271400 山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué) 張志剛

一、 試題呈現(xiàn)

試題(2020屆浙江寧波高三上學(xué)期期末試卷)已知45x2-12xy+52y2=20，求3x2+4y2的范圍.

本題是二元二次方程約束條件下的二元函數(shù)范圍問(wèn)題，試題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔清新，構(gòu)思別具匠心，解法靈活多變，飽含數(shù)學(xué)思想，凝聚命題專家的智慧.但由于涉及知識(shí)點(diǎn)多、綜合性較強(qiáng)、思維跨度較大，呈現(xiàn)出較強(qiáng)的綜合性與選拔性，解答過(guò)程需要考生具備較高的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，以及轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論、換元法、配方法等典型數(shù)學(xué)思想和方法，頗具挑戰(zhàn)性和選拔性.

二、 命制背景

其幾何意義是，設(shè)給定目標(biāo)函數(shù)為f(x,y)，約束條件是φ(x，y)=0.如圖1，曲線L為約束條件φ(x，y)=0，f(x,y)=C為目標(biāo)函數(shù)的等值線族.在f(x,y)，φ(x,y)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的條件下，目標(biāo)函數(shù)f(x,y)在約束條件φ(x，y)=0下的可能極值點(diǎn)M(x0,y0)，從幾何上看，必是目標(biāo)函數(shù)等值線族中與約束條件曲線的切點(diǎn).

圖1

拉格朗日乘數(shù)法主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn).一是把目標(biāo)函數(shù)和等式約束統(tǒng)一到一個(gè)拉格朗日函數(shù)中；二是將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題，即通過(guò)引入拉格朗日乘數(shù)將含有n個(gè)變量和k個(gè)約束條件的約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含有n+k個(gè)變量的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題.因?yàn)樵跇?gòu)造的拉格朗日函數(shù)中無(wú)論約束條件φ(x，y)=0如何，都滿足限制條件.另外，L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中φ(x，y)=0，不難發(fā)現(xiàn)求z=f(x,y)的極值點(diǎn)其實(shí)就是求L(x,y)的極值點(diǎn)，兩者的極值是等價(jià)的，且與λ無(wú)關(guān)，至于增加λ的目的在于用待定系數(shù)法確定此拉格朗日函數(shù).拉格朗日乘數(shù)法能夠保證在取得最優(yōu)乘數(shù)的情況下兩者解的一致性，顯然通過(guò)求解拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)解來(lái)求得原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是一種更經(jīng)濟(jì)、更便捷的做法.應(yīng)用該法解答如下.

令L(x,y,λ)=3x2+4y2+λ(45x2-12xy+52y2-20)，

三、 試題解答

拉格朗日乘數(shù)法作為一種應(yīng)用廣泛的約束問(wèn)題優(yōu)化算法，其理論上的優(yōu)越性顯而易見(jiàn).然而,在實(shí)際操作中，學(xué)生對(duì)拉格朗日乘數(shù)法求極值原理的理解需要一個(gè)過(guò)程，對(duì)于求偏導(dǎo)數(shù)也是陌生的，此外，聯(lián)立方程組求解時(shí)對(duì)學(xué)生運(yùn)算求解能力要求較高.那么，本題如何用初等數(shù)學(xué)的方法解決？在高中階段，解決此類問(wèn)題可以分別從方程有解，函數(shù)最值(三角代換或?qū)?shù))，不等式(如重要不等式、基本不等式、柯西不等式)等途徑尋求突破，消參減元轉(zhuǎn)化是解決這類問(wèn)題的基本原則，把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或方程，再輔助以相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決.

思路1:應(yīng)用判別式法.對(duì)于二元函數(shù)取值范圍問(wèn)題，設(shè)目標(biāo)函數(shù)f(x,y)=k，轉(zhuǎn)化為方程有解，利用判別式Δ≥0構(gòu)造不等式，也是處理該類試題的常見(jiàn)思路.例如，本題利用目標(biāo)函數(shù)可構(gòu)造二次齊次式，分子、分母同時(shí)除以x2(或y2)，借助換元法將二元方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問(wèn)題，利用判別式Δ≥0求解.

評(píng)注：上述解答過(guò)程中，分子分母同時(shí)除以x2前，要關(guān)注x2是否為0，必要時(shí)進(jìn)行分類討論，以保證邏輯推理的嚴(yán)密性、等價(jià)性.類似地，當(dāng)y2≠0時(shí)，也可以分子分母同時(shí)除以y2.

思路3:重要不等式法.重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))是探索范圍(最值)問(wèn)題的有力工具.逆用重要不等式，可將a，b的乘積項(xiàng)放縮為平方和的形式.在本題中，已知條件45x2-12xy+52y2=20中，除了x，y的平方和外，還有x，y的乘積項(xiàng).而本題目標(biāo)式是平方和的形式，因此解題的方向也逐漸趨于明朗，即考慮將12xy進(jìn)行放縮，積極向所求平方和結(jié)構(gòu)3x2+4y2靠攏，其中系數(shù)的調(diào)控往往需要通過(guò)“拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊”等常見(jiàn)技巧實(shí)現(xiàn).具體過(guò)程如下.

評(píng)注：解法4、解法5雖然思維方向相反，但都是對(duì)條件(或結(jié)論)進(jìn)行變形、配方為平方和為1的典型模式，聯(lián)想到三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1，于是考慮進(jìn)行三角換元，把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量三角函數(shù)值域問(wèn)題，再利用正余弦函數(shù)的有界性輕松求解.

思路5:幾何意義.思路4中的兩種解法都是通過(guò)變形整理為“兩式平方和為1”的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而進(jìn)行三角代換解決問(wèn)題的.那么,如果不化成上述結(jié)構(gòu)形式，例如保留等式右側(cè)的數(shù)值“20”，是否依然能夠解決問(wèn)題？另一方面，通過(guò)高中解析幾何模塊的學(xué)習(xí)，可以知道每一種圓錐曲線都與一個(gè)二元方程相對(duì)應(yīng)，在討論圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，也總是試圖從圖形中獲取靈感.根據(jù)這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)本題中已知條件即是二元方程，于是猜想它在幾何上表示何種曲線，能否從幾何視角萌發(fā)解決問(wèn)題的思路，帶著這些疑問(wèn)進(jìn)行如下探究.

評(píng)注：本題條件是關(guān)于x，y的二次方程，容易聯(lián)想到圓錐曲線.為此，將方程等價(jià)變形，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換后變成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，欲求的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到中心的距離最值問(wèn)題.逆向來(lái)看，本題的已知條件就是一個(gè)經(jīng)歷旋轉(zhuǎn)變換之后的橢圓.從幾何視角考察問(wèn)題顯然更直觀形象，一目了然，也為認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)提供了全新的視角.

四、 強(qiáng)化訓(xùn)練

以拉格朗日乘數(shù)法為背景的二元方程約束條件下的二元最值問(wèn)題，歷來(lái)是高考和競(jìng)賽考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，試題一般是函數(shù)、方程與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用，技巧性較強(qiáng)，難度較大，可以從函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法、不等式工具等角度考慮，尋求解題靈感，如下面的兩例.

案例1(“超級(jí)全能生”浙江省2020年聯(lián)考B-10) 已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2-4xy-5y2=5，則x2+2y2的最小值為( )

解析：本題是二元二次方程約束條件下的二元最值問(wèn)題，可考慮通過(guò)上述思路求出極值.限于篇幅，現(xiàn)給出最常用的解法.

思路1:利用導(dǎo)數(shù)法.利用目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造齊次式，然后分子、分母同時(shí)除以x2(或y2)，換元后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.

①當(dāng)y=0時(shí)，x2+2y2=x2=5.

思路2:運(yùn)用基本不等式.觀察條件x2-4xy-5y2=5，發(fā)現(xiàn)該等式可以通過(guò)因式分解等價(jià)變形為(x-5y)(x+y)=5，由“積為定值”的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到進(jìn)行換元s=x-5y，t=x+y，從而將關(guān)于x，y的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為s，t的二元函數(shù)，進(jìn)而借助基本不等式可求出最值.

思路3:拉格朗日乘數(shù)法.

案例2(2017清華大學(xué)能力測(cè)試-12) 已知實(shí)數(shù)x,y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是( )

解析：參考案例1，答案為A.

五、 結(jié)語(yǔ)

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》提出：高考關(guān)注與創(chuàng)新密切相關(guān)的能力與素養(yǎng)，比如獨(dú)立思考能力、發(fā)散思維、逆向思維等.而追根溯源可以直擊命題意圖，橫跨縱聯(lián)也利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維等創(chuàng)新性思維.對(duì)于諸多高考真題和模擬題，教師要充分挖掘其意境高深悠遠(yuǎn)、再生能力強(qiáng)、探究空間大的優(yōu)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生分析條件，捕捉信息，抓住關(guān)鍵，挖掘本質(zhì)，揭示所求，尋求聯(lián)系，形成設(shè)想，構(gòu)建方案，啟迪學(xué)生運(yùn)用開放性、創(chuàng)新性的思維方式應(yīng)對(duì)問(wèn)題情境.而學(xué)生在感知確認(rèn)、抽象概括、合情推理、語(yǔ)言轉(zhuǎn)換、審美想象、操作運(yùn)算、揣摩切磋、思路調(diào)整等思維活動(dòng)中全方位、多角度、多層次地思考問(wèn)題，綜合運(yùn)用各種方法，提出新視角、新觀點(diǎn)、新設(shè)想，逐步學(xué)會(huì)有邏輯地思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地提供支撐，如此，才是藝術(shù)追求、智慧生成、活潑生動(dòng)的生態(tài)課堂.“一題多解”“一題多變”“多題一法”也充分體現(xiàn)了教學(xué)的簡(jiǎn)約性功能，在盡可能短的時(shí)間內(nèi)傳播盡可能多的數(shù)學(xué)思想，對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)也是一種“反動(dòng)”.[2]

需要注意的是，在引導(dǎo)學(xué)生探究時(shí)須充分考慮學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的階段性，注重整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施、有序落實(shí)、螺旋上升，循序進(jìn)階.