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        張弛皆有度 動靜總相宜
        ——圓錐曲線中的調(diào)和平均問題初探

        2022-11-16 12:24:34馮廣軍郭琳芳
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年3期
        關(guān)鍵詞:教材

        馮廣軍 郭琳芳

        (廣東省深圳科學(xué)高中 518129)

        圓錐曲線中蘊(yùn)藏著豐富的規(guī)律,如定點(diǎn)與定值問題等.這些規(guī)律大多都反映了圓錐曲線中的一種動態(tài)而和諧的平衡,正是“張弛皆有度,動靜總相宜”,比如低調(diào)而絕妙的調(diào)和平均問題.

        1 研教材,啟示多從教材來

        (人教A版教材2019版第45頁)如圖1,AB是圓的直徑,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連結(jié)AD,BD.你能利用這個圖形,得出基本不等式的幾何解釋嗎?

        圖1

        圖2 圖3

        事實(shí)上,如果作出圓的另一條切線AM,易知點(diǎn)E即為過圓心的割線AC與切點(diǎn)弦DM的交點(diǎn),一個自然的想法是:如果割線AC不過圓心,AE是否仍然是a,b的調(diào)和平均?結(jié)論是肯定的.

        圖4

        結(jié)論1 過圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)P任作圓O的一條割線,交圓O于C,D兩點(diǎn),交切點(diǎn)弦AB于點(diǎn)Q,則PQ為PD,PC的調(diào)和平均.

        2 善變通,味道盡在類比中

        圖5

        該結(jié)論在雙曲線和拋物線中仍然成立,證明略.

        結(jié)論2 過圓錐曲線E外一點(diǎn)P作E的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)P任作E的一條割線,交E于C,D兩點(diǎn),交切點(diǎn)弦AB于點(diǎn)Q,則PQ為PD,PC的調(diào)和平均.

        3 再尋覓,沿途處處有驚喜

        圖6

        對于雙曲線(交于同一支時的情形)和拋物線,可通過類似的證明過程得到這一結(jié)論,不再一一給出.

        結(jié)論3 圓錐曲線的焦點(diǎn)弦的兩個焦半徑的調(diào)和平均是其通經(jīng)的一半.(雙曲線中的焦點(diǎn)弦是指過焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于同一支的情形)

        圖7

        調(diào)和平均原本是統(tǒng)計學(xué)中的術(shù)語,是一種某一特定條件下的平均量,我們能在圓錐曲線中不斷發(fā)現(xiàn)它的存在,這為我們從多個角度去理解調(diào)和平均又打開了一扇門.或許數(shù)學(xué)的魅力也正在于此,而更多的美正等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)!

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