王雨權(quán),廖立堅,李林安,霍學(xué)晉,李 黎

(1.中國鐵路設(shè)計集團有限公司,天津 300308； 2.天津大學(xué)力學(xué)系,天津 300350； 3.中鐵大橋勘測設(shè)計院集團有限公司,武漢 430050； 4.中鐵第六勘察設(shè)計院集團有限公司,天津 300308)

在應(yīng)力狀態(tài)下，徐變是混凝土的固有特性?；炷灵L期徐變會引起橋梁結(jié)構(gòu)發(fā)生主要受力方向的位移，因此，徐變計算是橋梁，尤其是大跨度橋梁結(jié)構(gòu)的控制性因素[1-5]。設(shè)計及研究人員對于徐變引起的各種不利影響進(jìn)行了深入研究，如徐變引起CRTSⅡ型縱連板式軌道和橋面之間的脫空現(xiàn)象[6]，徐變對剪力滯效應(yīng)影響[7]等。因此，鑒于徐變的重要性，很多學(xué)者也對如何更好地模擬徐變效應(yīng)進(jìn)行了深入研究[8-12]。

人們可通過徐變系數(shù)來描述徐變現(xiàn)象，查閱相關(guān)文獻(xiàn)可知，徐變系數(shù)的影響因素很多，其表達(dá)式的模型也很多[13-15]，國內(nèi)公路規(guī)范[16]和鐵路規(guī)范[17]代表了兩種表達(dá)形式。

如何利用規(guī)范上的徐變系數(shù)進(jìn)行精確合理地計算混凝土橋梁的徐變效應(yīng)，是一個較難確定的復(fù)雜問題。由于商業(yè)軟件Midas Civil操作簡便性，在一般設(shè)計中，設(shè)計人員很少去深究徐變到底是如何計算的。而對于Midas Civil來說，徐變計算模塊是其核心功能模塊，運算機理一直處于保密狀態(tài)。因此，設(shè)計人員對于該模塊的計算過程其實是處于一個黑盒子狀態(tài)[18-20]。這對于準(zhǔn)確把握設(shè)計精髓，進(jìn)一步提高橋梁設(shè)計水平有阻礙作用。因此，進(jìn)行徐變算法的相關(guān)研究工作十分必要。

從徐變系數(shù)出發(fā)，以Midas Civil幫助文件中涉及到的算法為參照，深入研究相關(guān)計算方法，并進(jìn)行相應(yīng)的公式推導(dǎo)。在確定算法路徑后，詳細(xì)給出了遞推格式的計算公式和步驟，并進(jìn)行了相關(guān)案例測試。

1 徐變系數(shù)

影響混凝土徐變的因素很多，但主要因素有混凝土強度、受荷時的混凝土齡期、周邊環(huán)境相對濕度、溫度、混凝土體積、作用于混凝土結(jié)構(gòu)的持續(xù)應(yīng)力大小等。為計算徐變引起的變形，引入徐變系數(shù)φ(t，τ)的概念。

徐變系數(shù)φ(t，τ)可表示為從時刻τ開始作用一個應(yīng)力σ(τ)后，混凝土在時刻t時的單軸應(yīng)變與加載齡期τ時的應(yīng)變之比。即

(1)

式中，εcr(t，τ)為齡期為τ的混凝土在時刻t時應(yīng)變；εe(τ)為加載時刻的彈性應(yīng)變。

目前，國內(nèi)外對徐變效應(yīng)考慮的因素不盡相同，采用了不同的數(shù)學(xué)表達(dá)方式，但歸納起來有以下兩大類。

一是將徐變系數(shù)表達(dá)為一系列系數(shù)的乘積，每一個系數(shù)表示一個影響因子。如BS5400英國規(guī)范(1984年版)、美國ACI209標(biāo)準(zhǔn)(1982年版)、CEB-FIP標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范(1990年版)、JTG 3362—2018《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》。

二是將徐變系數(shù)表達(dá)為若干個性質(zhì)互異的分項系數(shù)之和。如CEB-FIP標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范(1978年版)、JTJ 023—85《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(1985年版)、TB 10092—2017《鐵路橋涵混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》等。

目前，國內(nèi)有關(guān)橋梁徐變系數(shù)的相關(guān)規(guī)定，主要采用公路和鐵路兩個行業(yè)規(guī)范。TB 10092—2017《鐵路橋涵混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(以下簡稱“《2017年鐵路橋規(guī)》”)附錄A給出了徐變系數(shù)的相關(guān)規(guī)定。該規(guī)范沿用了歷年橋梁規(guī)范規(guī)定，徐變系數(shù)的計算表達(dá)式中，存在很多圖表。JTG 3362—2018《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(以下簡稱“《2018年公路規(guī)范》”)附錄C也給出了徐變系數(shù)的相關(guān)規(guī)定，該規(guī)范在上一版規(guī)范的基礎(chǔ)上，增加了添加粉煤灰的混凝土徐變修正系數(shù)。對于一般混凝土材料，仍然維持上一版規(guī)定。下面對這兩本規(guī)范的內(nèi)容進(jìn)行簡要介紹。

1.1 公路規(guī)范相關(guān)規(guī)定

《2018年公路規(guī)范》的徐變系數(shù)采用乘積形式，具體表達(dá)式如下。

(2)

式中，t0為加載時的混凝土齡期，d；t為計算考慮時刻的混凝土齡期，d；φ(t，t0)表示加載齡期為t0，計算考慮齡期為t時的混凝土徐變系數(shù)；φ0為名義徐變系數(shù)；βc(t-t0)為加載后徐變隨時間發(fā)展的系數(shù)；βH為與年平均相對濕度相關(guān)的系數(shù)；fcm為強度等級C20～C50混凝土在28 d齡期時的平均立方體抗壓強度，MPa；fcm0取值10 MPa；RH為環(huán)境年平均相對濕度，%；RH0取值100%；h為構(gòu)件理論厚度，mm，h=2A/μ，A為構(gòu)件截面面積，μ為構(gòu)件與大氣接觸的周邊長度；h0取100 mm；t1取1 d。

1.2 鐵路規(guī)范相關(guān)規(guī)定

《2017年鐵路規(guī)范》的徐變系數(shù)采用分項系數(shù)相加的形式，具體表達(dá)式如下。

(3)

式中，φ(t，τ)為徐變系數(shù)；βd(t-τ)為隨時間而增長的滯后彈性應(yīng)變，取值查規(guī)范附錄圖A.0.2-1；fτ/f∞表示加載時混凝土的強度與最終強度R∞之比，查規(guī)范附錄圖A.0.2-2；φf為流塑系數(shù)，φf=φf1×φf2；φf1為依周圍環(huán)境而定的系數(shù)；φf2為依理論厚度h而定的系數(shù)，查規(guī)范附錄圖A.0.2-3。

兩本規(guī)范的表達(dá)式相差很大，公路規(guī)范的表達(dá)式明確，而鐵路規(guī)范的相關(guān)系數(shù)取值依賴于圖表的查詢，這容易產(chǎn)生徐變系數(shù)取值誤差。

2 徐變算法對比研究

混凝土徐變的計算方法大致有Dischinger微分求解法、Tr?st-Bazant代數(shù)求解法和有限元逐步增量法。對于結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜、施工步驟較多的橋梁結(jié)構(gòu)，大多采用有限元逐步增量法。

目前，在設(shè)計過程中，由于商業(yè)軟件較為發(fā)達(dá)，以Midas Civil為代表的橋梁結(jié)構(gòu)有限元軟件，已成為設(shè)計人員從事橋梁設(shè)計的必備工具。實踐工程中，Midas Civil設(shè)計的橋梁在最近十幾年時間內(nèi)，也經(jīng)受住了考驗。因此，在研究徐變算法時，以與Midas Civil的計算對比結(jié)果為基準(zhǔn)，但Midas Civil并未給出詳細(xì)具體的計算算法，只能從其僅有的幫助文件或相關(guān)手冊內(nèi)容進(jìn)行研究，來論證可能的徐變計算方法。

下面分別對Midas Civil給出的徐變計算模型和常見的基于Tr?st-Bazant方法給出的工程實用分析基本方程的邏輯關(guān)系進(jìn)行論證。并基于論證結(jié)果，給出具體的徐變計算算法。

2.1 Midas Civil相關(guān)算法研究

在Midas Civil的幫助文件及相關(guān)技術(shù)手冊中，該軟件給出了混凝土的應(yīng)變方程，即

ε(t)=εe(t)+εc(t)

(4)

式中，ε(t)為混凝土總應(yīng)變；εe(t)為混凝土彈性應(yīng)變；εc(t)為混凝土徐變應(yīng)變；t為徐變計算時刻。

當(dāng)Midas Civil采用徐變系數(shù)計算方法時，其混凝土的徐變應(yīng)變表達(dá)式為

(5)

式中，σe(t)為混凝土加載的初始應(yīng)力；Δσ為每一個加載持續(xù)時間段內(nèi)的應(yīng)力增量；E為混凝土彈性模量；φ(t，τ0)為徐變系數(shù)；τ0為混凝土的加載齡期。

式(4)、式(5)是Midas Civil中混凝土材料徐變計算中應(yīng)力應(yīng)變增量關(guān)系，以這兩個表達(dá)式為基礎(chǔ)，將其轉(zhuǎn)換成全量形式，過程如下。

由式(4)可寫出對應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式

σ(t)=σe(t)+Δσ

(6)

式中，σ(t)為混凝土計算時刻的總應(yīng)力；Δσ為每一個加載持續(xù)時間段內(nèi)的應(yīng)力增量。

聯(lián)立方程(4)～(6)可得

[1+φ(t，τ0)/2]

(7)

對式(7)進(jìn)行展開，由此可得

(8)

由于σe(t)=E×εe(t)，對式(8)進(jìn)行整理可得

(9)

對式(9)兩邊同乘E并移項，可得

(10)

該表達(dá)式即為從Midas Civil的幫助文件給出的混凝土應(yīng)變方程出發(fā)，得到的混凝土徐變應(yīng)力應(yīng)變?nèi)筷P(guān)系表達(dá)式。

將式(10)代入伽遼金平衡弱解方程，即可利用相關(guān)的弱解方程求解工具進(jìn)行求解。

伽遼金平衡弱解方程的通式為

(σ;δε)=(f;δu)

(11)

將式(10)代入后可得

(12)

2.2 基于Tr?st-Bazant的工程實用分析算法研究

在國內(nèi)外可查詢的相關(guān)資料中，混凝土徐變的應(yīng)力-應(yīng)變方程一般表述為

式中，ε(t)、σ(t)分別為混凝土計算時刻的總應(yīng)變和總應(yīng)力；E(τ0)為混凝土彈性模量；φ(t，τ0)為徐變系數(shù)；εe(τ0)為彈性應(yīng)變；εs(t)為徐變應(yīng)變；τ0為加載齡期；t為徐變計算時刻。

采用Tr?st-Bazant方法給出的工程實用分析基本方程為

(14)

式中，εs(t)為徐變應(yīng)變；σs(t)為徐變應(yīng)力；σ(τ0)為彈性應(yīng)力；E為彈性模量；φ(t，τ0)為徐變系數(shù)；ρ(t，τ0)為老化系數(shù)。

下面以式(13)、式(14)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出對應(yīng)的混凝土徐變應(yīng)力應(yīng)變?nèi)筷P(guān)系表達(dá)式。

全量形式的徐變應(yīng)變和徐變應(yīng)力可表示為

(15)

將式(15)代入Tr?st-Bazant基本方程(14)可得

[1+ρ(t，τ0)φ(t，τ0)]

(16)

對式(16)兩邊進(jìn)行整理可得

(17)

對式(17)兩邊同乘E并移項，可得

[1+ρ(t，τ0)φ(t，τ0)]σ(t)=Eε(t)-

σ(τ0)φ(t，τ0)[1-ρ(t，τ0)]

(18)

同理將式(18)代入伽遼金平衡弱解方程的通式(σ;δε)=(f;δu)，可得

([1+ρ(t，τ0)φ(t，τ0)]-1Eε(t);δε)=(f;δu)+

-(σ(τ0)φ(t，τ0)[1-ρ(t，τ0)]×

[1+ρ(t，τ0)φ(t，τ0)]-1;δε)

(19)

對比式(12)和式(19)可知，這兩個表達(dá)式只要滿足ρ(t，τ0)=1/2時，其方程是等價的。

因此，徐變計算要取得與Midas Civil一致的結(jié)果，只需按照基于Tr?st-Bazant基本方程推導(dǎo)而來的計算方法即可。

3 徐變的增量遞推算法

基于Tr?st-Bazant基本方程的徐變算法，國內(nèi)相關(guān)學(xué)者[21]已進(jìn)行較多研究，下面根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)總結(jié)出橋梁結(jié)構(gòu)基于空間梁單元的徐變計算增量算法。

3.1 各子步徐變位移表達(dá)式

圖1 徐變計算應(yīng)力與時間的關(guān)系

根據(jù)徐變的定義，時刻tn的徐變應(yīng)變可表示為

(20)

時刻tn-1的徐變應(yīng)變?yōu)?/p>

(21)

利用積分中值定理，可得第n個階段即tn-1→tn的徐變應(yīng)變?yōu)?/p>

式中相關(guān)變量的表達(dá)式為

(23)

式中，γ(ti，ti-1)=1/[1+ρ(ti，ti-1)φ(ti，ti-1)]。

另外，根據(jù)虛功原理和Castigliano第一定理，可得到如下表達(dá)式

{F}=γ(t，τ0)[K]{δ}-γ(t，τ0)φ(t，τ0){F0}=

γ(t，τ0)[K]{δ}-γ(t，τ0)φ(t，τ0)[K]{δ0}=

[Kφ][{δ}-φ(t，τ0){δ0}]=

(24)

將上述平衡方程與式(20)結(jié)合，可得第n階段(tn-1→tn時段)的徐變位移為

(25)

式中，彈性位移{δ0i}由初始階段的位移法分析得到；總徐變位移{δi}由結(jié)構(gòu)總體平衡方程解出。

3.2 徐變計算的遞推公式

直接利用式(25)來計算徐變位移并不方便，因為每一步都需存儲前一階段的中間參數(shù){δ0i}、{δi}等參數(shù)，因此，需結(jié)合徐變系數(shù)構(gòu)造一個遞推格式，以便快速計算徐變效應(yīng)。

設(shè)徐變系數(shù)的通用公式為

(26)

式中，βa(τ)、βd(0)為徐變系數(shù)擬合時與初始時刻0、加載時刻τ有關(guān)的擬合系數(shù)；Ci(τ)為Dirichlet級數(shù)展開時與加載時刻τ相關(guān)的徐變系數(shù)形狀系數(shù)；qi為Dirichlet級數(shù)展開時與隨時間變化的徐變系數(shù)曲線形狀相關(guān)的系數(shù)。

彈性位移{δ0i}由初始階段位移法分析得到，總徐變位移{δi}由結(jié)構(gòu)總體平衡方程解出。

將式(26)代入上述各表達(dá)式，并定義如下變量

(27)

則第n階段(tn-1→tn時段)的徐變位移表達(dá)式可表示為

{δ0n-1}[βa(tn-1)+βd(0)]

(28)

γ(tn-tn-1)Ci(tn-1/2)e-qi(tn-tn-1/2)

(29)

因此，徐變計算表達(dá)式即可用式(28)、式(29)對應(yīng)的遞推公式表示。

接下來，只需將本文所述的公路規(guī)范和鐵路規(guī)范的徐變系數(shù)擬合成式(26)所示的通用表達(dá)格式，即可自動處理不同規(guī)范的徐變計算問題。

對于自定義的徐變系數(shù)，可通過如下加權(quán)最小二乘法進(jìn)行擬合，加權(quán)最小二乘的格式如下

(30)

式中，w(xi)為加權(quán)值；s(xi)、f(xi)分別為擬合點處的擬合值及規(guī)范計算值。

3.3 徐變遞推計算基本步驟

在進(jìn)行徐變效應(yīng)分析時，可按以下3個步驟分別進(jìn)行分析。

第一步：對徐變系數(shù)進(jìn)行擬合。

式(2)、式(3)分別展示了公路和鐵路規(guī)范的徐變系數(shù)，但程序計算時，不能用該表達(dá)式進(jìn)行計算，均需將其轉(zhuǎn)化為式(26)的公式。因此，本階段的主要任務(wù)即為用加權(quán)二乘法對徐變系數(shù)進(jìn)行處理。

第二步：對n=1階段進(jìn)行處理，主要按如下過程進(jìn)行處理。

(1)計算初始階段的彈性變形。

(5)組集總剛和荷載列陣，列出總體平衡方程式，處理邊界條件后解出{δ1}。

(6)計算徐變引起的總桿端力[F1]和約束反力。

第三步：對n=2以后的階段進(jìn)行遞推計算處理，主要按如下過程進(jìn)行處理。

(1)計算現(xiàn)階段的彈性變形{δ01}。

(5)組集總剛和荷載列陣，列出總體平衡方程式，處理邊界條件后解出{δ2}。

(6)計算徐變引起的總桿端力[F2]和約束反力。

(7)繼續(xù)循環(huán)進(jìn)入下一階段計算。

按照上述3個步驟，即可編制有限元程序，進(jìn)行徐變位移計算。

最終的徐變位移需將每一施工階段計算得到的位移增量進(jìn)行疊加。計算中，遇到體系轉(zhuǎn)化，只需將由此導(dǎo)致的二次力疊加入下一個階段即可。

筆者在研制自主有限元軟件“臥龍”時，按照上述計算方法和過程進(jìn)行了徐變計算的探索，并對其結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行了案例測試。下面給出基于上述算法的“臥龍”與Midas Civil的驗證案例。

4 徐變位移計算程序驗證

某三跨連續(xù)梁，梁跨組合為94.5 m+166.4 m+107.9 m，總梁長368.8 m。同時模擬樁基礎(chǔ)、承臺、墩身的施工過程，其對應(yīng)混凝土為C40、C30混凝土，這部分混凝土不考慮收縮徐變效應(yīng)。梁體采用C60混凝土并考慮收縮徐變效應(yīng)，梁體截面為單箱單室截面。鋼束采用Strand1860，鋼束特性值有3組，鋼束數(shù)量有238組，施工階段共分40個階段。靜力荷載包括自重、掛籃、鋼束張拉力、二期恒載等，其計算模型如圖2所示。

圖2 三跨連續(xù)梁測試模型

測試過程，徐變系數(shù)采用《2018年公路規(guī)范》提供的徐變系數(shù)表達(dá)式。

采用“臥龍”與Midas Civil背靠背對比計算模式。計算過程中，考慮了鋼束的二次力、鋼束引起的截面特性變化影響，也考慮了梁體變截面的影響。由于施工階段比較多，限于篇幅，直接選取成橋后10年的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。

分別提取兩個軟件的徐變位移，數(shù)據(jù)如表1所示，由于空間梁單元的每個節(jié)點有6個自由度，但對于連續(xù)梁來說，其主要受力為自重及鋼束，因此，可選取豎向和水平兩個方向的徐變位移作為對比自由度。由于全橋節(jié)點較多，下面僅選取第29～51號單元進(jìn)行比較，這些單元代表了中跨靠近第一個橋墩這半個跨度的橋梁結(jié)構(gòu)，具有典型性。

表1給出了“臥龍”與Midas Civil在豎向和水平向兩個方向的徐變位移對比結(jié)果。表中，Dzm、Dxm分別為Midas Civil計算的豎向和水平向徐變位移；Dzw、Dxw分別為臥龍計算的豎向和水平向徐變位移。從表1中可以看出，豎向徐變位移的最大誤差為3.3%，該節(jié)點號為29號，位于第一個主墩節(jié)點上。該節(jié)點的徐變位移為上拱狀態(tài)，與其余節(jié)點的徐變位移方向相反，相對來說，該點徐變絕對值較小。中跨跨中位置節(jié)點號為51號，其相對誤差為1.19%。所有節(jié)點的水平向徐變位移，其誤差都在1%以內(nèi)。

表1 自編程序臥龍與Midas的徐變位移對比

將表中兩個方向的徐變計算值分別繪制成對比圖，如圖3所示。

圖3 徐變位移值對比

從圖3中也可以看出，不論是豎向徐變位移值還是水平向徐變位移值，“臥龍”和Midas Civil的結(jié)果都是非常相近的。

“臥龍”與Midas存在誤差的原因為：采用遞推格式時，需對徐變系數(shù)進(jìn)行擬合，其擬合數(shù)值和規(guī)范表達(dá)式計算出的精準(zhǔn)數(shù)值是存在誤差的；Midas的徐變系數(shù)計算值與規(guī)范精準(zhǔn)值之間也會存在誤差。但總體來看，“臥龍”與Midas Civil之間的誤差是可以接受的，這也表明，上述基于遞推形式的徐變計算方法是可行的。

5 結(jié)論

通過系統(tǒng)梳理徐變系數(shù)的相關(guān)規(guī)定，給出了現(xiàn)行公路和鐵路規(guī)范的相關(guān)規(guī)定。針對Midas和基于Tr?st-Bazant基本方程的兩種徐變算法，對其進(jìn)行全量形式的公式推導(dǎo)和對比分析。隨后，給出遞推形式的徐變計算方法及計算步驟，并通過一個較為復(fù)雜的連續(xù)梁案例進(jìn)行測試，結(jié)論如下。

(1)現(xiàn)行鐵路規(guī)范和公路規(guī)范的徐變系數(shù)表達(dá)式區(qū)別很大，可通過加權(quán)最小二乘法將其轉(zhuǎn)化成徐變系數(shù)設(shè)定的通用格式，從而統(tǒng)一徐變計算過程。

(2)Midas幫助文件給出的徐變算法和基于Tr?st-Bazant基本方程的徐變算法本質(zhì)上是一致的。當(dāng)滿足ρ(t，τ0)=1/2時，兩者之間的方程是等價的。

(3)將徐變系數(shù)寫成設(shè)定的通用格式，可將基于空間梁單元的徐變算法改造成遞推形式，遞推形式的徐變計算過程將大大減少運算量和數(shù)據(jù)存儲量，加快運算速度。

(4)實例測試結(jié)果表明，在充分考慮鋼束二次力、結(jié)構(gòu)體系轉(zhuǎn)化影響、變截面性質(zhì)及鋼束引起的截面特性變化情況下，本文所述徐變算法計算得到的徐變位移和Midas計算得到的徐變位移結(jié)果非常接近。

(5)測試結(jié)果表明，自編程序“臥龍”的徐變計算精度，在成橋后10年，豎向徐變位移的最大誤差為3.3%，且徐變絕對值較小，水平向徐變位移誤差均在1%以內(nèi)，計算精度良好。