穆聰敏，張玲梅

（1.太原師范學院教育學院，山西 晉中 030619；2.太原師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，山西 晉中 030619）

在數(shù)學的實際學習過程中，把數(shù)學的基礎知識和基本方法進行抽象后，就可以得到數(shù)學思想，這就是化歸思想?；瘹w思想在數(shù)學中有著廣泛的應用，它的本質(zhì)是揭示待解決問題和已有經(jīng)驗之間的聯(lián)系，把我們未知的、不熟悉的問題通過一系列技巧進行轉(zhuǎn)化，一步一步地與我們已知的、熟悉的問題建立本質(zhì)的聯(lián)系，再通過解決后者的問題，達到解答前者的目的。除了掌握基本的數(shù)學知識外，學生還需要有利用知識解決問題的邏輯，也就是我們所說的數(shù)學思想。學會化歸思想，不僅能為其他思想方法的學習奠定基礎，還有利于提高解決問題的能力，降低解題難度，加快解題速度，從而增強學生的自信。最重要的是能逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，這正是學生觀察和發(fā)現(xiàn)世界的眼睛，學生將會受益終身。

一、化歸思想的體現(xiàn)

化歸思想不僅在數(shù)學知識點中有所體現(xiàn)，也在數(shù)學解題方法實踐中有所體現(xiàn)，主要分析了在數(shù)學知識點以及解題思想中涉及的化歸思想。

（一）化歸思想在方程求解中的體現(xiàn)

學生在學習了一元一次方程的基礎上接觸了一元一次方程組和二元一次方程，在解決新接觸的問題時，直接求解往往是難以實現(xiàn)的。因此，我們希望把問題朝著已學會的、已有相關經(jīng)驗的知識方向去轉(zhuǎn)化，在處理方程問題時，我們往往使用消元和降次的方法。“元”，指的是未知數(shù)，如：二元，就是指方程中含有兩個未知數(shù)?！按巍?，指的是變量的次冪，如：二次，就是指方程中未知量次冪的最大值為2。通過消元和降次，要么使原方程變成只含一個未知量的方程，要么使原方程未知量的次數(shù)都變成一次，去掉平方項。從本質(zhì)上來講，消元和降次都是把復雜的、不易直接求解的方程轉(zhuǎn)化成簡單的、便于計算的方程，在此過程中就體現(xiàn)了化歸思想。例如，方程次數(shù)較高的四次方程x4-5x2+4=0，用直接的方法無法求解，但是令x2=y 之后就可以實現(xiàn)降冪成為y2-5y+4=0，這樣用一元二次方程的解法就可以解出結(jié)果。

（二）化歸思想在式的運算中的體現(xiàn)

提起“式”，首先要說“數(shù)”，小學階段學生已經(jīng)熟練掌握數(shù)的四則運算，初中時，運算涉及倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值等，而這些是學生新學習的，尚未完全納入知識框架中的，此時就會給運算帶來一定的困難。若把新獲取的知識看作一個小整體，先處理小整體，再處理大整體，便會簡化運算。簡言之，初中階段有理數(shù)的混合運算實際上是小學階段簡單運算的深化。再說“式”，“式”包括整式、分式以及根式。中學數(shù)學中，“式”處于基礎但很重要的地位，尤其是數(shù)與式的運算，數(shù)學不只是運算，但運算在中學數(shù)學中卻占據(jù)著相當重要的地位。六大核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算素養(yǎng)，就是其重要性的最好體現(xiàn)。以整式為例，整式指的是數(shù)與字母的乘積，在進行運算時，都是將字母相同的項歸為一類，并將其系數(shù)進行運算，“式”的運算實際上就是合并同類項的過程。無論是整式還是分式，或者是根式，都可以將其視為一個整體、視為數(shù)，在運算時，遵循數(shù)的運算法則即可。例如化簡（7x3y2+3x2y3）-（5x3y2-6x2y3），將“式”看成數(shù)，根據(jù)四則運算的相關經(jīng)驗，從而達到簡潔運算、融會貫通的效果。數(shù)和式的運算過程，本身就體現(xiàn)了化歸思想。

（三）化歸思想在函數(shù)求解中的體現(xiàn)

在數(shù)學函數(shù)常見問題中的基本型化歸，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)等，這些函數(shù)往往有統(tǒng)一的標準形式，解決問題時往往也有萬能公式。一般是通過換元法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法及導數(shù)法等基本方法，將我們原始的函數(shù)通過一系列變形，逐步轉(zhuǎn)化為我們熟悉的基本型，從而利用之前的公式進行計算和解決。例如求三角函數(shù)的對稱軸，可以通過令化為基本型y=sinz，當然可以通過圖象進行求解，如下圖1 所示。

（四）化歸思想在解題方法中的體現(xiàn)

數(shù)形結(jié)合法是研究幾何與代數(shù)問題的常用方法，它可以看作幾何問題與代數(shù)問題之間的相互轉(zhuǎn)化；數(shù)學模型法將實際問題通過建立模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從而便于解決問題；向量法就是把幾何問題轉(zhuǎn)化成為向量問題，再利用向量的定理和性質(zhì)去解決；換元法將結(jié)構(gòu)實際簡單卻難以觀察出結(jié)構(gòu)的方程、不等式、代數(shù)式等問題，通過換元轉(zhuǎn)為結(jié)構(gòu)清晰、易于解決的問題。這些方法都體現(xiàn)了化歸思想，在實際解題過程中可以大大提高解題數(shù)形結(jié)合法速度。例如求解分段函數(shù)的定積分，通過畫出如圖2 的函數(shù)圖之后可以看出此定積分的意義為兩部分的面積之和，則可以得到

二、化歸思想的類型

針對新問題進行轉(zhuǎn)化，并不是無厘頭盲目地進行，它一般是有跡可循的，往往有不同的轉(zhuǎn)化方法與思路，化歸思想主要分為如下三種類型。

（一）一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化

在數(shù)學考試題中，選擇題或填空題部分往往有些可以使用特殊值法，不需要將完整的步驟列出，只需取幾個特殊的點進行驗證，便可得到答案，大大縮短了解題時間。在題目沒有列出具體的表達式，只說明了通用的條件時，我們就可以把一般的條件具體化，通過取熟悉、簡單但符合一般條件的特殊值（特殊點、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)等），以達到簡化運算，提高準確率的目的。將一般問題特殊化及將特殊問題一般化是化歸思想進行轉(zhuǎn)化的常用手段。例如在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中，若a5a6=9，則對于表達式log3a1+log3a2+…+log3a10的求值，由題意等比數(shù)列中的等式可知a2=9，代入特殊值后可以求得其值為10。

（二）數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化

當我們看到代數(shù)式a2，會想到面積；看到a3，會聯(lián)想到體積；看到a2+b2，會與勾股定理聯(lián)系起來。在解決代數(shù)問題時，直接入手，難度有時會很大，且出錯率很高，這時需分析方程、求解的問題能否轉(zhuǎn)化為圖形語言，從而簡化思路，方便求解。例如實數(shù)x 和y 是滿足條件二元二次方程4x2-y2-3xy=1，要求兩個未知量的平方和x2+y2的最小值。直接從代數(shù)的角度去解決工作量會很大，這時需要引入變量m，將4x2-y2-3xy=1 分解因式（x-y）（4x+y）=1，再令 x-y=m，分別解出，將這兩個表達式代入x2+y2中，運用不等式性質(zhì)a2+b2≥2ab 代入式中解得。若能分析出該二元二次方程實際上是圓的方程展開化簡后的式子，未知量的平方和實際就是圓上的點到坐標原點的距離的平方的話，則通過畫圖能直觀看出圓的位置及動點到原點距離大小的關系，如圖3所示，從而簡化思維、簡化運算，提高做題速度。數(shù)與形之間的結(jié)合與轉(zhuǎn)化是化歸思想的一個重要方面。

（三）主次轉(zhuǎn)化

一般解含參數(shù)的不等式時，我們往往將x 看作自變量，將其他未知量看作參數(shù)。若已知參數(shù)范圍，求讓不等式恒成立的自變量的范圍時，正面求解一般是難以入手的，即便是分類討論也會存在很多問題，計算上也會有較大難度。此時我們可以將主與次進行轉(zhuǎn)化，將已知范圍的量看作自變量，可能是m 或者t，將需求解的未知量看作參數(shù)，往往是用x 進行表示的，這里需要對自變量有更深的認識，跳出字母的限制，大膽嘗試轉(zhuǎn)化。例如已知參數(shù) t＞1，求不等式 x2-（t+1）x+t＞0 恒成立的 x的范圍，此時再進行（x-t）（x-1）＞0 這樣的轉(zhuǎn)化后，會大大減少原來不等式的運算量，即便還需要分類討論，難度也會小很多，從而達到解決問題的目的。把不規(guī)范、復雜的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范的、簡單的問題，正是化歸思想的基本思路。

三、化歸思想的原則

我們利用化歸思想解決問題時，形成一套固定的流程和操作性很強的步驟往往難以實現(xiàn)，因此，為了更好地把握化歸的方向，我們必須遵守其自身的三個基本原則。

（一）簡單化原則

簡單化原則是指把原來困難問題的結(jié)構(gòu)通過某種方法或手段，向容易解決的方向去發(fā)展。我們的目標仍然是解決之前的問題，化歸成新的問題只是我們解決過程中的橋梁，若發(fā)現(xiàn)化歸之后問題更加抽象、更加復雜，則應該反思化歸方向是否出現(xiàn)問題，要及時止損，從別的切入點入手，重新尋找問題解決的思路。例如解決立體幾何問題的一個重要策略就是將空間問題平面化，將三維問題降為二維問題后再解決。例如二元二次方程的求解，可以將y=1-x 代入x2-2xy-3y2=5 當中可以求出解x=2，y=-1。當然，如果要用數(shù)形結(jié)合的方法去解這道題目就比較復雜了，因為需要用到matlab 編程求解，畫出如圖4 的圖形求交點。

具體的matlab 程序如下：

此時通過程序運算可以求出交點坐標為（2，-1），和代數(shù)方法解出的結(jié)果一樣，但這已經(jīng)超出了中學數(shù)學的學習范圍，因此，化歸思路若出現(xiàn)問題，要從其他切入點入手轉(zhuǎn)化思路。

（二）具體化原則

具體化原則是指將抽象的題目或數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為直觀、具體的表現(xiàn)形式，從而使題目中抽象度高的、不易察覺的關系變得具體而明確，便于解決問題。例如在函數(shù)部分常常使用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，這就是用圖象或圖形把抽象的式直觀地表示出來。例如求橢圓x2+4y2=5 和拋物線x2+y=1 的交點，在用代數(shù)的方法和畫圖方法結(jié)合求出對稱交點如圖5，使運算速度和準確率大大提升。

（三）形式標準化原則

形式標準化原則指的是中學大多數(shù)知識都是關于標準形式的討論，因此把待解決的問題轉(zhuǎn)化成標準形式后再去計算，會較為容易。如在函數(shù)部分，解決問題時往往要轉(zhuǎn)化成標準形式，再利用通式通法進行解決。再如在圓錐曲線部分，橢圓、雙曲線及拋物線等的圖象、性質(zhì)等都是針對標準方程進行研究的。因此，在我們遇到非標準型問題時，首先要考慮通過某種手段或方法，是否能將待解決的問題轉(zhuǎn)化為已知的標準型的形式，從而借助相關結(jié)論或定理去解決問題。例如討論表示何種圓錐曲線，在分析題目時若為橢圓則具有標準形式，若為雙曲線則具有標準形式，因此在分情況討論時轉(zhuǎn)化成對應的標準型即可求出。

四、結(jié)語

本文通過具體實例分析了化歸思想在數(shù)學中的應用，我們要充分認識到化歸思想的重要性和簡潔性，提高對該思想的重視程度，但同時也要客觀地認識它的局限性。當化歸思維成為一種習慣并總結(jié)出固定的化歸步驟后，往往會阻礙學生嘗試用新方法解決問題，在一定程度上不利于學生創(chuàng)新思維的發(fā)展。因此，在培養(yǎng)學生化歸意識的同時，要重視其他數(shù)學思想的訓練，保持學生其他的數(shù)學思維和意識齊頭并進，將各種思想方法靈活地結(jié)合在一起高效利用。