鄒 鵬，王思奇，羅 剛，趙永杰，李榮發(fā)

（1.西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川成都 614202；2.四川省國土空間生態(tài)修復(fù)與地質(zhì)災(zāi)害防治研究院，四川成都 610084）

引言

危巖體是受結(jié)構(gòu)面圍限和空間力系作用的三維地質(zhì)體［1-3］。當(dāng)危巖體兩側(cè)存在夾持作用以及結(jié)構(gòu)面存在鎖固段（巖橋）時(shí)，傳統(tǒng)二維穩(wěn)定性方法的計(jì)算結(jié)果存在一定的誤差。因此，可采用三維穩(wěn)定性計(jì)算方法以更真實(shí)地反應(yīng)其穩(wěn)定性狀態(tài)。

國內(nèi)外學(xué)者就邊坡三維穩(wěn)定性計(jì)算方法開展了大量研究。Hovland［4］最早提出運(yùn)用三維條分法對(duì)邊坡進(jìn)行三維穩(wěn)定性分析。Duncan［5］總結(jié)了24篇文獻(xiàn)的邊坡三維穩(wěn)定計(jì)算方法，并對(duì)其計(jì)算方法和基本假定進(jìn)行了詳細(xì)描述?，F(xiàn)有方法可以大概分為以下6種：（1）三維Bishop法［6-8］，滿足滑坡條柱Y方向靜力和轉(zhuǎn)動(dòng)力矩平衡；（2）三維Spencer法［9-11］，滿足滑坡條柱3個(gè)方向靜力和轉(zhuǎn)動(dòng)力矩平衡；（3）三維Janbu法［12-13］，滿足滑坡條柱3個(gè)方向靜力和轉(zhuǎn)動(dòng)力矩平衡；（4）三維Sarmar法［14-15］，滿足所有條塊分界面和底滑面均達(dá)到剪切極限；（5）三維剩余推力法［16］，滿足滑坡條柱3個(gè)方向滿足靜力平衡；（6）嚴(yán)格三維極限平衡法［17-18］，滿足滑坡條柱3個(gè)方向滿足靜力平衡。這些計(jì)算方法大多是條分法的三維拓展，即條柱法。由于條柱間未知作用力數(shù)量較多，為了使問題靜定可解，條柱法引入不同的基本假定［9］，這些基本假定由于其不同的特性各有優(yōu)、缺點(diǎn)［19］。此外，不是所有條柱法都滿足6個(gè)平衡方程，即便是滿足6個(gè)平衡方程的嚴(yán)格三維極限平衡法［17］，其穩(wěn)定性系數(shù)的解也并不唯一。對(duì)于巖質(zhì)邊坡被多組節(jié)理切割的情況，條柱法計(jì)算過程十分復(fù)雜。因此，條柱法的應(yīng)用仍存在一定爭議。除條柱法外，還存在如概率分析法及數(shù)值模型分析等方法［20-22］，但這些方法均存在其不同的優(yōu)缺點(diǎn)，且需進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算。

文中基于空間解析幾何學(xué)和極限平衡法，同時(shí)可考慮各結(jié)構(gòu)面上所有力對(duì)危巖體的影響，提出了一種可考慮周圍巖體夾持作用的滑移式危巖三維穩(wěn)定性計(jì)算方法，為危巖體穩(wěn)定性評(píng)價(jià)提供科學(xué)的計(jì)算方法。

1 計(jì)算模型及理論推導(dǎo)

1.1 規(guī)范方法

滑移式危巖體是一種常見的地質(zhì)災(zāi)害，我國規(guī)范中一般采用將三維問題簡化為二維問題的方式計(jì)算其穩(wěn)定性。而對(duì)于楔形體滑塊《YS/T 5230-2019邊坡工程勘查規(guī)范》規(guī)定：對(duì)于巖質(zhì)邊坡被多組節(jié)理切割的情況，塊體穩(wěn)定性應(yīng)根據(jù)破壞的邊界條件，按空間問題進(jìn)行分析［23］。比如，由兩組結(jié)構(gòu)面切割形成潛在滑移楔形體（圖1），其可能沿結(jié)構(gòu)面交線下滑，邊坡穩(wěn)定系數(shù)按下式計(jì)算：

式中：NA、NB為潛在滑移體所受重力作用于A、B結(jié)構(gòu)面上的法向分力（kN）；TAB為潛在滑移體所受重力在組合交線上的切向分力（kN）；TA、TB為A、B結(jié)構(gòu)面的面積（m2）；cA、cB為A、B構(gòu)面的黏聚力（kPa）；φA、φB為A、B結(jié)構(gòu)面上的內(nèi)摩擦角（°）。

楔形體穩(wěn)定性計(jì)算方法由于其計(jì)算過程簡單而得到了廣泛的應(yīng)用。但由于其只能計(jì)算天然和地震工況，無法計(jì)算降雨工況下楔形體的穩(wěn)定性系數(shù)，所以該方法具有一定局限性。

當(dāng)巖質(zhì)邊坡為斜向坡時(shí)（即底滑面傾向與坡面傾向斜交），危巖體存在視傾向滑動(dòng)可能［22］，危巖體將受到兩側(cè)巖體夾持作用。此外，背斜核部和逆沖斷層帶處的危巖體也可能受到兩側(cè)巖體夾持作用。根據(jù)危巖體空間幾何形狀，危巖體可分為3種情況：上大下小模型（圖2（a））、上小下大模型（圖2（b））和上下等大模型（圖2（c））。文中主要介紹上大下小模型的具體計(jì)算過程，其余兩種類型可根據(jù)該過程依次類推。

圖1 由兩組結(jié)構(gòu)面切割形成潛在滑移楔形體Fig.1 Potential sliding block controlled by two sets of structural planes

圖2 危巖體模型Fig.2 Models of unstable rock mass

1.2 危巖體幾何模型

如圖3所示上大下小模型危巖體，假定危巖體受3組結(jié)構(gòu)面切割而成，危巖體底部緩傾結(jié)構(gòu)面傾角為θ，兩側(cè)陡傾結(jié)構(gòu)面傾角為β1和β2。鎖固段（巖橋）由面BCPGF構(gòu)成，裂隙面由面ABFE、面ABCD和面EFGH構(gòu)成。面ADHE平行于面BCPGF并與水平面成θ角；線段AE、CG、DH和BF均平行于水平面；過BF中點(diǎn)O作垂線交CG于P點(diǎn)。對(duì)各結(jié)構(gòu)面建立局部坐標(biāo)系（表1）。

圖3 滑移式危巖體三維幾何模型Fig.3 Three-dimensional geometric model of unstable rock mass with a sliding plane

表1 結(jié)構(gòu)面空間幾何形態(tài)參數(shù)Table 1 Spatial geometry parameters of structural planes

1.3 基本假定

考慮危巖體最不利條件，該模型的基本假設(shè)有：

（1）鎖固段巖石抗剪強(qiáng)度取巖石峰值粘聚力cf和峰值內(nèi)摩擦角φf，裂隙面抗剪強(qiáng)度取巖石殘余內(nèi)摩擦角φr；

（2）面BCPGF、面EFGH、面ABCD、面ABFE均達(dá)到極限平衡狀態(tài)，滿足Mohr-Coulomb準(zhǔn)則；

（3）由于兩側(cè)夾持效應(yīng)，忽略側(cè)面和底面的轉(zhuǎn)動(dòng)作用，危巖體只沿底滑面的合力方向滑動(dòng)；

（4）假定結(jié)構(gòu)面ABCD所受力的作用點(diǎn)為AB邊和BC邊中垂線的交點(diǎn)，結(jié)構(gòu)面EFGH所受力的作用點(diǎn)為FE邊和FG邊中垂線的交點(diǎn)。

1.4 空間向量的等效變換

空間向量的等效變換可以看作是坐標(biāo)系之間的變換，即將坐標(biāo)系Φ1、Φ2先進(jìn)行轉(zhuǎn)軸變換再進(jìn)行移軸變換。該過程中所求得公式即為空間向量的變換公式。

（1）空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)軸變換

為了將坐標(biāo)系Φ1中的向量變換至坐標(biāo)系Φ0，需要補(bǔ)充2個(gè)輔助坐標(biāo)系Φ11和Φ12（圖4）。坐標(biāo)系Φ11（O1-x11y11z11）為坐標(biāo)系Φ1繞x1軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β1-π/2角度得到的坐標(biāo)系（圖4（a）），坐標(biāo)系Φ12（O1-x12y12z12）為坐標(biāo)系Φ11繞z11軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)δ1角度得到的坐標(biāo)系（圖4（b））。坐標(biāo)系Φ1和坐標(biāo)系Φ11各坐標(biāo)軸夾角，如表2所示，坐標(biāo)系Φ11和坐標(biāo)系Φ12中各坐標(biāo)軸夾角，如表3所示。

圖4 坐標(biāo)系Φ1、Φ11和Φ12空間幾何關(guān)系Fig.4 Spatial geometric relationship among the coordinate systems Φ1，Φ11 and Φ12

表2 坐標(biāo)系Φ1坐標(biāo)軸與坐標(biāo)系Φ11坐標(biāo)軸夾角Table 2 Angles between coordinate systems Φ1 and Φ11

表3 坐標(biāo)系Φ11坐標(biāo)軸與坐標(biāo)系Φ12坐標(biāo)軸夾角Table 3 Angles between coordinate systems Φ11 and Φ12

由表2可得從坐標(biāo)系Φ1旋轉(zhuǎn)至坐標(biāo)系Φ11的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

由表3可得從坐標(biāo)系Φ11旋轉(zhuǎn)至坐標(biāo)系Φ12的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

所以將坐標(biāo)系Φ1中向量旋轉(zhuǎn)至與坐標(biāo)系Φ0的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

同理可得，將坐標(biāo)系Φ2中向量旋轉(zhuǎn)至與坐標(biāo)系Φ0坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

（2）空間坐標(biāo)系的移軸變換

根據(jù)空間解析幾何，空間坐標(biāo)系的移軸變換公式為：

式中：x、y、z為舊坐標(biāo)系中坐標(biāo)值；x′、y′、z′為新坐標(biāo)系中坐標(biāo)值；x0、y0、z0為新坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

根據(jù)移軸式（6）求得O0點(diǎn)在坐標(biāo)系Φ12和坐標(biāo)系Φ22中的坐標(biāo)值以及平移向量（表4）。

（3）空間向量的變換公式

由式（5）和式（6）可推導(dǎo)出空間向量的變換公式為：

表4 O0在坐標(biāo)系Φ12和Φ22中坐標(biāo)及平移向量Table 4 Coordinates of point O0 in coordinate systems Φ12 and Φ22 and translation vectors

1.5 天然工況下危巖體穩(wěn)定性計(jì)算

天然工況下，只考慮重力作用，對(duì)危巖體進(jìn)行切割，將重力分配到各結(jié)構(gòu)面對(duì)應(yīng)的局部坐標(biāo)系Φ1和Φ2，進(jìn)行受力分析并用空間向量表示（圖3），再將所有空間向量變換至主滑面坐標(biāo)系Φ0?；贛ohr-Coulomb準(zhǔn)則，計(jì)算主滑面上的抗滑力和下滑力，求出穩(wěn)定性系數(shù)Fs。具體計(jì)算過程如下：

（1）計(jì)算坐標(biāo)系Φ0（O0-x0y0z0）中所受的力

多面體ABCDEFGH的重力W0在坐標(biāo)系Φ0中向量為W′0；

結(jié)構(gòu)面ABFE的抗滑力F0，其大小為：

式中：NABFE為潛在滑動(dòng)體重力在結(jié)構(gòu)面ABFE法向的分量；φ0為結(jié)構(gòu)面ABFE的內(nèi)摩擦角；c0為結(jié)構(gòu)面ABFE的內(nèi)聚力；A0為結(jié)構(gòu)面ABFE的面積。

其在坐標(biāo)系Φ0中向量為F′0。

（2）計(jì)算坐標(biāo)系Φ1（O1-x1y1z1）中所受的力

結(jié)構(gòu)面ABCD的抗滑力F1，其大小為：

式中：NABCD為潛在滑動(dòng)體重力在結(jié)構(gòu)面ABCD法向的分量；φ1為結(jié)構(gòu)面ABCD的內(nèi)摩擦角；c1為結(jié)構(gòu)面ABCD的內(nèi)聚力；A1為結(jié)構(gòu)面ABCD的面積。

其在坐標(biāo)系Φ1中向量為

式中：a、b為結(jié)構(gòu)面ABCD的力作用點(diǎn)的坐標(biāo)。

將空間向量F1變換至坐標(biāo)系Φ0：

（3）計(jì)算坐標(biāo)系Φ（2O2-x2y2z2）中所受的力

同上可得，將結(jié)構(gòu)面EFHG的抗滑力F2變換至坐標(biāo)系Φ0的變換公式為：

（4）空間滑移式危巖體穩(wěn)定性計(jì)算

x0軸方向合力Fx0為：

y0軸方向合力Fy0為：

下滑力T為：

抗滑力R為：

穩(wěn)定性系數(shù)Fs為：

滑動(dòng)方向與x0軸夾角δ為：

1.6 暴雨工況下危巖體的穩(wěn)定性計(jì)算

暴雨工況下，考慮最危險(xiǎn)情況（后側(cè)與兩側(cè)結(jié)構(gòu)面全部被水充滿），結(jié)構(gòu)面抗剪能力完全喪失，只剩下靜水壓力作用。巖體的重度取飽和重度，重力的計(jì)算過程與1.5節(jié)相同。靜水壓力具體計(jì)算過程如下：

（1）坐標(biāo)系Φ0（O0-x0y0z0）中所受的靜水壓力

結(jié)構(gòu)面ABFE上靜水壓力Fw0在坐標(biāo)系Φ0中的向量為F′w0。

（2）坐標(biāo)系Φ1（O1-x1y1z1）中所受的靜水壓力

結(jié)構(gòu)面ABCD上的靜水壓力Fw1在坐標(biāo)系Φ1中向量為Fw1。

將空間向量Fw1變換至坐標(biāo)系Φ0：

（3）坐標(biāo)系Φ2（O2-x2y2z2）中所受的靜水壓力

結(jié)構(gòu)面EFGH上的水壓力Fw2在坐標(biāo)系Φ2中向量為Fw2。

將空間向量Fw2變換至坐標(biāo)系Φ0：

（4）空間滑移式危巖體穩(wěn)定性計(jì)算

x0軸方向Fx0合力為：

y0軸方向Fy0合力為：

下滑力T為：

抗滑力R為：

穩(wěn)定性系數(shù)Fs與滑動(dòng)偏轉(zhuǎn)角δ同1.5節(jié)。

1.7 地震工況下危巖體的穩(wěn)定性計(jì)算

地震工況下，考慮豎向和水平向的地震慣性力。計(jì)算過程與1.5節(jié)相同。根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范（GB 50011-2010）》［24］，地震慣性力計(jì)算公式如下：

地震水平慣性力Fhi：

地震豎直慣性力Fvi：

式中：a1為水平地震影響系數(shù)值，按表5取值；avmax為豎向地震影響系數(shù)的最大值，取水平地震影響系數(shù)最大值的65%；Geq為總重力荷載。

表5 水平地震影響系數(shù)最大值Table 5 The maximum value of horizontal seismic influence coefficient

（1）坐標(biāo)系Φ0（O0-x0y0z0）中所受的力

由于水平和豎向地震慣性力的作用，潛在滑動(dòng)體的重力應(yīng)減去豎向地震力部分，則：

水平慣性力Fh0=a1GABCDEFGH，在坐標(biāo)系Φ0中向量為Fh0。

（2）坐標(biāo)系Φ1（O1-x1y1z1）中所受的力

由于豎向地震慣性力的作用，該坐標(biāo)系內(nèi)的抗滑力F1=NABCDtanφ1+c1A1，其在坐標(biāo)系Φ1中向量為F1。

將空間向量F1變換至坐標(biāo)系Φ0：

（3）坐標(biāo)系Φ2（O2-x2y2z2）中所受的力

該坐標(biāo)系內(nèi)計(jì)算方法同坐標(biāo)系Φ1，可得到坐標(biāo)系Φ0內(nèi)空間向量F2′。

（4）空間滑移式危巖體穩(wěn)定性計(jì)算

x0軸方向合力Fx0為：

y0軸方向合力Fy0為：

下滑力T為：

抗滑力R為：

穩(wěn)定性系數(shù)Fs與滑動(dòng)偏轉(zhuǎn)角δ同1.5節(jié)。

2 算例

陳祖煜等［9］曾在其發(fā)表文章中對(duì)楔形體問題進(jìn)行計(jì)算，其算例考察一個(gè)如圖5所示的楔形體，其幾何形體和物理參數(shù)如表6所示，其中楔形體坡高64.89 m，巖石容重26 kN/m3。計(jì)算左、右結(jié)構(gòu)面強(qiáng)度參數(shù)相同和不同2種工況。

圖5 楔形體穩(wěn)定性分析算例Fig.5 A stability analysis example of wedge sliding body

表6 楔形體的幾何、物理參數(shù)Table 6 Parameters of geometry and geotechnical properties of wedge sliding body

當(dāng)兩側(cè)結(jié)構(gòu)面參數(shù)一致時(shí)，陳祖煜算法和規(guī)范算法算出的安全系數(shù)均為F=1.55，文中算法得出的安全系數(shù)為1.52。當(dāng)兩側(cè)結(jié)構(gòu)面參數(shù)不一致時(shí)，陳祖煜算法和規(guī)范算法算出的安全系數(shù)均為F=1.18，文中算法得出的安全系數(shù)為1.16。由此可見，對(duì)于給出的算例，文中計(jì)算方法的結(jié)果與規(guī)范算法和陳祖煜算法較為接近，證明文中算法的有效性和合理性。

3 結(jié)論

（1）針對(duì)滑移式危巖體，采用空間解析幾何和極限平衡法，提出了一種可考慮危巖體兩側(cè)夾持效應(yīng)的危巖三維穩(wěn)定性計(jì)算方法。首先對(duì)危巖體圍限的結(jié)構(gòu)面建立各自的坐標(biāo)系，計(jì)算各坐標(biāo)系的空間力系，通過矢量變換，求得主滑面的抗滑力和下滑力，最終得到危巖體整體穩(wěn)定性系數(shù)。相較于二維方法，更加符合危巖體實(shí)際受力條件。

（2）危巖體兩側(cè)夾持作用和巖橋（鎖固段）抗剪作用對(duì)危巖體穩(wěn)定性有利。通常，當(dāng)區(qū)域最大主應(yīng)力與邊坡走向一致，且?guī)r體結(jié)構(gòu)面緊閉（張開度很小），可考慮側(cè)面的夾持效應(yīng)。當(dāng)結(jié)構(gòu)面不連續(xù)，存在巖橋時(shí)，可對(duì)結(jié)構(gòu)面進(jìn)行強(qiáng)度參數(shù)分區(qū)設(shè)置。

（3）經(jīng)典的楔形體（危巖）穩(wěn)定計(jì)算方法，假設(shè)危巖體沿交線方向滑動(dòng)。首先將重力分解為垂直交線和平行交線的分量，然后將垂直分量投影至兩個(gè)滑動(dòng)面的法線方向。其實(shí)質(zhì)即為：將滑動(dòng)體自重分別分配到兩個(gè)滑動(dòng)面。文中提出方法經(jīng)退化后與該計(jì)算方法一致，可認(rèn)為是本方法的一種特例。