周永香 薛迅2)?

1)(華東師范大學(xué)物理系,上海 200241)

2)(新疆大學(xué)物理與技術(shù)學(xué)院,烏魯木齊 830046)

在軌道角動量守恒的無自旋-軌道耦合系統(tǒng)中存在帶軌道角動量量子數(shù)的電子渦旋波解,研究了存在自旋-軌道耦合,軌道角動量不守恒的系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)攜帶總角動量量子數(shù)的電子旋量波函數(shù)也有渦旋波解,表現(xiàn)為自旋波函數(shù)和渦旋波波函數(shù)的糾纏波函數(shù).以中心力場中的電子為例,構(gòu)建了自旋-軌道耦合導(dǎo)致的軌道角動量不守恒但總角動量守恒的情況下,攜帶固定總角動量量子數(shù)的電子沿 z 軸傳播的渦旋波旋量波函數(shù)結(jié)構(gòu).對自旋-渦旋糾纏中相應(yīng)的電子渦旋波進行了微擾求解,并結(jié)合Foldy-Wouthuysen 變換,說明了在相對論情況下,中心力場中攜帶固定總角動量量子數(shù)的電子沿 z 軸傳播時也確實存在四分量旋量的渦旋解,從而為有自旋-軌道耦合導(dǎo)致的軌道角動量不守恒但總角動量守恒的系統(tǒng)提供了存在渦旋結(jié)構(gòu)的理論支持.

1 引言

渦旋現(xiàn)象普遍出現(xiàn)于很多系統(tǒng)中,比如在經(jīng)典流體系統(tǒng)、量子流體系統(tǒng)、非線性場系統(tǒng)和光學(xué)系統(tǒng)中.攜帶軌道量子數(shù)l的光波構(gòu)成光學(xué)中的渦旋現(xiàn)象.Uchida 和Tonomura[1]首先將渦旋光波的概念推廣到了電子渦旋波,即攜帶軌道角動量的傳播電子態(tài),渦旋波的普遍特征是其等相面為連續(xù)螺旋面.在以傳播方向為軸向的柱坐標(biāo)系中,其波函數(shù)具有軌道角動量本征態(tài) eilφ形式的相位因子,φ是關(guān)于傳播軸的方位角,l為軌道角動量量子數(shù),渦旋波波函數(shù)具有連續(xù)螺旋狀的等相位面[2-6].量子化的渦旋可以對應(yīng)到帶非平庸拓撲數(shù)的拓撲孤立子解,Nye 和Berry[7]首先觀察到這種非平庸的拓撲結(jié)構(gòu),他們認為這是波列中類似于晶體缺陷的螺旋式位錯.

對電子渦旋態(tài)的描述可以借助薛定諤方程、狄拉克方程和克萊因戈登方程的渦旋波解,這三種方程的渦旋波解分別描述電子渦旋波的非相對論極限、電子渦旋波的相對論旋量結(jié)構(gòu)和電子渦旋波的相對論行為[1,8-13].由于電子渦旋波攜帶軌道角動量,表現(xiàn)為具有角動量本征態(tài) eilφ形式的分離變量解,等相面為螺旋面,在非相對論薛定諤方程研究框架中,自由電子和恒定磁場中的電子具有守恒的軌道角動量分量,均保證了波函數(shù)存在角動量本征態(tài) eilφ形式的分離變量解[14],渦旋波即為這種具有確定軌道角動量的電子傳播波函數(shù).對自由電子,從狄拉克哈密頓量來看,總角動量是守恒的,但軌道角動量和自旋角動量的z分量各自并不守恒,而在非相對論極限下,自由電子的哈密頓與軌道角動量的z對易,為了將相對論協(xié)變的理論過渡到非相對論極限,Barret[15]指出,正確的做法是借助Foldy-Wouthuysen(F-W)變換,這樣才能得到正確的薛定諤方程作為相對論電子波動方程的非相對論極限,使哈密頓量、電子波函數(shù)與軌道角動量具有良好的定義.F-W 變換對狄拉克旋量做幺正變換使得狄拉克哈密頓量對角化,在該表象(FW 表象)中,四旋量的上下二旋量滿足的方程可以分離,在F-W 表象中重新定義的軌道角動量L＇和自旋角動量S＇分別守恒,從而說明攜帶軌道角動量的自由電子在相對論系統(tǒng)中仍然有好的軌道角動量的定義.類似地,勻強磁場中的攜帶軌道角動量的相對論性電子也具有不守恒的軌道角動量和自旋角動量,但是在非相對極限下,勻強磁場中的電子所對應(yīng)的哈密頓與磁場方向軌道角動量分量Lz對易,在2020 年Zou 等[16]也同樣利用F-W變換,對角化電子的狄拉克哈密頓量,從而分離了上下旋量方程,得到了相對論情況下對應(yīng)的渦旋解和在勻強磁場中渦旋解所對應(yīng)的Guoy 相.Barret[15]和Zou 等[16]討論的相對論體系雖然表面上軌道角動量不守恒,但是可以利用表象變換找到與軌道角動量對易的哈密頓,而且這個幺正變換也可以重新定義“新的軌道角動量”,使在相對論系統(tǒng)中同樣存在守恒的軌道角動量,電子的傳播波函數(shù)也存在軌道角動量本征態(tài) eilφ的分離變量因子.

在自由電子和勻強磁場中的電子這兩類總角動量守恒的相對論體系中,可以通過F-W 變換構(gòu)造分別守恒的軌道角動量和自旋角動量,使得體系的軌道自由度和自旋自由度可以分離,亦即不存在自旋-軌道耦合,但更一般的情形是自旋自由度與軌道自由度存在耦合,這時通過表象變換構(gòu)建分別守恒的軌道角動量和自旋角動量原則上就是不可能的,在非相對論極限下的哈密頓會出現(xiàn)自旋-軌道耦合項,即使在非相對論極限下系統(tǒng)的軌道角動量也不守恒.比如中心力場中運動的電子,在非相對論極限下,哈密頓量存在中心力場導(dǎo)致的自旋-軌道耦合項,使得軌道角動量和自旋角動量都不再是守恒量,對于自由電子和勻強磁場中的電子由于軌道角動量守恒導(dǎo)致的電子渦旋解存在的機制就不再成立了.但總角動量依然保持守恒,具有確定總角動量量子數(shù)的量子態(tài),其不同自旋態(tài)軌道角動量只能相差 ? ,確定自旋的態(tài)其軌道角動量量子數(shù)依然是確定的,依然可以具有渦旋態(tài),但自旋-軌道耦合會使不同自旋態(tài)對應(yīng)的渦旋態(tài)之間產(chǎn)生糾纏,體系仍然可以具有渦旋波結(jié)構(gòu),只是不同自旋伴隨的渦旋波之間會有糾纏而已,這種情況比軌道角動量守恒體系的渦旋波解結(jié)構(gòu)更復(fù)雜,現(xiàn)象更豐富.本文研究了具有自旋-軌道耦合體系渦旋波解的存在問題,從中心力場中的狄拉克方程出發(fā),經(jīng)過表象變換之后,找到在中心力場中攜帶軌道角動量的電子,沿z軸傳播的渦旋解及對應(yīng)的等相位螺旋面.

2 中心力場中的電子渦旋

2.1 中心力場中的狄拉克方程

相對論電子波函數(shù)ψ滿足狄拉克方程:

其中哈密頓量

ψ為四分量旋量波函數(shù).這里p為動量矢量,m是質(zhì)量,V理解為VI4(中心力場乘以4 階單位矩陣),α和β為狄拉克矩陣[17]:

其中σ為泡利矩陣,I為2×2 單位矩陣.

對于中心力場,V=V(R),R=,(x,y,z)為空間笛卡爾坐標(biāo),r=為(x,y)坐標(biāo)平面極坐標(biāo)(r,φ)的矢徑,(r,φ,z)構(gòu)成空間柱坐標(biāo).從(2)式中狄拉克密頓量的形式易得,[Jz,H]=0,其中Lz,Sz,Jz分別為軌道角動量z分量,自旋角動量z分量,總角動量z分量.因此無法直接判斷中心力場中的相對論性電子是否存在攜帶軌道角動量沿z軸傳播的渦旋解.對于自由電子和恒定磁場中運動的電子的情形,可以借助F-W 變換,將狄拉克哈密頓量對角化,同時實現(xiàn)軌道自由度與自旋自由度的分離,得到的非相對論近似為無自旋-軌道耦合的泡利方程,即關(guān)于二分量旋量的薛定諤方程.在中心力場的情形,同樣借助F-W 變換,可以將(1)式中的四分量旋量波函數(shù)中的上下二分量旋量分開,從而變成關(guān)于二分量旋量的薛定諤方程作為相對論狄拉克方程的非相對論近似.

2.2 Foldy-Wouthuysen 變換

對(2)式中的哈密頓量做F-W 變換:

其中θ=α·p稱為奇算子,滿足{θ,β}=0,是導(dǎo)致四分量旋量的上下二分量旋量耦合的算子;ε為偶算子,不會導(dǎo)致上下二分量旋量耦合,滿足[ε,β]=0,在(4)式中ε=V+βm.F-W 變換即為消除哈密頓量中奇算子的幺正變換,借助自由電子的F-W 變換形式 eiS,其中S=-(i/2m)βθ[17-20],因為S被展開為 1/m的冪級數(shù),因而在非相對論極限下是“小的”,只保留到(動能/m)3和(動能)/m2項,故在我們所要求的精度階數(shù)內(nèi),做完變換之后的哈密頓量為

在H＇中θ＇=-(i/2m)βα·?V(r)-θ3/3m2為新的奇算子,對H＇再做一次F-W 變換,其中S＇=-(i/2m)βθ＇,得到

其中V(R)包含了達爾文項(1/8m2)(d2V(R)/dR2),一般情況下達爾文項相較勢能項可以忽略,本文忽略了達爾文項的貢獻;

這里的V(R)是不含達爾文項的中心力場勢能.哈密頓量(6)只包含偶算符,已經(jīng)對角化,從而能夠使四分量旋量波函數(shù)的上下二分量旋量不再混合,F-W 變換之后的狄拉克方程成為上下二分量旋量的獨立方程:

其中ψ＇＇=,為經(jīng)過兩次F-W 變換之后的四分量旋量.選取(8)式中的正能解對應(yīng)的二分量方程,即只取ψ＇＇的上分量φ＇＇,H＇＇不含時.可對φ＇＇進行時空變量分離,得到

和定態(tài)薛定諤方程

其中E=k2/2m,k2=.(10)式在柱坐標(biāo)系中的形式為

在柱坐標(biāo)系中

可以看到在(10)式中u的兩個自旋分量因為存在自旋-軌道耦合項而產(chǎn)生混合,這是系統(tǒng)中軌道角動量和自旋角動量不守恒的體現(xiàn),即 [Lz,H＇＇]0和 [Sz,H＇＇]0.但需要注意的是總角動量依然守恒,[Jz,H＇＇]=0.

2.3 攜帶總角動量的電子渦旋解

對于自由電子與勻強磁場中的電子兩種情形,雖然軌道角動量不守恒,但因為沒有自旋-軌道耦合,通過做F-W 變換,取F-W 表象,可以定義新的守恒軌道角動量和守恒自旋角動量.一般中心力場中運動的電子,會受到中心力場勢能導(dǎo)致自旋-軌道耦合作用,使得即使取F-W 表象,新的軌道角動量和自旋角動量也不可能守恒.渦旋波是攜帶軌道角動量的電子傳播態(tài),軌道角動量守恒保證了渦旋波的穩(wěn)定性,其在帶自旋的薛定諤方程中即體現(xiàn)為軌道角動量和自旋角動量為守恒量,自旋自由度與軌道自由度可以分離變量求解,從而得到渦旋波和自旋相互分離的渦旋結(jié)構(gòu).但對于中心力場勢能,電子的狄拉克哈密頓經(jīng)過F-W 變化之后,在非相對論極限下所對應(yīng)的哈密頓存在自旋-軌道耦合,導(dǎo)致系統(tǒng)軌道角動量不守恒,但總角動量守恒.攜帶固定總角動量量子數(shù)j=l+1/2 的電子在沿z軸傳播時所對應(yīng)的傳播解可以用總角動量的本征態(tài)即軌道本征波函數(shù)和自旋本征波函數(shù)的糾纏態(tài)表示,

其中l(wèi)為任意整數(shù);a(r,z)和b(r,z)為軸對稱波函數(shù).將Σ·L中的Σ矩陣的上旋量形式和L在柱坐標(biāo)下的變換均代入(11)式中,便可得

其中

將A的表達式代入(13)式可得到如下兩個方程:

方程(15)和方程(16)在ξ(R)=0 的無自旋-軌道耦合情形中退化為

這里u(r,z)指a(r,z)或者b(r,z),l為軌道量子數(shù)可取任意整數(shù).對于無自旋-軌道耦合的中心力場,不失一般性可取V=0,在方程(17)中做代換:

分離傳播因子 eikz得到

這里K2=k2-,其線性無關(guān)的解為貝塞爾函數(shù)u(r)～Jl(Kr)和漢克爾函數(shù)u(r)～Hl(Kr),由 此構(gòu)成的通解不能歸一化,這是因為事實上(19)式是自由粒子波函數(shù)滿足的方程.為產(chǎn)生空間徑向集中的渦旋波,需要在徑向施加物理束縛,使電子波集中在傳播軸附近,在數(shù)學(xué)上可以用傍軸近似來實現(xiàn)此束縛[21,22]:

可得

這里u(r,z)是軸對稱的束縛解,做變換

其中L(r,z),Q(z),P(z)為關(guān)于變量r,z的函數(shù).可分離方程(21)r→∞的漸近解形式,得到

ξ～V＇(R)=0 的情形可忽略勢能項V(R),通過令

并做變量代換ρ(r,z)=和τ=ρ2,方程(23)化為廣義拉蓋爾常微分方程:

對于ξ(R)0 的自旋-軌道耦合非退化情形,欲求方程組(15)和(16)的傳播解我們仿照ξ(R)=0 情形中對方程(17)處理,首先分離a(r,z)和b(r,z)的沿z軸的傳播因子 eikz,并做傍軸近似,得到軸對稱徑向束縛函數(shù)a＇(r,z)和b＇(r,z)滿足的方程:

其中,a=eikza＇,b=eikzb＇,由于中心力場的勢能項V不再是常值以及自旋-軌道耦合項ξ的存在,方程(17)的分離變量條件(24)和(25)并不能使方程組(28)和(29)分離變量,自旋-軌道耦合項ξ導(dǎo)致a(r,z)和b(r,z)耦合,而勢能項V和耦合項ξ則都導(dǎo)致分離變量的方法不再適用.即使忽略自旋-軌道耦合項ξ的效應(yīng),自由粒子情況的渦旋解也會被勢能修正,不再是嚴格的高斯-拉蓋爾型渦旋,原則上其解依然具有渦旋波的特征,等相面具有近似螺旋面的形狀,在遠離z軸的區(qū)域,波幅迅速衰減.自旋-軌道耦合項ξ的存在使得泡利方程的二分量旋量的兩個自旋分量是分別具有相差 ? 的軌道角動量取值的渦旋波,體系的波函數(shù)為自旋波函數(shù)與渦旋波函數(shù)的糾纏態(tài),可以視為渦旋波的旋量推廣,相較于無自旋-軌道耦合的系統(tǒng)旋量渦旋波函數(shù)有更復(fù)雜的結(jié)構(gòu).為展示這種結(jié)構(gòu),可以借助方程(17)的渦旋波解形式,對方程組(28)和(29)中的勢能項V和耦合項ξ進行微擾分析,將勢能項V和耦合項ξ視為微擾,零級近似就是拉蓋爾高斯渦旋解(27).

2.4 旋量渦旋波的微擾解

對a＇和b＇按勢能項V和耦合項ξ進行微擾展開,勢能項V和耦合項ξ為零時的軸對稱束縛波函數(shù)記為零階波函數(shù),包含了V和ξ導(dǎo)致的軸對稱束縛波函數(shù)一階修正,則a＇=φ0+φ1和b＇=η0+η1,將其代入(28)式和(29)式,得到軸對稱束縛波函數(shù)的零階近似滿足的方程:

以及軸對稱束縛波函數(shù)一階修正滿足的方程:

其中(30)式、(31)式即為V=0 情形的方程(21),這兩個方程的解為拉蓋爾-高斯解[22-24]:

為渦旋半徑,zR=為瑞利半徑.

對于軸對稱束縛波函數(shù)一階修正的兩個方程,注意到其與零階近似的區(qū)別在于,零階近似的方程為微分算子

的齊次或者無源微分方程,而一階修正方程(32)和方程(33)則為其非齊次或者有源微分方程.非齊次微分方程的求解可以借助其微分算子的格林函數(shù)解得到.以方程(32)為例,注意到完整波函數(shù)與軸對稱束縛波函數(shù)的關(guān)系(12)式、(18)式和傍軸近似(20)式,可得完整波函數(shù)一階修正滿足的方程:

方程(37)事實上是一個非齊次Helmholtz 方程,其格林函數(shù)方程為

其中δ3(x-x＇)為δ函數(shù),δ3(x-x＇)=δ(x-x＇)×δ(y-y＇)δ(z-z＇).方程(37)的解可借助格林函數(shù)表示為

對于無界空間V,無窮遠邊界條件為φ＇(x)→0 和G(x＇,x)→0,(40)式中表面?V上的積分沒有貢獻.由此通過求解柱坐標(biāo)系中Helmholtz 算子的格林 函數(shù)G＇(x＇,x),可以得到的具體形式.

3 柱坐標(biāo)系中Helmholtz 方程的格林函數(shù)

在柱坐標(biāo)系中格林函數(shù)方程(39)化為

對(41)式兩端做φ,z變量的正交歸一函數(shù)展開,由

可得徑向格林函數(shù)gm(r,r＇)滿足的方程:

其中K為徑向波數(shù),即K2=k2-.當(dāng)rr＇時,方程(45)有兩個線性獨立的解,第一類貝塞爾函數(shù) Jm(Kr)和第二類貝 塞爾函數(shù) Nm(Kr),對無界空間,gm(r,r＇)滿足r=0 處有限和r→∞處為零的邊條件,可得柱坐標(biāo)系中的格林函數(shù)解為[25]

其中r＜=min(r＇,r),r＞=max(r＇,r),K=.由(40)式得到

其中S＇=(2mV+lξ＇)φ0+.

拉蓋爾高斯型渦旋波φ0(34)式和η0(35)式軸對稱束縛部分依賴于量子數(shù)n和l,由于=1,因而n=0 時軸對稱束縛波函數(shù)在空間沒有節(jié)點,對應(yīng)束縛基態(tài),取n=0,l=1 可得

4 渦旋結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析

由(12)式,旋量波函數(shù)u的上分量為

從(47)式可以得到

因φ具有 eilφ的因子,是Lz本征值為l的本征態(tài),對(55)式進行數(shù)值分析,可以得到軌道量子數(shù)l=1 時,ρ為常數(shù)面與φ的等相面上相交出的螺旋線,見圖1;以及φ的螺旋等相位面,見圖2.

圖1 l=1 時,常 ρ 曲面與 φ 的等相面上相交出的螺旋線(其中 ρ=r/W(z)為無量綱徑向坐標(biāo)參量,X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2),波形每旋轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)動波函數(shù) eilφ 相位變化 2π)(a)ρ=1曲面與 φ 的等相面交線;(b)ρ=2 曲面與 φ 的等相面交線Fig.1.Spiral line intersected by the equiphase φ=constant surface and ρ=constant surface in case of l=1,where ρ=r/W(z)is the dimensionless radial coordinate parameter and X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2).The phase increase of the rotation wave function eilφ is 2π for every periodic rotation of the helix in space.(a)The spiral line intersected by the equiphase φ=constant surface and ρ=1 surface;(b)the spiral line intersected by the equiphase φ=constant surface and ρ=2 surface.

根據(jù)得到旋量上分量φ的方法,可以得到中心力場下的電子沿z軸運動時的旋量下分量解為

式中

其中

取徑向量子數(shù)n=0 的束縛基態(tài)和l=1,由(56)式給出了旋量下分量等相面與常ρ面的螺旋線交線,見圖3 和圖4,以及η的等相位面,見圖5.

圖3 和圖4 顯示軌道量子數(shù)l＇=l+1=2 時,旋量下分量等相面與等ρ面所交螺旋線分為兩條,而圖5 則更明確地表明,波函數(shù)螺旋等相面有兩支,這是因為φ初相位選取有 2π 整數(shù)倍的不確定性,奇數(shù)倍和偶數(shù)倍選取就會導(dǎo)致相應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)X,Y反號,因此導(dǎo)致了圖3、圖4 和圖5 中的一個等相位面分為兩支的情形.更一般地,對于一般l值,旋轉(zhuǎn)波函數(shù)因子 eilφ的初相位有 2π/|l|個可能取值,每個初相位取值確定等相位面的一支,每個固定相位,其等相面就分裂為|l|支.

圖3 z 取值從 -6到6 時,旋量下分量等相面與 ρ=1.2 面所交出的渦旋線,其中 X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2),ρ=r/W(z),波形每旋轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)動波函數(shù) ei(l+1)φ 相位變化 4πFig.3.Spiral line intersected by the spinor lower equiphase surface and the ρ=1.2 surface in case of the value of Z ranges from-6 to 6 ,where X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2),ρ=r/W(z).The phase increase of the rotation wave function ei(l+1)φ is 4π for every periodic rotation of the helix in space.

圖5 中心力場中攜帶軌道角動量的電子沿 z 軸傳播時其旋量下分量 η 的渦旋解等相面,所對應(yīng)的軌道量子數(shù)l+1=2,其中 X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2),ρ=r/W(z),波形每旋轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)動波函數(shù) ei(l+1)φ 相位變化 4πFig.5.Helical equiphase surface of the spinor lower component solution η when the electrons with orbital angular momentum propagate along z-axis in the central field and corresponding orbital quantum number is l+1=2,in which X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ×sin(φ/2),y=ρcos(φ/2),ρ=r/W(z).The phase increase of the rotation wave function ei(l+1)φ is 4π for every periodic rotation of the helix in space.

二分量旋量作為狄拉克旋量的非相對論極限在F-W 表象中是狄拉克旋量的上旋量,經(jīng)F-W 逆變換會將上下旋量糾纏起來,下旋量由上旋量給出,其在中心力場中的自旋渦旋糾纏態(tài)解,會使狄拉克旋量整體具有渦旋結(jié)構(gòu),這樣非相對論極限的渦旋解經(jīng)F-W 逆變換就可以給出相對論狄拉克旋量的渦旋解[15].

5 總結(jié)和展望

攜帶軌道角動量的傳播電子態(tài)其波前呈現(xiàn)螺旋面結(jié)構(gòu),這種電子波首先在自由電子系統(tǒng)和勻強磁場的系統(tǒng)中被預(yù)言和研究,對于有自旋-軌道耦合的體系,我們將渦旋波的概念推廣到了具有二維旋量結(jié)構(gòu)的波函數(shù)中,這種攜帶總角動量的渦旋電子波可以看成電子自旋態(tài)與軌道渦旋態(tài)的糾纏態(tài),是二分量旋量渦旋波,由狄拉克旋量與其非相對論極限二分量旋量的關(guān)系,討論了狄拉克旋量渦旋波可以經(jīng)由二分量旋量做F-W 逆變換來構(gòu)造.我們的研究從相對論情形還是非相對論極限兩個角度展示了有自旋-軌道耦合的體系中電子的旋量渦旋態(tài)的渦旋構(gòu)造.

二分量旋量渦旋波的求解過程中,發(fā)展了定態(tài)微擾論的思想,將其改造運用到旋量渦旋波的求解中.軌道旋量波的求解借助了光學(xué)上的傍軸近似,這個近似實質(zhì)上是引入一個等效的束縛勢,使得波函數(shù)的軸對稱因子呈現(xiàn)束縛態(tài)波函數(shù)性質(zhì).在旋量波函數(shù)的一階微擾論修正(32)式和(33)式求解過程中,為了數(shù)學(xué)上的方便,將傍軸近似恢復(fù)為嚴格形式.這相當(dāng)于撤去了軸對稱的束縛勢,對于渦旋波的軸對稱束縛波函數(shù)的求解必然存在影響,但是由于格林函數(shù)解(40)的形式,零階軸對稱波函數(shù)的束縛解保證了一階微擾修正的束縛解性質(zhì),零階波函數(shù)借助了傍軸近似,其效應(yīng)通過格林函數(shù)解的表達式(40)傳遞給了軸對稱波函數(shù)的一階修正,在一階修正滿足的微分方程中撤去傍軸近似,對于解的渦旋結(jié)構(gòu)不構(gòu)成破壞.

對于自旋-軌道耦合的體系,選取了中心力場誘導(dǎo)的自旋-軌道耦合,具體求解了這種體系中的旋量渦旋波函數(shù)解,相比于高度理想化的自由電子和勻強磁場體系,具有自旋-軌道耦合的體系較有普適性,其旋量渦旋波比單純的軌道渦旋波有更高的穩(wěn)定性和實驗上的可實現(xiàn)性.借助旋量渦旋波可以用來研究原子環(huán)境或者量子阱等微結(jié)構(gòu),也可以用來研究原子核環(huán)境中的帶軌道角動量的中子和質(zhì)子現(xiàn)象,核勢能導(dǎo)致的自旋-軌道耦合使得中子和質(zhì)子旋量渦旋波具有較強的自旋波函數(shù)與軌道渦旋波函數(shù)的糾纏效應(yīng),這些渦旋波對于研究核勢能都是很好的探針.而且電子渦旋束有望在顯微鏡分析中帶來新的應(yīng)用,其中電子束的軌道角動量有望提供有關(guān)樣品晶體、圖形、電子和磁性成分的新信息.電子顯微鏡將使人們能夠以原子或接近原子的分辨率繪制磁性信息,這便可以預(yù)期以螺旋電子波在電子顯微鏡和其他電子探測方面具有廣闊前景.此外電子渦旋態(tài)也與量子信息有關(guān),特別是電子渦旋可能被用來向玻色-愛因斯坦凝聚體中的渦旋傳遞角動量.