201101 上海市七寶中學(xué) 童永健 卜照澤

隨著“雙新”課改的推進(jìn)，2022年是上海采用二期課改教材高考的最后一年.同時(shí)，在疫情導(dǎo)致上海高考推遲的影響下，對(duì)這一年的考生而言，高考注定是特殊而不平凡的.

2022年上海高考數(shù)學(xué)卷一如往常，遵循整體平穩(wěn)，確保有序，又不忘突出考查學(xué)科核心素養(yǎng)的原則.前者體現(xiàn)在試題的結(jié)構(gòu)體量保持穩(wěn)定、全面考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有較多“常規(guī)”知識(shí)和技能的考查，讓考生“能得分”.而后者則體現(xiàn)在對(duì)考生能力考查的重視，部分試題穩(wěn)中有新，考查學(xué)生多元化思維、在情境中進(jìn)行問(wèn)題解讀、在探究過(guò)程中進(jìn)行思考與分析，讓考生不輕易“得高分”[1].今年的高考試題對(duì)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”)提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)均有體現(xiàn).從教師的視角看，今年的高考試題對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查比重更大，填空題、選擇題整體難度偏易，解答題中檔題居多，涉及的知識(shí)面廣，對(duì)考生要求較高；而對(duì)考生而言，考生普遍反映今年的高考試題較往年更有難度.要順利應(yīng)對(duì)高考的挑戰(zhàn)，圍繞核心素養(yǎng)的復(fù)習(xí)策略和能力培養(yǎng)途徑是值得思考的方向.

一、 注重邏輯推理素養(yǎng)，彰顯復(fù)雜問(wèn)題分析能力

課標(biāo)對(duì)邏輯推理素養(yǎng)有如下描述：“(學(xué)生)能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物的發(fā)展脈絡(luò)……”[2]正如課標(biāo)所指出的，今年的高考試卷在難題中特別體現(xiàn)對(duì)考生邏輯推理素養(yǎng)的考查.

對(duì)于“水平三”的邏輯推理素養(yǎng)，課標(biāo)指出：“……對(duì)于新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學(xué)命題.對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠通過(guò)構(gòu)建過(guò)渡性命題，探索論證的途徑，解決問(wèn)題……”[2]今年上海卷在第12、16、20、21題等位置的難題提升了不少難度，并對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)進(jìn)行了較多考查，這也成為考生反映整張?jiān)嚲砥y的原因之一.壓軸位置問(wèn)題難度的提升對(duì)考生核心素養(yǎng)、綜合分析及數(shù)學(xué)運(yùn)用能力、解題時(shí)思維的靈活運(yùn)轉(zhuǎn)，乃至高壓下心理抗壓能力都提出了更高的要求.

經(jīng)過(guò)嘗試后發(fā)現(xiàn)本題頭緒逐步清晰，“柳暗花明”，在思考過(guò)程中，要求考生進(jìn)行縝密的邏輯推理，一旦想“通”后即可快速得到答案.這類問(wèn)題是典型的圍繞“對(duì)于從沒見過(guò)的新問(wèn)題，如何去解決”的考查，對(duì)能力水平的要求較高，上海高考?jí)狠S題中也經(jīng)常出現(xiàn)類似的問(wèn)題.

例2(2022上海高考-16) 已知平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集Q={(x,y)|(x-k)2+(y-k2)2=4|k|,k∈Z}.

①存在直線l與Q沒有公共點(diǎn)，且Q中存在兩點(diǎn)在l的兩側(cè)；②存在直線l經(jīng)過(guò)Q中的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn).則( )

A.①成立,②成立 B.①成立,②不成立

C.①不成立,②成立 D.①不成立,②不成立

本題充分體現(xiàn)選擇題的特點(diǎn)，考生通過(guò)嘗試、探究及推理，可猜到正確答案，而并不用嚴(yán)格證明，同時(shí)，命題②的嚴(yán)格證明也是十分困難的.在解題過(guò)程中，腦中應(yīng)有一系列以拋物線上點(diǎn)為圓心的圓的圖像，是對(duì)抽象字母變化過(guò)程的直觀想象；對(duì)于兩個(gè)命題，在不同情況下分析判斷獲得信息，也是對(duì)直線與圓相交情況逐步明晰過(guò)程中的邏輯推理.

從近年上海高考題的命題特征看，能夠通過(guò)“嘗試”“猜測(cè)”解題的填空題、選擇題屢見不鮮，同時(shí)這也往往是尋找思路的突破口.填空題、選擇題往往有較大的思維量及較小的運(yùn)算量，需要考生多分析思考，如此命題與解題的路徑，也更能體現(xiàn)對(duì)考生綜合素養(yǎng)的考查.

例3(2022上海高考-21) 數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，若對(duì)任意n(n≥2)，都存在正整數(shù)i(1≤i≤n-1)，使得an+1=2an-ai.

(1)求a4的所有可能值；

(2)命題p：若a1,a2,a3,…,a8成等差數(shù)列，則a9<30，證明命題p為真.寫出命題p的逆命題q，并判斷命題q的真假，若命題q為真則證明，若命題q為假，請(qǐng)舉出反例；

(3)若對(duì)任意正整數(shù)m，a2m=3m，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

與前兩年相比，今年上海高考的壓軸題難度有所提升，涉及往年并不常見的數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)部分考生而言，相對(duì)陌生的解題方法導(dǎo)致了難度的增加.同時(shí)，在短時(shí)間內(nèi)找到問(wèn)題解決的思路，并完成證明，對(duì)考生的問(wèn)題分析能力、數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用和邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)都提出了較高的要求.

以上三題的解題思路均涉及了問(wèn)題解決時(shí)的猜想和歸納，深入剖析邏輯推理素養(yǎng)考查的具體內(nèi)涵，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，也體現(xiàn)從具體到抽象的思維過(guò)程.分析和解決這類問(wèn)題的能力是高等學(xué)府入學(xué)選拔考試進(jìn)行篩選的標(biāo)準(zhǔn)，也可以作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育方向和目標(biāo).

二、 加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，助推平穩(wěn)心態(tài)順利解題

這些題目表明，在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中所遇到的數(shù)據(jù)往往不是“湊”好的，而考生是否具備足夠的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以應(yīng)對(duì)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)中的運(yùn)算，也是高考所希望體現(xiàn)的.

圖1

例4(2022上海高考-19) 如圖1，AD=BC=6,AB=20，∠ABC=∠DAB=120°，O為AB中點(diǎn)，曲線CMD上所有的點(diǎn)到O的距離相等，MO⊥AB,P為曲線CM上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于OM對(duì)稱.

(1)若P在點(diǎn)C的位置，求∠POB的大??；

(2)求五邊形MQABP面積的最大值.

分析：近年來(lái)，上海高考試卷的第19題一般考查考生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，但今年此位置的題目?jī)H是一道三角知識(shí)背景下的圖形題，現(xiàn)實(shí)情境的去除應(yīng)是出于平衡難度、減少閱讀量的考量，在函數(shù)關(guān)系確立的過(guò)程中，仍對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有所涉及.

本題關(guān)系式建立相對(duì)容易，如存在現(xiàn)實(shí)背景，作為數(shù)學(xué)建模，應(yīng)對(duì)模型和結(jié)論在現(xiàn)實(shí)情境下是否適用與合理展開分析.另外，本題結(jié)論數(shù)據(jù)的設(shè)置應(yīng)是契合實(shí)際背景下產(chǎn)生的非整數(shù)或特殊值，另一方面也增加了運(yùn)算量，對(duì)考生數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查有所體現(xiàn).

(1)若a=2，AM的中點(diǎn)在x軸上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若橢圓Γ上存在點(diǎn)P到直線l的距離為d，且滿足d+|PF1|+|PF2|=6，當(dāng)a變化時(shí)，求d的最小值.

圖2

分析：解析幾何大題在每年高考試卷中都是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)考查最適合的載體，2022年上海卷的解析幾何問(wèn)題也推陳出新，摒棄傳統(tǒng)的設(shè)直線、聯(lián)立、韋達(dá)定理，而是更多考查了數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用.

課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求為“理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果”[2].可見數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)并不僅指計(jì)算，也包括概念公式的理解和應(yīng)用、求得結(jié)果過(guò)程中的思路、方法的探求，對(duì)問(wèn)題的分析、計(jì)算路徑合理性的評(píng)估等.本題將分類討論、函數(shù)與方程的思想等融入點(diǎn)到直線的距離、兩直線所成角等基礎(chǔ)的解析幾何公式的考查中，對(duì)考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)同樣有一定的要求.

可以看到，數(shù)學(xué)考試中的運(yùn)算往往會(huì)較大程度影響考生的心態(tài)，在復(fù)習(xí)和訓(xùn)練中，練就較強(qiáng)的運(yùn)算能力，以應(yīng)對(duì)不同復(fù)雜程度的運(yùn)算，強(qiáng)化考試過(guò)程中的心理承受度，能夠助力考生正常發(fā)揮，順利解題.

三、 兼顧其他核心素養(yǎng)，融合思想方法體現(xiàn)思維

在偏重邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的同時(shí)，整張高考卷在其他核心素養(yǎng)的考查上也有所體現(xiàn)，融合數(shù)學(xué)思想方法的全方位考查，能較好地體現(xiàn)考生綜合性思維，進(jìn)而起到區(qū)分選拔的目的.

例6(2022上海高考-18) 已知f(x)=log3(x+a)+log3(6-x).

(1)若將函數(shù)y=f(x)的圖像向下平移m(m>0)個(gè)單位，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)、(5,0)，求a與m的值；

(2)若a>-3且a≠0，解關(guān)于x的不等式f(x)≤f(6-x).

例7(2022上海高考-15) 如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P,Q,R,S分別為棱AB，BC，BB1，CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)A1S，B1D，空間任意兩點(diǎn)M,N,若線段MN上不存在點(diǎn)在線段A1S，B1D上，則稱M,N兩點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)D1可視的為( )

A.點(diǎn)PB.點(diǎn)BC.點(diǎn)RD.點(diǎn)Q

圖3

分析：要順利解決本題，應(yīng)先讀懂題目，題目涉及新定義的概念，能夠考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).簡(jiǎn)單而言，本題中的“可視”即求過(guò)點(diǎn)D1,且與A1S,B1D都異面的直線，即求與D1A1S與B1D1D不共面的點(diǎn)，易知A1D1∥PS,D1D∥B1B，故選D.以立體幾何為代表的直觀想象素養(yǎng)是每年高考的必考內(nèi)容，在選擇題中，考生可將選項(xiàng)代入進(jìn)行觀察，前提依然是對(duì)題意的解讀，在本題中化歸和轉(zhuǎn)化的思想體現(xiàn)突出.

從核心素養(yǎng)的視角看，無(wú)論是簡(jiǎn)單題還是難題，每道題都對(duì)一個(gè)或多個(gè)核心素養(yǎng)的考查有所體現(xiàn)，圍繞核心素養(yǎng)引申出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決路徑和方法，不變的依然是數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、化歸等數(shù)學(xué)思想方法.兩者并不矛盾，要順利解決高考中的問(wèn)題，特別是“新”問(wèn)題，需要用思想方法“武裝”思維，使核心素養(yǎng)有所體現(xiàn)，這是高考考查的目標(biāo)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).

四、 2022年上海高考數(shù)學(xué)卷帶來(lái)的思考

上海高考的數(shù)學(xué)題素有“重視思維過(guò)程，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程”的特點(diǎn)，特別是填空題、選擇題，較少有復(fù)雜的運(yùn)算，卻對(duì)問(wèn)題的理解和分析有較高的要求.今年高考雖然在數(shù)學(xué)運(yùn)算上給考生設(shè)置了一些困難，但試卷整體思維水平的體現(xiàn)依然遠(yuǎn)超純運(yùn)算，這也符合上海高考一直以來(lái)的趨勢(shì).高考卷的難度分配和命題方向始終有跡可循.

第一，從核心素養(yǎng)的視角看，高考緊密地圍繞了課程標(biāo)準(zhǔn)提出的六大核心素養(yǎng).每年高考卷的命題都會(huì)對(duì)各個(gè)核心素養(yǎng)進(jìn)行全方位考查，兼顧全面性，也不乏側(cè)重點(diǎn).同時(shí)，對(duì)考生核心素養(yǎng)相互融合下綜合能力和思維水平的考查，在中檔題及難題中有較多體現(xiàn).核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過(guò)程是一個(gè)長(zhǎng)期又復(fù)雜的工程.高考越來(lái)越多考查能力，而非解題技巧，如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中培養(yǎng)自身素養(yǎng)，通過(guò)能力“推得”技巧，是高中數(shù)學(xué)面對(duì)的一大課題[3].

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的依托是數(shù)學(xué)思想方法的滲透，用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的訓(xùn)練，能夠有效提升學(xué)生個(gè)人的能力水平，進(jìn)而從“應(yīng)試”中解放出來(lái).高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以知識(shí)為載體，在教學(xué)練習(xí)中不斷融入和強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，以知識(shí)習(xí)得、兼顧能力提升為目的，雙管齊下，共同關(guān)注.

第二，“雙新”課改將對(duì)2023年上海高考的數(shù)學(xué)學(xué)科帶來(lái)較大的變化.教師在復(fù)習(xí)和教學(xué)中依然能夠遵循核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為主線、基礎(chǔ)知識(shí)的習(xí)得為依托、在其周圍不斷開枝散葉的方針，并參考多年來(lái)上海高考卷的難度、結(jié)構(gòu)和命題特色，選擇有針對(duì)性和適用性的復(fù)習(xí)策略.

近年來(lái)高考始終追求平穩(wěn)，立足基礎(chǔ).題型變化不大，難度分配合理，無(wú)論是哪個(gè)層次的考生，都應(yīng)放眼基礎(chǔ)，力求“不該丟分的”一分不丟，而“努力能得分的”作為錦上添花，這是復(fù)習(xí)的方向和重點(diǎn)，也是確保高分的基石.要做到這一點(diǎn)，即要求對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)有較全面的認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)時(shí)強(qiáng)化單元性，復(fù)習(xí)時(shí)站在較高的觀點(diǎn)整體把握.數(shù)學(xué)知識(shí)切忌死記硬背，力求在理解中融會(huì)貫通.

第三，對(duì)于新教材刪去的內(nèi)容，在練習(xí)中應(yīng)精挑細(xì)選，不加入不考的內(nèi)容以增加負(fù)擔(dān).對(duì)于新教材改動(dòng)的內(nèi)容，教師應(yīng)更多予以關(guān)注，多思考變化帶來(lái)的啟示，有些問(wèn)題也可能來(lái)源于此，如單調(diào)和嚴(yán)格單調(diào)表述上的區(qū)別引發(fā)的問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的工具在單調(diào)性、最值、極值求解中的引入等.

對(duì)于新增的內(nèi)容，應(yīng)充分研讀課標(biāo)，以核心素養(yǎng)在新內(nèi)容中的融入為切入點(diǎn)，如概率統(tǒng)計(jì)(續(xù))可能出現(xiàn)涉及數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的解答題，即具有現(xiàn)實(shí)背景、需進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、建立一定數(shù)學(xué)模型的概率問(wèn)題或統(tǒng)計(jì)問(wèn)題.在“雙新”課改中，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)特別受到關(guān)注，可以看出，2017年-2019年高考試卷的第19題對(duì)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題進(jìn)行了一系列嘗試和探索，在未來(lái)的高考中，側(cè)重點(diǎn)可能是數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的某個(gè)環(huán)節(jié)，也可能是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的整體解決思路，甚至可能出現(xiàn)開放式的主觀題.在日常教學(xué)中，仍應(yīng)依托新教材豐富的資源，切實(shí)組織并開展建?；顒?dòng)，將建模素養(yǎng)的培育落到實(shí)處.

第四，數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科較為重要的素養(yǎng)，學(xué)生對(duì)其的掌握往往是較為薄弱的，這同時(shí)也與考生在考場(chǎng)的心態(tài)與應(yīng)變相關(guān)聯(lián)，是一種能力的體現(xiàn).計(jì)算器的使用能夠在很大程度上幫助考生進(jìn)行運(yùn)算、觀察函數(shù)的性質(zhì)等，在考試中也可挖掘計(jì)算器的“巧用”，充分體現(xiàn)從特殊到一般的思想，特別是面對(duì)選擇題，上海的高考題也較能體現(xiàn)填空題、選擇題小題的特點(diǎn).但在平時(shí)過(guò)多地依賴計(jì)算器，會(huì)使原本應(yīng)得到訓(xùn)練的思維過(guò)程被忽視，造成反向的作用，這也應(yīng)引起足夠的重視.