200333 上海華東師范大學(xué)附屬進(jìn)華中學(xué) 孫曉麗

1 選題背景

“一次方程組的應(yīng)用”是滬教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)第六章第四節(jié)的內(nèi)容.在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一次方程組的解法以及用一元一次方程解決實(shí)際應(yīng)用問題，這為過渡到本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容起到鋪墊作用.本節(jié)內(nèi)容是一次方程組的應(yīng)用，初步向?qū)W生滲透化“未知”為“已知”和化“復(fù)雜問題”為“簡(jiǎn)單問題”的化歸思想，要求學(xué)生會(huì)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一次方程(組)并求解.因此，在本節(jié)課教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分析題意，找出題目中的等量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型(方程組)是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，這也為之后的實(shí)踐與探索做好準(zhǔn)備.

本學(xué)期預(yù)備年級(jí)開展了勞動(dòng)教育課程，課程中學(xué)生參與植物種植與收割，學(xué)習(xí)生態(tài)循環(huán)相關(guān)知識(shí).筆者結(jié)合這些課程內(nèi)容，以學(xué)生親手采摘的果蔬以及所用物品等為素材，編寫能用一次方程(組)解決的實(shí)際應(yīng)用問題.幾道例題難度遞增，并結(jié)合題目加入德育教學(xué)環(huán)節(jié)，同時(shí)注重計(jì)算能力的培養(yǎng)，以小組討論形式提高合作解決問題能力.與此同時(shí)，讓學(xué)生在已知數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上填充實(shí)際背景，編寫實(shí)際應(yīng)用問題，從而建立完整的體系，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活.

數(shù)學(xué)學(xué)科在解決實(shí)際問題方面體現(xiàn)著重要的作用，數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的重要組成部分.數(shù)學(xué)學(xué)科德育的提倡能夠融入日常的一道題，平常的一節(jié)課中，體現(xiàn)在平常教研以及課堂教學(xué)的一言一行中[1].數(shù)學(xué)課程中的德育元素包含兩個(gè)方面，其一是數(shù)學(xué)課程本身固有的內(nèi)在德育元素，其二是指能夠激活、弘揚(yáng)德育元素的教學(xué)情境[2].在之前學(xué)習(xí)列一元一次方程解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)會(huì)借助題目條件找到已知量和未知量之間的等量關(guān)系，列出方程，從而解決實(shí)際問題.但是在解決較為復(fù)雜的實(shí)際問題時(shí)，條件增多就會(huì)引起已知量和未知量之間關(guān)系的“張冠李戴”.所以在一次方程組建立過程中逐層遞進(jìn)，讓學(xué)生借助與自己息息相關(guān)的生活實(shí)際逐步確定正確的等量關(guān)系，從而建立方程組解決實(shí)際問題.這也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，寓于現(xiàn)實(shí)，又用于現(xiàn)實(shí).數(shù)學(xué)有用，主要體現(xiàn)在三個(gè)方面，一是數(shù)學(xué)在解決生活實(shí)際問題方面的作用，二是數(shù)學(xué)在其自身發(fā)生發(fā)展過程中的作用，三是數(shù)學(xué)在培育理性精神方面的作用[3].讓學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科德育的基點(diǎn)，如果學(xué)生只是奉命學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，為功利學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，甚至討厭數(shù)學(xué)，那就談不上是數(shù)學(xué)學(xué)科德育了[4].本節(jié)課在勞動(dòng)課程背景下，讓學(xué)生通過與自己相關(guān)的內(nèi)容學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，有效增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

2 教學(xué)目標(biāo)的制定

“方程”是東漢初年編定、現(xiàn)有最古老的中國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中的一章.這一章中的“方程”是指一次方程組.數(shù)學(xué)家劉徽注釋《九章算術(shù)》時(shí)說：“程，課程也.二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程.”這里所謂“如物數(shù)程之”，是指有幾個(gè)未知數(shù)就必須列出幾個(gè)等式.一次方程組各未知數(shù)的系數(shù)用算籌表示時(shí)好比方陣，所以叫做方程.

對(duì)數(shù)學(xué)家劉徽的注釋，學(xué)生最大的受益就是列方程組解決實(shí)際問題時(shí)，要求設(shè)出的未知數(shù)個(gè)數(shù)與所列方程個(gè)數(shù)一致，學(xué)生進(jìn)一步明確目標(biāo).這節(jié)課所涉及的是解決生活實(shí)際問題，用與學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的課程的素材編寫實(shí)際問題，利用一次方程(組)解決.接下來，再結(jié)合已知方程組編寫符合實(shí)際的應(yīng)用問題，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值.因此制定以下教學(xué)目標(biāo).

(1)經(jīng)歷用一次方程組解與實(shí)際學(xué)習(xí)有關(guān)的應(yīng)用題的過程，體驗(yàn)方程組是解決實(shí)際問題的有力工具.

(2)能利用一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，并能初步學(xué)會(huì)運(yùn)用列表法正確分析出已知量與未知量之間的關(guān)系.

(3)能結(jié)合所學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)問題情境，編出符合實(shí)際的應(yīng)用題.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

3.1 主題引入

本學(xué)期開始，預(yù)備年級(jí)開設(shè)了勞動(dòng)教育課程.在和學(xué)生一起上課的過程中，筆者感受到預(yù)備年級(jí)學(xué)段學(xué)生對(duì)能親身體驗(yàn)的事物更感興趣，從而思考是否可以結(jié)合勞動(dòng)課程上一節(jié)數(shù)學(xué)課.數(shù)學(xué)在生活中應(yīng)用廣泛，最為直接的應(yīng)用一定包括生活中的應(yīng)用題，從而結(jié)合課程中學(xué)生采摘的菜和課程所用的必備品編寫與面積、銷售等知識(shí)有關(guān)的應(yīng)用題，提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)積極性，并將數(shù)學(xué)理論知識(shí)與生活實(shí)踐完美結(jié)合，設(shè)計(jì)本節(jié)課程.

課堂開始，分享勞動(dòng)課上學(xué)生栽種、澆水、采摘以及洗、切蔬菜過程的實(shí)錄視頻，開始本節(jié)課的學(xué)習(xí).

設(shè)計(jì)意圖：勞動(dòng)教育課上的視頻貼近學(xué)生學(xué)習(xí)生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

3.2 難度逐層遞進(jìn)，開始新授課

例1學(xué)校在袖珍農(nóng)藝園中一塊面積為20平方米的區(qū)域種了蠶豆，帶莢蠶豆可以剝六成豆子，如果這塊地共剝得3.6千克豆，用一元一次方程求這塊地平均每平方米摘得多少千克帶莢蠶豆.

問題1(1)找出題中表達(dá)等量關(guān)系的語句.(2)說明解題過程.

設(shè)計(jì)意圖：預(yù)備四班(筆者教學(xué)的班級(jí))在上一周勞動(dòng)課上剛剛采摘了成熟的蠶豆，以學(xué)生親手收獲的蠶豆為素材，學(xué)生更愿意積極思考.

問題2請(qǐng)大家一起回顧列一次方程解應(yīng)用題的一般步驟.

設(shè)計(jì)意圖：借此題回顧之前所學(xué)習(xí)的一元一次方程解決應(yīng)用問題的方法和步驟.

問題3請(qǐng)大家思考，用一次方程組解應(yīng)用問題的步驟應(yīng)該是什么呢？

在基本步驟中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)審題的重要性，在不同的題目中尋找合適的未知數(shù)的重要性，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)的重要性，不僅要檢查所求結(jié)果是不是所列方程(組)的解，還要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義.

設(shè)計(jì)意圖：熟悉列方程解應(yīng)用題的一般步驟與方法.審題的目的是讓學(xué)生明確題目的題型，滲透歸類思想，歸類已知和未知.而尋找題目中的等量關(guān)系是建立正確方程的基礎(chǔ)，讓學(xué)生明確分析問題在前，解決問題在后.在此基礎(chǔ)上，思考用一次方程組解決實(shí)際問題的基本步驟，并用來解決問題.

例2健康飲食要求每天應(yīng)至少攝入熱量1200大卡，脂肪45克.

如表1，某餐小明從牛肉和油麥菜兩種食物共攝入熱量364大卡，脂肪24.92克，請(qǐng)用二元一次方程組求出他各吃了這兩種食物多少克.

表1

分析過程中教會(huì)學(xué)生讀表格，注意表格中數(shù)據(jù)是每100克蔬菜含量，所以在此再次強(qiáng)調(diào)審題的重要性.分析過程中教會(huì)學(xué)生在表格中提煉有用信息，并且學(xué)習(xí)用表格尋找已知量與未知量之間的關(guān)系.

問題1這道題應(yīng)設(shè)哪些量為未知數(shù)？如何建立等量關(guān)系列方程？

問題2這道題可以列一元一次方程求解嗎？

問題3這兩種方法各自有什么優(yōu)勢(shì)？

在問題1中，通過分析本餐小明攝入的熱量和脂肪分別來自牛肉和油麥菜，提醒學(xué)生在表格中篩選有用信息并注意審題，從而建立等量關(guān)系列方程組.

設(shè)計(jì)意圖：在勞動(dòng)課上，學(xué)生親手收割了成熟的生菜和油麥菜，并由學(xué)生代表到食堂摘菜、切菜，中午學(xué)生在食堂品嘗做好的菜.在這個(gè)活動(dòng)中，每位學(xué)生的親身體驗(yàn)幫助他們結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題.在解決這個(gè)問題的過程中，學(xué)生有以下感受.

(1)第一種方法(列二元一次方程組解決)中，找等量關(guān)系列方程組較為簡(jiǎn)單，第二種方法(列一元一次方程解決)中，解答較為簡(jiǎn)單，但列方程比較難.通過問題2和問題3，體會(huì)一次方程組在求解實(shí)際問題中的重要性.

(2)通過本題題目信息，體現(xiàn)學(xué)科德育，引導(dǎo)學(xué)生了解任一餐中只吃葷或素都不能滿足身體正常所需，所以不能挑食，每餐還要保質(zhì)保量，保證身體健康.

(3)學(xué)生可以將數(shù)學(xué)知識(shí)和生活實(shí)際相結(jié)合，感受數(shù)學(xué)在生活中的意義，以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和價(jià)值.

例3(借助學(xué)生勞動(dòng)課上穿戴的勞動(dòng)用品實(shí)物和照片引出本題) 學(xué)校為預(yù)備年級(jí)學(xué)生定制帽子和圍裙各290個(gè)，手套和袖套(易掉)各300副.如果圍裙的單價(jià)比一副手套高1元，一副手套單價(jià)和一副袖套單價(jià)的和是6.5元.帽子總價(jià)1944元，一共花費(fèi)4909元.請(qǐng)用三元一次方程組求出圍裙、一副手套和一副袖套的單價(jià)各為多少元.

問題1這道題應(yīng)設(shè)哪些量為未知數(shù)?如何建立等量關(guān)系列方程組？

問題2這道題能用二元一次方程組求解嗎？

問題3這道題能用一元一次方程求解嗎？

問題4這三種方法各自有什么優(yōu)勢(shì)？

設(shè)計(jì)意圖：這道題可以用三元一次方程組、二元一次方程組或者一元一次方程解決.通過學(xué)生思考，感受用一次方程組求解更容易，一元一次方程列起來難，解起來容易.這道題仍與學(xué)生的勞動(dòng)課程相關(guān)，且計(jì)算量稍大，是區(qū)分不同解法各自優(yōu)勢(shì)的實(shí)例.通過類比三種方法，學(xué)生體會(huì)設(shè)置不同個(gè)數(shù)的未知數(shù)在解決問題過程中的差異，感受一次方程組在求解實(shí)際問題中的重要作用.這道例題讓學(xué)生感受生活中處處有數(shù)學(xué)問題，以及借助數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決身邊實(shí)際問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的重要性和價(jià)值.

3.3 數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際相結(jié)合，滲透建模思想

生活是數(shù)學(xué)的源泉，生活中充滿著數(shù)學(xué)問題，通過例題的學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)了用一次方程解決應(yīng)用問題，學(xué)習(xí)了用二元(三元)一次方程組解決一些實(shí)際問題.結(jié)合相關(guān)材料，將數(shù)學(xué)知識(shí)和生活實(shí)際相結(jié)合，將生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，編出符合實(shí)際的應(yīng)用問題.

問題小組討論，在現(xiàn)有的材料(每組有實(shí)物)中選擇兩種或三種，并結(jié)合表2中相應(yīng)信息，填寫任務(wù)單(如表3、表4、表5、表6所示)，并補(bǔ)充合適的情境編寫一道符合實(shí)際的應(yīng)用題.

表2

表3

表4

表5

表6

鼓勵(lì)學(xué)生小組合作完善信息，考慮問題的實(shí)際意義.

設(shè)計(jì)意圖：以小組討論的形式發(fā)揮集體的力量，在學(xué)生表述自己的成果時(shí)考查學(xué)生的語言表達(dá)能力，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的素質(zhì)教育.通過編寫實(shí)際應(yīng)用題目，學(xué)生模擬生活情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生看得見、摸得著的生活現(xiàn)實(shí)，學(xué)生能更好感悟和領(lǐng)會(huì)所學(xué)知識(shí).基于預(yù)備年級(jí)學(xué)生的年齡特征，此環(huán)節(jié)以實(shí)物增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更有參與的欲望.

3.4 課堂小結(jié)

教師組織學(xué)生回憶本節(jié)課內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小結(jié)，學(xué)生在回顧解決問題基本方法及步驟的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)和實(shí)際生活的緊密聯(lián)系.

3.5 布置作業(yè)，分層滲透

教師布置作業(yè)如表7所示.

表7

設(shè)計(jì)意圖：通過分層作業(yè)的布置，學(xué)生找到并完成適合自己難度的作業(yè)，并適當(dāng)嘗試提高.

4 教學(xué)反思

在講授新課的過程中，注重突出教材的重點(diǎn)，清晰地分析教材難點(diǎn).根據(jù)學(xué)生的實(shí)際、教師的特長(zhǎng)以及教學(xué)設(shè)備的情況，選擇多媒體的教學(xué)手段.在新授課中，選擇的三道例題都與勞動(dòng)課程相關(guān)，分別是用一元一次方程、二元一次方程組和三元一次方程組求解的應(yīng)用問題，數(shù)學(xué)知識(shí)涉及產(chǎn)量、銷售等問題.題目還設(shè)置了健康飲食教育環(huán)節(jié)，在解題過程中設(shè)置了計(jì)算方法探討.并且通過第三道例題的分析和求解，對(duì)比列一次方程組和一元一次方程解決實(shí)際問題的優(yōu)勢(shì)，體現(xiàn)本節(jié)課學(xué)習(xí)的重要性，突出重點(diǎn).整個(gè)過程都與“新鮮”的勞動(dòng)課程有關(guān)，學(xué)生對(duì)課程感興趣，參與度高.學(xué)生互動(dòng)環(huán)節(jié)首先讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)和生活實(shí)際，將抽象的數(shù)學(xué)問題生活化，逆向思維，借助所給實(shí)物以及相關(guān)信息，添加合適的情境，編出符合實(shí)際的應(yīng)用問題.這讓學(xué)生有自我發(fā)揮的空間，積極參與討論，并樂于展示.這個(gè)過程鍛煉學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生看得見、摸得著的生活現(xiàn)實(shí)，學(xué)生能更好感悟和領(lǐng)會(huì)所學(xué)知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美.

作業(yè)布置環(huán)節(jié)針對(duì)預(yù)備年級(jí)學(xué)生差異，分層訓(xùn)練，這樣既可以使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又可以使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到拔尖和“減負(fù)”的目的.

學(xué)科德育在實(shí)際應(yīng)用問題中的滲透，可以從以下三個(gè)方面入手.(1)以與學(xué)生學(xué)習(xí)和生活息息相關(guān)的數(shù)據(jù)為素材，結(jié)合生活實(shí)際.(2)以與前沿科技相關(guān)數(shù)據(jù)為素材，結(jié)合科學(xué)實(shí)際.(3)以與歷史實(shí)踐相關(guān)數(shù)據(jù)為素材，結(jié)合歷史實(shí)際.結(jié)合的數(shù)據(jù)素材要以事實(shí)為基礎(chǔ)，以與課堂內(nèi)容相關(guān)為主，以學(xué)生感興趣為重，以解決實(shí)際問題為依托，達(dá)到學(xué)科德育有效滲透的目的.

本節(jié)課的教學(xué)結(jié)合生活實(shí)際，設(shè)計(jì)與學(xué)生勞動(dòng)課程相關(guān)的題目，體現(xiàn)學(xué)科德育，讓學(xué)生容易接受，有助于學(xué)生更好理解和掌握知識(shí).在例題設(shè)計(jì)和學(xué)生小組討論活動(dòng)中結(jié)合實(shí)際，題目梯度遞增，活動(dòng)分層進(jìn)行，讓各層次的學(xué)生更好地接受學(xué)科德育教育.學(xué)生能在掌握教材要求的知識(shí)和方法的基礎(chǔ)上，明晰目標(biāo)并拓展思維，創(chuàng)新編題，落實(shí)本節(jié)教學(xué)目標(biāo).從而更好地升華所學(xué)知識(shí)，將數(shù)學(xué)知識(shí)生活化，達(dá)到服務(wù)生活的目的.