沈光銀

學(xué)習(xí)空間幾何有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、空間觀念以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。［1］《盲校義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2016年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，盲生在圖形與幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)經(jīng)歷圖形的抽象、分類(lèi)、性質(zhì)探討、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過(guò)程，掌握?qǐng)D形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；建立空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維；在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合乎情理的推理和演繹推理能力等。［2］然而，由于盲生視覺(jué)通道受阻和盲用數(shù)學(xué)教具匱乏，盲校小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何的教學(xué)目標(biāo)與實(shí)際教學(xué)間存在著鴻溝。

《“十四五”特殊教育發(fā)展提升行動(dòng)計(jì)劃》要求“進(jìn)一步優(yōu)化完善殘疾學(xué)生特殊學(xué)習(xí)用品、干預(yù)訓(xùn)練及送教上門(mén)教師交通費(fèi)補(bǔ)助等政策”。《課程標(biāo)準(zhǔn)》也提出，教師應(yīng)努力收集、開(kāi)發(fā)制作簡(jiǎn)便實(shí)用的教具和學(xué)具。如何設(shè)計(jì)適合盲生使用的圖形與幾何教具？具身動(dòng)力學(xué)認(rèn)為，個(gè)體可以通過(guò)具身動(dòng)作開(kāi)展邏輯分析、問(wèn)題解決、意義建構(gòu)和推理論證等認(rèn)知活動(dòng)。［3］基于此，2014年亞伯拉罕森和林德格倫在《劍橋?qū)W習(xí)科學(xué)手冊(cè)（第二版）》中提出了具身設(shè)計(jì)的基本原理。［4］在盲校小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)中，教師可以依據(jù)具身設(shè)計(jì)的原理，將傳統(tǒng)視覺(jué)通道的教具改造成可借助觸摸覺(jué)和運(yùn)動(dòng)覺(jué)等通道使用的教具，提高盲生圖形與幾何學(xué)習(xí)成效。

一、利用圖形繪制教具與結(jié)構(gòu)搭建教具發(fā)展空間觀念

空間觀念是個(gè)體對(duì)空間中物體的位置以及位置之間關(guān)系的感性認(rèn)識(shí)，主要包括：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形；等等。［5］教師可以通過(guò)觸摸覺(jué)教具幫助盲生豐富觸摸覺(jué)表象，建立實(shí)物與圖形的聯(lián)系，從而發(fā)展其空間觀念。

（一）形成觸摸覺(jué)表象，發(fā)展空間感知能力

空間觀念是在空間知覺(jué)的基礎(chǔ)上形成的。關(guān)于物體形狀、大小和位置關(guān)系的表象則是在綜合同一類(lèi)事物的多次感知的基礎(chǔ)上形成的。［6］在盲校小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)中，教師可以開(kāi)發(fā)相關(guān)的觸摸覺(jué)教具，指導(dǎo)盲生通過(guò)觸摸來(lái)認(rèn)識(shí)各種圖形，明確圖形特征，正確建立圖形的觸摸覺(jué)表象。

例如，為了幫助盲生構(gòu)建基本的平面圖形的觸摸覺(jué)表象，筆者設(shè)計(jì)了“基本圖形繪制儀”（見(jiàn)圖1）?；緢D形繪制儀包括繪圖板、繪圖筆和繪圖膠膜三個(gè)部分：繪圖板由面板和背板鉸合而成，面板上分別鏤空著正方形、長(zhǎng)方形、圓形、梯形、平行四邊形和菱形的基本形狀及變式形狀；繪圖筆的筆頭由金屬制成；繪圖膠膜夾在面板和背板中間。盲生可利用繪圖筆在繪圖板中的圖形凹槽內(nèi)進(jìn)行繪制，使繪圖膠膜上形成凸起的可觸摸的平面圖形。該教具可以幫助盲生建構(gòu)圖形的基本形狀和變式形狀，理解圖形基本特征，從而發(fā)展空間感知能力。

（二）建立實(shí)物與圖形的聯(lián)系，培養(yǎng)空間想象力

關(guān)于物體形狀、大小和位置關(guān)系的表象是想象的必要素材，是形成空間想象力的基礎(chǔ)?？臻g想象力既包括從現(xiàn)實(shí)物體到平面圖形的抽象，也包括從平面圖形到現(xiàn)實(shí)物體的想象，還包括對(duì)平面方位的認(rèn)識(shí)及利用方位判斷物體所在位置的能力?？臻g想象力的培養(yǎng)需要盲生上手操作練習(xí)，因此開(kāi)發(fā)方便盲生使用的結(jié)構(gòu)搭建教具顯得尤為重要。

筆者設(shè)計(jì)了“結(jié)構(gòu)搭建與認(rèn)知教具”，實(shí)現(xiàn)幾何圖形的自由搭建和立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，便于盲生訓(xùn)練與提升空間想象力。該教具由立方體組塊和平面圖形展示板組成：立方體組塊可以根據(jù)需要自由組合，構(gòu)成不同形態(tài)的幾何形體；平面圖形展示板則由邊緣凸起的正方形矩陣構(gòu)成。盲生可通過(guò)觸摸覺(jué)和運(yùn)動(dòng)覺(jué)進(jìn)行自由搭建，發(fā)展對(duì)三維空間以及立體圖形組合、分解和變形的認(rèn)知能力。同時(shí)，盲生還可以運(yùn)用平面圖形展示板對(duì)所搭建的立體圖形進(jìn)行平面解析，探索平面圖形與立體圖形的關(guān)系及轉(zhuǎn)化原理，在觀察、操作、猜想和驗(yàn)證的反復(fù)活動(dòng)中發(fā)展空間想象力。

二、借助制圖教具與數(shù)形結(jié)合教具發(fā)展幾何直觀

幾何直觀是指借助見(jiàn)到的或想象出來(lái)的幾何圖形及其形象關(guān)系，對(duì)空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行直接感知及整體把握的能力。盲生需要借助有效的數(shù)學(xué)教具發(fā)展幾何直觀，以便將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象。

（一）利用制圖教具，加強(qiáng)對(duì)空間形式的整體把握

盲生對(duì)圖形與幾何的學(xué)習(xí)主要基于數(shù)學(xué)教科書(shū)中的圖示，是僅運(yùn)用觸摸覺(jué)認(rèn)識(shí)空間中抽象出的圖形的學(xué)習(xí)過(guò)程，難以感知圖形生成的原理和過(guò)程，因而影響了幾何直觀的發(fā)展。

為了培養(yǎng)盲生的幾何直觀，筆者設(shè)計(jì)并應(yīng)用“平行線制圖儀”“角的制圖儀”“圓的制圖儀”等制圖教具，幫助盲生認(rèn)識(shí)圖形生成的方法與過(guò)程，在各種凸圖的摸認(rèn)與學(xué)習(xí)過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)空間形式的整體把握。以平行線制圖儀為例，它包括繪圖板、繪圖筆和繪圖膠膜三個(gè)部分。平行線制圖儀提供了一個(gè)便捷的繪圖模型，方便盲生將三角板移動(dòng)到合適的位置，用繪圖筆沿著直角邊畫(huà)一組平行線。平行線制圖儀將繪制平行線的視覺(jué)認(rèn)知過(guò)程轉(zhuǎn)化成視覺(jué)、觸摸覺(jué)和運(yùn)動(dòng)覺(jué)協(xié)同合作的認(rèn)知過(guò)程，為盲生提供了獨(dú)立繪制并認(rèn)知圖形生成原理的機(jī)會(huì)，有利于其加強(qiáng)對(duì)空間形式的整體把握。

（二）利用數(shù)形結(jié)合教具，建立對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知

幾何直觀不僅表現(xiàn)為圖形的感知，還表現(xiàn)為借助見(jiàn)到或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。［7］教師可以設(shè)計(jì)并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合教具，讓盲生借助可觸摸的、直觀的圖形有序關(guān)系來(lái)理解抽象的數(shù)量關(guān)系。

幾何直觀具有解釋功能，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用幾何直觀可以更好地建立數(shù)形的聯(lián)系。究其原因，是由于幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象直觀化、顯性化。例如，為了幫助盲生理解表內(nèi)乘法口訣的生成邏輯與規(guī)律，筆者突破傳統(tǒng)的、抽象的“幾個(gè)相同數(shù)加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算”的逐個(gè)推演，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式開(kāi)發(fā)“表內(nèi)乘法口訣的數(shù)形學(xué)習(xí)器”（見(jiàn)圖2），利用幾何直觀表征數(shù)量關(guān)系。

表內(nèi)乘法口訣的數(shù)形學(xué)習(xí)器分為圖形和數(shù)字兩部分：圖形由邊緣凸起的9×9方格構(gòu)成；數(shù)字則分成橫縱兩列，有序地標(biāo)識(shí)在相應(yīng)數(shù)序的方格側(cè)面。該教具可以方便盲生運(yùn)用觸摸覺(jué)數(shù)方格來(lái)理解表內(nèi)乘法口訣的原理與規(guī)律，有利于盲生利用幾何直觀將抽象的數(shù)量關(guān)系顯性化、直觀化，從而更好地完成表內(nèi)乘法口訣的學(xué)習(xí)。

三、依靠推理教具發(fā)展推理能力

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。［8］推理一般包括合情推理和演繹推理：合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸類(lèi)和類(lèi)比等推斷出某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。推理能力培養(yǎng)是《課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的核心目標(biāo)之一，也是盲校小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)。教師在教學(xué)中可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的教具，幫助盲生豐富圖形與幾何的操作經(jīng)驗(yàn)，建立規(guī)則與證明過(guò)程的關(guān)系，從而發(fā)展其推理能力。

（一）利用教具豐富圖形與幾何的操作經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展合情推理能力

合情推理可在重復(fù)的圖形與幾何操作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)歸類(lèi)和類(lèi)比形成直覺(jué)能力，是對(duì)事物本質(zhì)規(guī)律的探索與解析過(guò)程。為了發(fā)展盲生的合情推理能力，教師可以從觸摸覺(jué)和運(yùn)動(dòng)覺(jué)通道出發(fā)，設(shè)計(jì)適合盲生使用的圖形與幾何教具。例如，在教學(xué)長(zhǎng)方形面積的過(guò)程中，由于盲文制圖是一種由凸點(diǎn)圍合而成的圖，所以無(wú)法呈現(xiàn)長(zhǎng)方形的形狀和大小特征，更難以借助該類(lèi)圖形直觀演示長(zhǎng)方形面積的推理過(guò)程?！伴L(zhǎng)方形面積推理器”（見(jiàn)圖3）依據(jù)具身設(shè)計(jì)的原理設(shè)計(jì)而成，方便盲生經(jīng)由操作體會(huì)長(zhǎng)方形面積的推理方法與過(guò)程。

長(zhǎng)方形面積推理器由操作板和正方形單元塊組成：操作板為長(zhǎng)方形，中間操作區(qū)為長(zhǎng)方形凹槽，用于擺放正方形單元塊；正方形單元塊為正面是正方形的長(zhǎng)方體，其底面粘著磁塊，以固定在操作板上。該教具將長(zhǎng)方形面積的推理原理轉(zhuǎn)化成固定的計(jì)算模型，方便盲生按照類(lèi)似“4×2”的矩陣擺放正方形單元塊，構(gòu)成多種大小的長(zhǎng)方形。同時(shí)，該教具還將長(zhǎng)方形面積推理的視覺(jué)認(rèn)知過(guò)程轉(zhuǎn)化成視覺(jué)、觸摸覺(jué)和運(yùn)動(dòng)覺(jué)共同參與的操作過(guò)程，方便盲生點(diǎn)數(shù)矩陣中正方形單元塊的數(shù)量，用加法計(jì)算長(zhǎng)方形的面積；點(diǎn)數(shù)矩陣中相鄰兩條邊的長(zhǎng)度，用乘法計(jì)算長(zhǎng)方形的面積。盲生在兩種計(jì)算方法的對(duì)比分析中體會(huì)長(zhǎng)方形面積的合情推理方法與過(guò)程，發(fā)展合情推理能力。

（二）利用教具建立規(guī)則與證明過(guò)程的聯(lián)系，培養(yǎng)演繹推理能力

演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則（包括邏輯與運(yùn)算）證明結(jié)論的正確性。演繹推理是幾何證明的核心能力，是基于事實(shí)建立規(guī)則、證明聯(lián)系的思維過(guò)程。盲生在演繹推理的學(xué)習(xí)中，一方面表現(xiàn)出因缺乏感知經(jīng)驗(yàn)而對(duì)基本事實(shí)和規(guī)則的學(xué)習(xí)理解不夠深刻，另一方面表現(xiàn)出規(guī)則與證明過(guò)程的脫離，需利用教具建立規(guī)則與證明過(guò)程的聯(lián)系。以同底等高三角形為例，鑒于盲生難以在視覺(jué)通道的主導(dǎo)下感知同底等高三角形因頂點(diǎn)移動(dòng)而發(fā)生變化的方法與過(guò)程，“同底等高三角形學(xué)習(xí)器”的設(shè)計(jì)從觸摸覺(jué)和運(yùn)動(dòng)覺(jué)通道出發(fā)，使盲生可以借助觸摸覺(jué)感知同底等高三角形的形態(tài)變化，幫助他們依據(jù)對(duì)現(xiàn)象的感知判斷獲得邏輯推理的結(jié)論。

同底等高三角形學(xué)習(xí)器由操作面板、三角形、固定旋鈕和滑槽四個(gè)部分組成：操作面板是一塊薄長(zhǎng)方體的實(shí)木板，板上鏤空一條水平方向的滑槽，背面裝著一個(gè)支架，便于將操作面板安穩(wěn)地放置在桌面上；三角形由一條有彈性的皮筋圍合而成，三角形的三個(gè)端點(diǎn)固定在固定旋鈕上；固定旋鈕用來(lái)固定三個(gè)端點(diǎn)，其中，三角形頂點(diǎn)的固定旋鈕可以沿著水平滑槽左右移動(dòng)，底邊兩個(gè)端點(diǎn)的固定旋鈕不能移動(dòng)；滑槽是與三角形底邊相平行的一條水平線，可以讓三角形頂點(diǎn)的旋鈕左右滑動(dòng)，從而構(gòu)建同底等高的一組三角形。該教具方便盲生基于觸摸覺(jué)和運(yùn)動(dòng)覺(jué)的操作，理解同底等高三角形的形成過(guò)程及相互關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)“同底等高”的特征應(yīng)用三角形面積公式證明同底等高三角形的面積相等，建立規(guī)則與證明過(guò)程的聯(lián)系，發(fā)展演繹推理能力。

視覺(jué)功能障礙以及盲文書(shū)寫(xiě)方式的異化導(dǎo)致盲生既難通過(guò)觀察分析來(lái)認(rèn)識(shí)抽象圖形，又難通過(guò)繪制圖形來(lái)理解其生成的方法與原理。在盲校小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)并應(yīng)用有效的教具來(lái)豐富盲生的圖形摸認(rèn)與繪制體驗(yàn)，幫助盲生建立數(shù)與形、證明與規(guī)則的聯(lián)系，從而提高圖形與幾何學(xué)習(xí)成效。