541006 廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 周 瑩 陳基河 李欣欣

100875 北京師范大學數(shù)學科學學院 Tommy Tanu Wijaya

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出，數(shù)學課程內(nèi)容要符合學生的認知規(guī)律，不僅包括數(shù)學的結(jié)果，也包括數(shù)學結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學思想方法[1].而數(shù)學公式作為數(shù)學知識或數(shù)學思想的一種表征形式，反映著事物內(nèi)部和外部之間的內(nèi)在關(guān)系，是幫助更好認識世界和表達世界的重要載體.但是，長久以來，公式教學的教學過程常常流于淺表化，存在“滿堂灌”或“滿堂問”的現(xiàn)象.停留在“教教材”“講教材”的道路上[2]，不利于學生在數(shù)學學習上獲得進一步的發(fā)展.自提倡新課改以來，以思維發(fā)展為主的認知發(fā)展促進深度學習的有益實現(xiàn)，是教育關(guān)注的焦點[3].如何結(jié)合學生已有知識經(jīng)驗與教材對課程知識的安排進行有效的數(shù)學教學，是當下亟需解決的問題.基于以上思考，在數(shù)學課堂中需要從學生認知特點和學習規(guī)律、學科特點及知識的本質(zhì)出發(fā)，著重體現(xiàn)公式教學的層次性和連貫性.筆者嘗試以“六何”認知鏈為主線，對平方差公式的課堂教學進行設計.

一、“六何”認知鏈的含義

“六何”認知鏈作為一條以思維發(fā)展為主的教學策略，注重思維的整體性和發(fā)展性，圍繞學生的最近發(fā)展區(qū)進行任務驅(qū)動式教學.該教學策略在概念課中通常以“從何—是何—與何—如何—變何—有何”的順序進行[4]，此認知鏈的具體內(nèi)容如圖1所示.

圖1 “六何”認知鏈的教學設計過程

“從何”即知識的由來，基于新的情境或者任務驅(qū)動，從而孕育出新的解決方案，是激活新知的起點.“是何”即新知的本質(zhì)是什么，厘清其構(gòu)成要素與各要素之間的關(guān)系，促進概念的生成.“與何”即新舊知識的對比探究，在已有知識上為新概念提供固著點，搭建銜接新舊知識的橋梁.“如何”即新知的運用，是檢驗教學效果的關(guān)鍵一步，從問題解決與課堂反饋等途徑檢查學生的學習效果.“變何”即對新知進行變式拓展，在初步運用的基礎上融入數(shù)學思想、數(shù)學方法，繼續(xù)強化對概念、方法、知識本質(zhì)的認識.“有何”即學習的獲得與反思，從課堂教學環(huán)節(jié)、知識理解、遺存問題進行總結(jié)回顧，為已有的知識體系繪制新的圖式，提升思維的邏輯性和系統(tǒng)性[5].

二、課例背景

在人教版《數(shù)學》八年級上冊的教材中，平方差公式是學習整式乘法后的第一個數(shù)學公式，是整式乘法的延續(xù)，對后續(xù)學習完全平方公式起著重要的鋪墊作用，也為因式分解奠定了公式法的基礎.“平方差公式”一節(jié)不僅給出了特殊形式下的多項式相乘的簡便算法，且為以后理解因式分解、化簡分式、分母有理化、解一元二次方程等內(nèi)容提供了有益參考(如圖2所示).

圖2 平方差公式與其他知識的關(guān)聯(lián)圖譜

三、基于“六何”認知鏈的教學設計

(一)精準“從何”，喚醒新知

知識“從何”而來一直是學生在學習階段面臨的一大困惑，為解決這一難點，有效調(diào)動學生思維，筆者設計了以下四道題目，從同是兩個二項式相乘得到的項數(shù)卻不同的角度，引發(fā)學生思考.

(1)(x+1)(y-2)=________；

(2)(m+n)(m+2n)=________；

(3)(a+2)(a-2)=________；

(4)(2x+1)(2x-1)=________.

問題1每道題計算后得出的結(jié)果各有多少項？

問題2第(3)題、第(4)題與第(1)題、第(2)題的等式左右兩邊的組成有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題3怎樣的兩個二項式相乘得到的結(jié)果是兩項？它們有什么特別之處？

設計意圖：從一般情形到特殊情況的探究過程，是數(shù)學學習和數(shù)學研究中常用的處理方法，亦是知識“從何”而起的一大基石.基于乘法公式對兩個二項式進行計算，得到的結(jié)果呈現(xiàn)出不同的項數(shù)，引起對二項式進行特殊化處理，從而簡化計算過程的思考.在體會項數(shù)發(fā)生變化的同時，產(chǎn)生研究對象(a+b)(a-b)=a2-b2，有利于培養(yǎng)學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

(二)思考“是何”，探清本質(zhì)

從特殊多項式抽象出公式后提問：這個公式有什么特別之處？它可以代表什么？怎么證明？為撥開公式的神秘面紗，在“是何”這一維度設計以下三個問題.

問題1公式(a+b)(a-b)=a2-b2左右兩邊的字母a,b有什么特點？

問題2公式中字母a,b可以表示哪些代數(shù)式？

問題3你能否用幾何方法證明(a+b)(a-b)=a2-b2？

設計意圖：探究“是何”有助于學生更好理解學習內(nèi)容的本質(zhì)及其特征所在.問題1從符號語言轉(zhuǎn)到文字語言，是對平方差公式的第一次語言轉(zhuǎn)化，在觀察、歸納的同時，培養(yǎng)學生用數(shù)學語言總結(jié)和表達的能力.對于問題2，由于實際運用中字母a,b可以是數(shù)字、單項式、多項式等，因此需要從部分與整體的視角看待字母a,b的特征，挖掘公式蘊含的一般性和代表性，并從中領略此公式結(jié)構(gòu)的不變性，以及字母a,b在可變性中體現(xiàn)的代數(shù)代換精髓[6].問題3從符號語言轉(zhuǎn)到圖形語言，是本節(jié)課的第二次語言轉(zhuǎn)化，順應著數(shù)學知識表征方式的變化，從數(shù)形結(jié)合的角度，引導學生在學習中實踐再實踐、認識再認知[7]，促進深度學習的發(fā)生.

(三)辨析“與何”，承前啟后

為把握知識的邏輯脈絡，體現(xiàn)溫故知新的學習思想，在已有知識經(jīng)驗基礎上，對新學知識進行多層理解.在“與何”這一維度，設計以下探究性問題.

問題1回顧單項式與多項式相乘、兩個多項式相乘的證明過程，說說它們和平方差公式證明過程的區(qū)別和聯(lián)系.

問題2你能否添加不同的輔助線來證明平方差公式？

設計意圖：“與何”注重從知識的連貫性視角出發(fā)，辨析新舊知識的關(guān)系.承接教材利用拼圖、面積轉(zhuǎn)換計算的方式驗證單項式乘以多項式、兩個多項式相乘的思路.在學習完全平方公式時，也可沿用拼接圖形的方式證明完全平方公式.而掌握多種添加輔助線方式對同一圖形進行重新組合，可以培養(yǎng)學生的等價轉(zhuǎn)化思想，從而提高學生思維的靈活性，積累數(shù)學活動經(jīng)驗.基于樹狀思維，當某一現(xiàn)象發(fā)生變化時，不一定只能從A路徑進行演變，還可能存在向B路徑甚至更多路徑演化的可能性.問題2啟發(fā)學生運用不同的切割、拼補方式證明平方差公式，是尋求多路徑演化的一種有效方式，讓學生在不同的圖形組合方式中走向?qū)?shù)學公式的深層理解.引導學生從系統(tǒng)的角度認識整式乘法的符號語言和圖形語言之間相互交織、互為表里的關(guān)系.

(四)深化“如何”，思行并重

學而不思則罔，思而不學則殆.為促進對知識的學以致用，在習得的基礎上，通向?qū)χR的深層理解，在“如何”這一維度設計以下練習.

練習1完成表1.

表1

練習2閱讀教材108頁例1、例2內(nèi)容.

問題1為什么3x,-x,2y要先添加括號，再平方？

問題2例2的小問(2)中的100是怎么來的？

問題3為什么102×98要寫成(100+2)×(100-2)，而不是(110-8)×(90+8)？

練習3用平方差公式計算以下題目.

(1)(a-3)(a+3)；

(4)79.8×80.2.

設計意圖：設計“理解+歸納+實踐”的練習方式，開展“如何”這一維度的教學環(huán)節(jié)，完善從一般多項式相乘到特殊多項式相乘的思維轉(zhuǎn)變.在理解公式的基礎上，對練習1的習題進行判斷，幫助學生經(jīng)歷觀察、對比等過程，識別平方差公式的結(jié)構(gòu)和特征.通過練習2、練習3，學生能夠在式子變動的狀態(tài)下，保持對“知識對象”的正確認識和判斷，在解題過程中萌發(fā)意識并發(fā)現(xiàn)“隱含的知識”，從而可以正確地應用、完成有關(guān)的解題步驟.

(五)感悟“變何”，拓展思維

“以簡馭繁，以不變應萬變”是應用數(shù)學公式解決問題的一大優(yōu)勢.在厘清知識的特征及其應用之后，為使學生繼續(xù)感悟其多重變化，在“變何”這一維度設計以下拓展習題.

(1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)；

(2)(2+1)(4+1)(16+1)(256+1)+1；

(3)(3+1)(9+1)(81+1).

問題1為什么第(2)題要先寫成(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的形式？

問題2為什么第(2)題要在前面補上(2-1)？

問題3解答第(3)題時，可以直接計算(3-1)(3+1)(9+1)(81+1)嗎？

設計意圖：“變何”旨在拓展學生的視野，化解思維難點.通過前面四個維度的學習，學生已經(jīng)積累一定的學習經(jīng)驗.設置拓展題，使得在多個多項式相乘中感受平方差公式蘊含的多米諾效應，領會數(shù)學的簡潔美.讓學生明確同一知識在不同情境中的要求及其對應關(guān)系，提升學生分析問題的能力，培養(yǎng)學生思維的靈活性.

(六)盤點“有何”，構(gòu)建認知

為了解學生在歷經(jīng)前面五個維度的教學之后有哪些收獲，存在哪些不足，在“有何”這一維度設計反思回顧.

問題1通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

問題2能否借助思維導圖或圖表，將你學到的知識記錄下來？(如圖3所示)

圖3 反思學習收獲的思維導圖

問題3你還有哪些疑惑？

設計意圖：“有何”作為課堂教學環(huán)節(jié)的最后一環(huán)，承載著為課堂畫上完美句號的作用.數(shù)學學習既要知其然，更要知其所以然，通過問題1至問題3回顧本節(jié)所學所悟，化知識為智慧，積思想為階梯，積極完善自我認知框架的構(gòu)建.在對知識的轉(zhuǎn)化的同時，強化自我評價、反思和管理的意識[8].

四、評價與反思

(一)把握知識生長之路，螺旋上升式教學

平方差公式是引導學生對特殊多項式相乘的規(guī)律進行探究的起始課，對思考多項式的組成與其結(jié)果的關(guān)系，掌握知識與方法、數(shù)學思想等方面均有促進作用，其具有的簡潔美和形式美亦是激發(fā)學生探究數(shù)學的一大優(yōu)勢.在“從何”這一維度，注重讓學生經(jīng)歷從一般到特殊的研究方法，圍繞兩個二項式相乘的結(jié)果中項數(shù)發(fā)生變化與二項式的特征展開教學，引發(fā)對二項式的結(jié)構(gòu)進行探索、思考，在復習舊知的同時激發(fā)出新知，體現(xiàn)溫故知新的深刻寓意.在“是何”這一維度，強調(diào)平方差公式中a,b所代表的廣泛含義，可以多次回顧已有的知識經(jīng)驗，為新圖式的構(gòu)建關(guān)聯(lián)更多的節(jié)點.在“與何”這一維度，通過對比分析整式乘法與平方差公式的圖形證明的過程，從系統(tǒng)的視角看待數(shù)量、算式、圖形三者之間的有機聯(lián)系.至此，可以看出“從何”“是何”“與何”這三個教學環(huán)節(jié)在順應教材知識邏輯脈絡的同時，注重知識的遷移應用，進行螺旋上升式教學.

(二)學為中心，創(chuàng)建高效課堂

為適應未知世界的機遇與挑戰(zhàn),學習者必須獲得對概念更深層次的理解[9].深度學習是師生在教與學的過程中相互耦合、共同收獲智慧的經(jīng)歷.深度學習將教學目標指向?qū)W生的思維發(fā)展，指向增進學生的深度理解.

本教學設計在“如何”這一維度的練習1中，基于變位置、變系數(shù)、變符號、變次數(shù)、變項數(shù)的變式訓練，提高學生從不同角度對問題做出綜合分析，加深對典型問題的理解與辨別能力.在練習2中，教師向?qū)W生提問.為什么要在計算過程中添加括號？100是如何出現(xiàn)的？能不能將102×98拆成其他形式？在講解教材習題的同時，通過層層追問的方式，將邏輯的火花引向運用公式計算的基本步驟和注意事項，深入挖掘其變形背后的隱藏含義.在“變何”這一維度，設置拓展題，將一般式子與變次數(shù)的式子結(jié)合在一起，構(gòu)建新的算式.通過新掌握的工具——平方差公式，將看似難以計算的式子抽絲剝繭，逐步剝?nèi)テ鋫窝b，終顯其本來面貌，讓學生體會平方差公式的形式美和簡潔美，發(fā)展學生由此及彼的聯(lián)想思維，使學習的境界更上一層樓.最后，在“有何”維度，旨在通過概念圖或者思維導圖的方式，細數(shù)學習的收獲，盤點自身的成長.將抽象的知識具體化、邏輯化，構(gòu)建自身認知的同時，也是將學習與評價相結(jié)合，及時調(diào)整和改進后續(xù)的學習狀態(tài)、學習策略等.由此可見，在設計教學過程時，對于“如何”“變何”“有何”這三個教學環(huán)節(jié)，應注重以學為中心，通過解決一系列相關(guān)問題來學習數(shù)學知識、獲得數(shù)學技能、提升學習效率，提升數(shù)學素養(yǎng)與綜合能力，在有效的時間內(nèi)提升學習的效率.最后再通過元認知策略進行學習反思，加深對新知的內(nèi)化與理解.

教學的生命在于教學的有效性[10]，“六何”認知教學認知鏈的各個組成要素之間緊密聯(lián)系、環(huán)環(huán)相扣.一方面，這六個維度教學設計很好地體現(xiàn)了教學的連貫性與系統(tǒng)性，有助于課堂教學的順利開展.另一方面，“六何”認知鏈遵循知識的成長路線與認知心理發(fā)展路線，利于從淺層學習走向深度學習，促進學生的思維發(fā)展.