劉小麗，賀建檁

(1.山東省海洋環(huán)境地質(zhì)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266100；2.中國(guó)海洋大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100)

大量污染物的排海以及海上溢油事件的頻發(fā)，使得海洋環(huán)境污染問(wèn)題受到越來(lái)越多的關(guān)注。懸浮于水體中的污染物質(zhì)，在水動(dòng)力的作用下會(huì)進(jìn)入到海底的沉積物中，從而對(duì)海洋生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生進(jìn)一步影響。波浪作用下污染物質(zhì)(溶質(zhì))進(jìn)入沉積物遷移過(guò)程的研究，對(duì)于海洋環(huán)境的評(píng)估具有重要意義。

作為近岸海域中壓力梯度的來(lái)源，波浪會(huì)引起海底沉積物中孔隙水的滲流，其對(duì)溶質(zhì)輸運(yùn)的影響不容忽視[1]。對(duì)于平底海床，由于規(guī)則波的周期循環(huán)特征，一個(gè)波浪周期內(nèi)上覆海水與沉積物床之間的凈交換水量基本為0，因此，當(dāng)海水與沉積物界面上的溶質(zhì)濃度均勻分布時(shí)，規(guī)則波作用下對(duì)流作用對(duì)溶質(zhì)在沉積物中的運(yùn)移過(guò)程的貢獻(xiàn)可以忽略[2-4]。Harrison等[2]對(duì)波浪作用下溶質(zhì)進(jìn)入平海床運(yùn)移特征的理論分析表明，波浪通過(guò)促進(jìn)溶質(zhì)的機(jī)械彌散作用而加速溶質(zhì)的遷移，波浪作用下溶質(zhì)在沉積物中的有效擴(kuò)散率可比分子擴(kuò)散速率大4個(gè)數(shù)量級(jí)。Clark等[5]通過(guò)波浪水槽試驗(yàn)研究了行進(jìn)波對(duì)溶質(zhì)進(jìn)入礫石床運(yùn)移特征的影響，結(jié)果顯示，行進(jìn)波極大程度地提高了溶質(zhì)進(jìn)入底床的運(yùn)移速率和運(yùn)移深度，而進(jìn)一步的理論分析表明，行進(jìn)波主要通過(guò)增強(qiáng)機(jī)械彌散作用促進(jìn)溶質(zhì)運(yùn)移。波浪作用下上覆水體與沉積物床之間的溶質(zhì)交換過(guò)程可以通過(guò)溶質(zhì)的對(duì)流-彌散方程進(jìn)行描述。Qian等[6]基于二維溶質(zhì)對(duì)流-彌散方程，對(duì)線性行進(jìn)波和駐波作用下溶質(zhì)進(jìn)入湖床沉積物的溶質(zhì)擴(kuò)散過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬，計(jì)算結(jié)果表明，波浪作用可以使湖床沉積物對(duì)氧的吸收率提高2個(gè)數(shù)量級(jí)。Geng和Boufadel[7]利用溶質(zhì)對(duì)流-彌散方程，通過(guò)數(shù)值模擬研究了波浪和潮汐作用下淺灘含水層溶質(zhì)運(yùn)移特征，結(jié)果表明，海洋水動(dòng)力改變了溶質(zhì)運(yùn)移的路徑，波浪增加了灘面的交換通量，并拓寬了溶質(zhì)交換區(qū)域。劉小麗和劉明珠[8]基于二維Biot固結(jié)理論和對(duì)流-彌散方程，考慮了波致海底沉積物的變形效應(yīng)，對(duì)行進(jìn)波作用下海水中的溶質(zhì)進(jìn)入沉積物中的運(yùn)移過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬，計(jì)算結(jié)果表明，沉積物的變形效應(yīng)會(huì)促進(jìn)溶質(zhì)的運(yùn)移速率，增大溶質(zhì)的運(yùn)移深度。

以上研究表明，波浪對(duì)溶質(zhì)進(jìn)入沉積物的運(yùn)移過(guò)程具有明顯的促進(jìn)作用，利用溶質(zhì)的對(duì)流-彌散方程可以較好地模擬水動(dòng)力作用下溶質(zhì)的運(yùn)移過(guò)程，但目前絕大多數(shù)的研究都是基于線性波浪作用的分析。當(dāng)波浪由深水區(qū)傳至近岸淺水區(qū)域時(shí)，隨著水深的減小，波浪的非線性特征不斷增強(qiáng)，當(dāng)近岸區(qū)的相對(duì)水深(即水深與波長(zhǎng)之比)小于1/8～1/10時(shí)，線性波浪理論甚至Stokes非線性波浪理論已經(jīng)不再適用，而需要采用橢圓余弦波理論對(duì)近岸淺水區(qū)的非線性波浪特征進(jìn)行描述[9-10]。

因而，對(duì)于近岸淺水區(qū)，有必要對(duì)非線性波浪作用下溶質(zhì)進(jìn)入沉積物中的運(yùn)移特征進(jìn)行分析，以揭示波浪非線性特征對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移過(guò)程的影響。本文基于Biot多孔介質(zhì)理論和溶質(zhì)運(yùn)移的二維對(duì)流-彌散方程，建立了波浪作用下考慮沉積物變形效應(yīng)的溶質(zhì)遷移數(shù)值計(jì)算模型，通過(guò)數(shù)值模擬，對(duì)線性波，非線性二階Stokes波以及一階橢圓余弦波作用下的溶質(zhì)遷移過(guò)程進(jìn)行對(duì)比分析，以揭示波浪非線性對(duì)溶質(zhì)進(jìn)入沉積物遷移特征的影響。

1 數(shù)值計(jì)算模型

如圖1所示，為波浪作用下海床溶質(zhì)運(yùn)移計(jì)算的幾何模型示意圖，坐標(biāo)軸原點(diǎn)o位于海床面的左端點(diǎn)，x軸位于海床面，y軸以向上為正，波長(zhǎng)為L(zhǎng)，波高為H，水深為d，海床厚度h。海水-沉積物交界面處的溶質(zhì)濃度為c0=1 mg·L-1；沉積物中的初始溶質(zhì)濃度為cs0= 0。

1.1 海床表面波壓力

(1)線性波

海床表面波壓力方程為

(1)

ω2=gktanh(λd)。

(2)

(2)二階Stokes波

二階Stokes非線性波在海床表面波壓力方程式為[12]：

Pb(x)=P0(C11cos(λx-ωt)+C02+C20cos2(λx-ωt)+C22cos2(λx-ωt))。

(3)

式中：

(3)一階橢圓余弦波

一階橢圓余弦波在海床表面的波壓力解析式為[13]：

(4)

1.2 滲流場(chǎng)控制方程

基于Biot彈性多孔介質(zhì)固結(jié)理論[14]，考慮沉積物的變形與孔隙水滲流的耦合效應(yīng)，控制方程如下：

(5)

(6)

(7)

(8)

β為孔隙流體壓縮系數(shù)，表達(dá)式為[15]:

(9)

式中：Kw為孔隙水體積壓縮模量，數(shù)值為2×109Pa；Sr為飽和度；pw0表示絕對(duì)孔隙水壓力。

由達(dá)西定律，孔隙水在水平和豎向的實(shí)際滲流速度u、v分別為：

(10)

1.3 溶質(zhì)運(yùn)移方程

依據(jù)質(zhì)量守恒定律，多孔介質(zhì)中溶質(zhì)二維對(duì)流-彌散方程為[16]：

(11)

(12)

(13)

(14)

1.4 邊界條件與初始值

結(jié)合圖1所示的幾何模型示意圖，數(shù)值模型的邊界條件如下。

在海床表面y=0位置，土體的剪切力和有效正應(yīng)力均為零；海床面的孔隙水壓力為波浪在海床表面的波壓力Pb(x)，根據(jù)需要可分別為線性波、二階Stokes波和一階橢圓余弦波的波壓力，從而可以對(duì)不同類型波浪場(chǎng)作用下的海床滲流場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算；溶質(zhì)在海床面上的濃度c(x,0,t)=c0=1 mg·L-1。

在海床底部y=-h處，為不透水邊界，土體位移為0，即：

在海床兩側(cè)x=0和x=L處，為周期性邊界，即：

p|x=0=p|x=L,wx|x=0=wx|x=L，

wy|x=0=wy|x=Lc|x=0=c|x=L。

此外，由于砂土海床的滲透系數(shù)較小，沉積物中的滲流符合達(dá)西定律，其對(duì)波浪場(chǎng)的影響較小[18]，故不考慮多孔介質(zhì)海床對(duì)波浪場(chǎng)的影響。

2 數(shù)值模型驗(yàn)證

2.1 非線性波浪計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

通過(guò)與波浪試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證本文非線性波計(jì)算結(jié)果的正確性。首先對(duì)非線性Stokes波的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，如圖2(a)中所示，為解析解計(jì)算的海床面波壓力與Qi等[19]波浪水槽試驗(yàn)測(cè)試的海床表面波壓力對(duì)比圖，相應(yīng)的波浪參數(shù)為H=0.095 m，T=1.2 s，d=0.5 m，由圖可知，Stokes非線性波的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本文Stokes波計(jì)算結(jié)果的正確性。其次，對(duì)一階橢圓余弦波的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，如圖2(b)中所示，為一階橢圓余弦波理論計(jì)算得到的波浪自由面高程與Chang等[20]試驗(yàn)記錄的橢圓余弦波自由面數(shù)據(jù)對(duì)比圖，其中波浪周期T=2.0 s，相對(duì)波高H/d=0.15，水深d=24 cm，波長(zhǎng)L=2.97 m；圖中試驗(yàn)數(shù)據(jù)為距離造波板4.8 m位置處測(cè)量的橢圓余弦波的自由面高程，可以看出本文解析解計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果一致性較好。綜上可知，本文基于非線性波浪理論計(jì)算得到的結(jié)果正確，能夠反映波浪的非線性特征。

2.2 滲流計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

Hsu和Jeng[15]基于Biot固結(jié)理論，考慮了海床土體的變形效應(yīng)，推導(dǎo)了波浪作用下海床瞬態(tài)響應(yīng)的解析解。將本文數(shù)值計(jì)算結(jié)果與該解析解進(jìn)行對(duì)比?；緟?shù)為：波高H=5 m，波長(zhǎng)L=121.19 m，水深d=20 m，周期T=10 s，孔隙率n=0.333，泊松比μ=0.35，剪切模量G=5×106Pa，海床厚度h=25 m。對(duì)比結(jié)果如圖3所示，圖3(a)為不同滲透系數(shù)下孔壓響應(yīng)對(duì)比；圖3(b)為不同剪切模量下孔壓響應(yīng)對(duì)比。從圖3中對(duì)比結(jié)果可以看出，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析解一致性較好，表明當(dāng)前模型能夠較準(zhǔn)確地模擬波致海床的滲流場(chǎng)。

2.3 溶質(zhì)運(yùn)移計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

Packman等[21]基于礫石底床，通過(guò)水槽試驗(yàn)探究了不同水力條件下上覆水體中的溶質(zhì)進(jìn)入礫石床的情況，得出了上覆水體中溶質(zhì)濃度隨時(shí)間的變化曲線。將本文數(shù)值模型計(jì)算的溶質(zhì)運(yùn)移結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。分別選取試驗(yàn)工況7和工況9的結(jié)果進(jìn)行比較，計(jì)算參數(shù)為：孔隙率n=0.38，平均顆粒粒徑dg=0.6 cm，滲透系數(shù)k=0.15 m·s-1，沉積物厚度為0.19 m，工況7中水深d=20.4 cm，波長(zhǎng)L=32 cm，波高H=2 cm；工況9中水深d=20.4 cm，波長(zhǎng)L=32 cm，波高H=3.76 cm。對(duì)比結(jié)果如圖4所示，可以看出，數(shù)值模型的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果較為一致，表明了本模型用于溶質(zhì)運(yùn)移計(jì)算結(jié)果的可靠性。

3 結(jié)果分析與討論

隨著波浪向岸傳播，水深逐漸變淺，波浪非線性特征逐漸增強(qiáng)。當(dāng)波浪Ursell數(shù)(其計(jì)算表達(dá)式為HL2/d3)大于40時(shí)[22]，橢圓余弦波理論能更有效地表達(dá)淺水非線性波浪的特征。為了更好地分析波浪非線性對(duì)海底沉積物中溶質(zhì)運(yùn)移特征的影響，同時(shí)對(duì)線性波浪、二階Stokes波和一階橢圓余弦波作用下溶質(zhì)進(jìn)入沉積物的過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，具體計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1。波浪的Ursell數(shù)為43，屬于典型的淺水非線性波浪。

3.1 波浪非線性對(duì)滲流場(chǎng)特征的影響

溶質(zhì)運(yùn)移特征主要取決于滲流場(chǎng)特征，因此，首先對(duì)不同類型波浪作用下沉積物中的滲流場(chǎng)特征進(jìn)行分析。

如圖5所示，為3種波浪理論下海床表面的波壓力分布圖，從中可以看出，線性波在波峰和波谷處的波壓力絕對(duì)值相等，相對(duì)于靜水位面對(duì)稱；非線性波的波峰和波谷相對(duì)于靜水位面呈現(xiàn)明顯的非對(duì)稱性，波峰處波壓力增加，波谷位置的波壓力降低。一階橢圓余弦波的非線性特征相對(duì)于二階Stokes波更加明顯，一階橢圓余弦波和二階Stokes波在波峰處的波壓力分別為線性波波壓力的165%和120%，而在波谷位置二者的波壓力基本一致，均為線性波波壓力的80%。

表1 基本計(jì)算參數(shù)Table 1 Parameters for the base case

如圖6所示為線性波作用下一個(gè)周期內(nèi)不同時(shí)刻的孔隙水流速矢量圖和等值面圖。由于海床面不同位置存在水頭差(壓力差)，因此在海床內(nèi)部會(huì)發(fā)生滲流，如圖6中所示，波峰處發(fā)生向下的滲流，波谷處發(fā)生向上的滲流；對(duì)于同一位置，其滲流流速的數(shù)值和方向隨著波壓力的變化呈現(xiàn)出周期性變化。以海床表面任意點(diǎn)處的滲流為例，如圖7中所示，豎向和水平向的滲流流速均隨時(shí)間呈現(xiàn)出周期性變化，受波浪非線性的影響，一階橢圓余弦波作用下波峰處的豎向滲流流速與波節(jié)點(diǎn)附近的水平向滲流流速均顯著大于線性波和二階Stokes波；總體而言，線性波和二階Stokes波的流速數(shù)值相差較小。對(duì)3種波浪作用下沉積物和上覆海水之間的水量交換進(jìn)行分析可知，無(wú)論是哪種波浪，一個(gè)周期內(nèi)流入和流出沉積物的水量基本相同，即沉積物和上覆海水之間水的凈交換量為0，因此，正如Harrison等[2]所述，在周期性循環(huán)波浪荷載作用下，對(duì)流作用對(duì)溶質(zhì)質(zhì)量運(yùn)移的貢獻(xiàn)基本可以忽略，波浪主要通過(guò)機(jī)械彌散作用促進(jìn)溶質(zhì)在沉積物中的運(yùn)移。

3.2 波浪非線性對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移特征的影響

一階橢圓余弦波作用下周期平均縱向水動(dòng)力彌散系數(shù)的增大，促進(jìn)了溶質(zhì)在沉積物中的運(yùn)移。如圖11中所示，在同一深度，一階橢圓余弦波作用下的溶質(zhì)濃度大于線性波作用下的溶質(zhì)濃度，表明一定條件下的淺水非線性波可以促進(jìn)溶質(zhì)在沉積物中的運(yùn)移。進(jìn)入沉積物中的溶質(zhì)質(zhì)量隨波浪作用時(shí)間的變化如圖12中所示，從中可以更為清楚地看出，一階橢圓余弦波作用下進(jìn)入沉積物中的溶質(zhì)質(zhì)量明顯大于線性波，3 000個(gè)波浪周期作用后，質(zhì)量增加量可達(dá)線性波的7.2%。另外，從圖11和12均可以看出，二階Stokes波作用下溶質(zhì)濃度的分布以及進(jìn)入沉積物中的溶質(zhì)質(zhì)量均與線性波作用下的結(jié)果一致，表明二階Stokes波的非線性效應(yīng)對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移過(guò)程的影響很小，基本可以忽略。上述模擬結(jié)果的分析表明，一階橢圓余弦波非線性特征較強(qiáng)，能顯著促進(jìn)溶質(zhì)在海底沉積物中的運(yùn)移；相比之下，二階Stokes波的非線性特征相對(duì)較弱，其對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移過(guò)程的影響相對(duì)小。

3.3 波浪參數(shù)影響分析

3.3.1 波高的影響 根據(jù)前述內(nèi)容可知，可以通過(guò)分析不同波浪參數(shù)對(duì)孔隙水滲流流速和溶質(zhì)縱向水動(dòng)力彌散系數(shù)的影響規(guī)律，來(lái)反映其對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移的影響規(guī)律。Ursell數(shù)的大小表征了波浪非線性特征的強(qiáng)弱[13]，因此，基于Ursell數(shù)的變化來(lái)分析波浪非線性特征強(qiáng)弱的變化。

對(duì)一階橢圓余弦波和線性波作用下波高對(duì)孔隙水豎向滲流流速和水動(dòng)力彌散系數(shù)的影響進(jìn)行對(duì)比，結(jié)合波浪的非線性特征，以分析不同波浪理論下波高對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移過(guò)程的影響。波高H的取值分別為2、2.5和3 m，其余參數(shù)見(jiàn)表1中所示。

4 結(jié)論

以二階Stokes波和一階橢圓余弦波為例，通過(guò)與線性波作用下沉積物中孔隙水滲流場(chǎng)和溶質(zhì)濃度場(chǎng)計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，分析了波浪非線性對(duì)非反應(yīng)性溶質(zhì)從上覆海水進(jìn)入沉積物中運(yùn)移特征的影響，主要得到以下結(jié)論。

(1) 在周期性循環(huán)波浪荷載作用下，沉積物中的滲流場(chǎng)呈現(xiàn)出周期性循環(huán)特征，對(duì)于平底海床，波浪主要通過(guò)機(jī)械彌散作用促進(jìn)溶質(zhì)沿沉積物深度方向的遷移，一個(gè)波浪周期內(nèi)的平均縱向水動(dòng)力彌散系數(shù)可以用來(lái)表征溶質(zhì)運(yùn)移速率。

(2) 二階Stokes波的非線性特征對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移的影響基本可以忽略；一階橢圓余弦波的非線性特征顯著，能在一定程度上促進(jìn)溶質(zhì)在沉積物中的運(yùn)移，與線性波相比，其周期平均縱向水動(dòng)力彌散系數(shù)的增加量可達(dá)28%。

(3) 線性波和一階橢圓余弦波作用下，波浪參數(shù)對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移速率的影響不盡相同。隨著波高增大，兩種波浪作用下溶質(zhì)運(yùn)移速率均有所增加；隨著水深的增大，線性波作用下溶質(zhì)運(yùn)移速率降低，而一階橢圓余弦波作用下溶質(zhì)運(yùn)移速率增加；隨著周期的增大，線性波作用下溶質(zhì)運(yùn)移速率增加，而一階橢圓余弦波作用下溶質(zhì)運(yùn)移速率降低。

(4) 一階橢圓余弦波的非線性特征隨著水深的減小、波高和周期的增大而增強(qiáng)；與線性波相比，一階橢圓余弦波的非線性特征對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移速率的促進(jìn)程度隨著水深的減小、波高和周期的增大而降低。