(jié)合飄帶不等式比較a與c得正確答案C.

對于指數(shù)式中的指數(shù)為正整數(shù)時(shí)，可選取二項(xiàng)式定理放縮.值得注意的是盡量要多寫幾項(xiàng)，得出的值更逼近原數(shù).

6 利用泰勒展開式比較大小

這種方法適用于指數(shù)式、對數(shù)式、分式的混合式.要對泰勒展開式熟悉的情況下使用，不能對所有的學(xué)生適用.

高中階段對分式、指數(shù)式、對數(shù)式的混合型比較，在近幾年的高考試卷中頻繁出現(xiàn)，所以必須要對各種方法熟練掌握，才能自由發(fā)揮.