201108 上海星河灣雙語學(xué)校 胡清湉

現(xiàn)實問題中的數(shù)量關(guān)系分為相等關(guān)系和不等關(guān)系兩種.其中，相等關(guān)系衍生為“方程”，不等關(guān)系衍生為“不等式”，方程和不等式是初等數(shù)學(xué)中解決數(shù)量關(guān)系現(xiàn)實問題的有力工具之一，簡潔高效.又因為兩者蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，因此它們成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一個重要組成部分.受傳統(tǒng)教育模式的影響，部分教師在教學(xué)過程中忽視知識與概念背后的數(shù)學(xué)思想，缺乏對于數(shù)學(xué)概念整體的思考.筆者以“一次方程和不等式”為例，深入剖析在教學(xué)中需要重點滲透的數(shù)學(xué)思想.

一、 方程與不等式的核心思想

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，概念既需要分類，亦需要結(jié)構(gòu)化的思考，將各種知識點和方法融會貫通后抽象成一個概念體系，并能夠使用該抽象的概念體系逐步進行推理和建立模型，以解決更多問題.小學(xué)到中學(xué)階段，無論是國內(nèi)還是國外的教材，都將“方程與不等式”列為課程標準中的一個舉足輕重的篇章.以實際問題為背景，由基本等量關(guān)系而建立起來的代數(shù)方程有著非常高的實用價值，用方程求解實際問題能夠以靜制動、化逆為順.另一個非常重要的原因是，從代數(shù)角度來看，方程與不等式為“式”；而從圖形角度來看，方程與不等式則為“形”，它們更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物.方程與平面以及空間幾何圖形(如點、直線、曲線、平面、曲面等)都有對應(yīng)關(guān)系；而不等式則是以對應(yīng)方程為邊界的一些區(qū)域.方程與不等式之間“對立與統(tǒng)一”的關(guān)系使得兩者的聯(lián)系更為緊密，它們也是抽象思維和形象思維高度結(jié)合的產(chǎn)物.

二、 方程的初步認識

方程的學(xué)習(xí)在國內(nèi)外教材中普遍始于小學(xué)高年級階段，在此之前，學(xué)生基本使用算術(shù)方法解決問題.用算術(shù)方法解決問題的過程中，學(xué)生有時會使用逆向思維，而對于此類問題，使用方程求解能夠起到“化逆為順”的作用.如《九章算術(shù)》中有以下盈虧問題.

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？

(1)算術(shù)方法求解：在每個人出的金額不變的前提下，人數(shù)從8個變成7個時，原本總金額從還能盈余3元變成虧損4元，則人數(shù)為(3+4)÷(8-7)=7(個)，物價為8×7-3=53(元).

(2)使用方程求解：假設(shè)有x個人，根據(jù)物價不變性質(zhì)列出等式8x-3=7x+4,x=7(個).

在該盈虧問題的方程求解過程中，通過假設(shè)變量，順利地將一個實際問題轉(zhuǎn)化為求解變量的問題，體現(xiàn)出從具體到抽象的思想.通過假設(shè)變量，能夠?qū)⑶蠼狻耙阎鞭D(zhuǎn)化為“未知”，體現(xiàn)出化歸思想.算術(shù)方法的根本是找出“變化關(guān)系”，與算術(shù)方法相比，方程的本質(zhì)是找出等量關(guān)系，“以靜制動”，通過分析等量關(guān)系，從而能夠更為簡潔地解決實際問題.一年級到四年級的學(xué)生基本使用算術(shù)方法解決問題，但隨著解決問題難度的增加，算術(shù)問題往往不容易求解，這時方程就體現(xiàn)出它的優(yōu)勢了.例如，對于問題“把一張正方形的紙剪成若干個小正方形，如果剪成邊長為2厘米的小正方形，剪出的小正方形個數(shù)比剪成邊長為3厘米的小正方形多20個，兩種剪法都正好用完紙，原來這張正方形紙的面積是多少平方厘米？”根據(jù)正方形的面積不變，列出等量關(guān)系，根據(jù)兩種情況下原正方形面積的表示方法，可以得出相應(yīng)的方程.按照順向思維，找準等量關(guān)系就能夠迅速求解，簡言之，這就是“方程思想”.學(xué)生在小學(xué)階段重點學(xué)習(xí)一元一次方程的求解方式，一元一次方程的解在數(shù)軸上實質(zhì)即為一個點.作為方程的初步學(xué)習(xí)，一元一次方程的思想也為后續(xù)初高中方程和不等式的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

三、 方程的“式與形”

方程的“式與形”示意圖如圖1所示.

圖1

一次方程(或稱線性方程)是初中學(xué)習(xí)的重點，其主要包括一元一次方程、二元一次方程、三元一次方程.與之相對應(yīng)的是一次方程組，主要包括二元一次方程組、三元一次方程組.

前文已經(jīng)提及一元一次方程的解在數(shù)軸上體現(xiàn)為一個點.再看二元一次方程，它的代數(shù)形式為Ax+By=C(A,B,C是實數(shù))，其在直角坐標系中所有符合條件的點的集合{(x,y)|Ax+By=C}為一條直線，即一次函數(shù).因而，在美國Common Core課程標準中，二元一次方程被稱為“Linear Equation with two variables”(含有兩個變量的一次方程).作為函數(shù)而言，其性質(zhì)也值得深入討論，在此僅從方程組角度進行剖析.二元一次方程組在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)很重要的部分.對于二元一次方程組的解集，從“數(shù)”的角度出發(fā)，可以通過聯(lián)立方程組求得公共解；從“形”的角度出發(fā)，可以通過繪制直線圖形求得公共解.將解集與公共點有機結(jié)合，這其中蘊含的就是數(shù)形結(jié)合思想，無形的式與有形的圖結(jié)合在一起，把抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為形象化的問題，便于學(xué)生理解和分析.典型例題如下.

例題某手機話費運營商提供兩種話費套餐，套餐1為基礎(chǔ)月租費40元，此外每分鐘收取0.2元電話費；套餐2為月租費60元，不限電話使用時間.請問每月打多少分鐘電話時，兩種套餐總價一樣？

如果從圖像上分析，可以清晰地看出這兩個二元一次方程代表的兩條直線的位置關(guān)系是相交，而交點(100,60)正是該方程組的解(如圖2所示).從代數(shù)角度看，通過聯(lián)立方程組得到公共解；從圖形角度看，兩條直線的交點就是方程組的公共解.在該典型例題的講解過程中，將代數(shù)方程組的求解問題與兩直線位置關(guān)系結(jié)合進行教學(xué)，學(xué)生能夠?qū)τ诜匠探M的本質(zhì)有更深入的理解，從而更好地理解數(shù)形結(jié)合思想.

圖2

美國Common Core課程標準將二元一次方程組中兩個方程之間的兼容性和獨立性分為三類，即平行(無交點)、相交(1個交點)、重合(無數(shù)個交點)，對應(yīng)inconsistent system(不兼容系統(tǒng)),consistent and independent system(兼容且獨立系統(tǒng)),consistent and dependent system(兼容且依賴系統(tǒng)).

在國內(nèi)外課程體系中，兩條直線的三種位置關(guān)系判斷也有類似的闡述.美國教材在八年級講解如何通過直線的斜率和y軸截距進行判斷(如圖3所示)；而滬教版教材中，這部分內(nèi)容在高二年級講解，采用的方法基本為使用系數(shù)行列式進行判斷.對比這兩種方法，其本質(zhì)都是通過一定的代數(shù)式運算，得出有關(guān)圖形之間的關(guān)系，并能夠得出方程組解的個數(shù)的判斷.

圖3

四、 不等式的“式與形”

不等式的“式與形”示意圖如圖4所示.

圖4

一元一次不等式Ax>B或Ax≥B(A,B是實數(shù))的解集體現(xiàn)為數(shù)軸上的某一段.例如，2x-6≤-8的解集用集合表示為{x|x≤-1}或者(-∞,-1],在數(shù)軸上體現(xiàn)為以-1為端點(包括-1)向左延伸的射線，這即是數(shù)軸表示法，數(shù)軸表達方式也是數(shù)形結(jié)合的開端.對于一元一次不等式組來說，結(jié)合集合關(guān)系建立起來的交集與并集的運算更豐富了不等式組的內(nèi)涵.例如，以下一元一次不等式組(包含2個不等式)的解集表示如表1所示，假設(shè)其中常量a>b，并僅討論>或<的情形(≥或≤的情況可以類比得到).

在美國Common Core課程標準中，一元一次不等式組解集的表示被設(shè)置在八年級上學(xué)期學(xué)習(xí)，前序知識為一元一次不等式以及集合的初步認識，這讓八年級的學(xué)生初步體會了數(shù)形結(jié)合的思想.不過，因為涉及“邏輯判斷”思想，基于集合概念的一元一次不等式組的解集的運算，對于八年級學(xué)生來說仍然是一個難點，所以，需要經(jīng)過逐步消化后才能夠在高中進一步拓展，這也符合了美國教材螺旋上升的基本框架.在國內(nèi)的滬教版教材中，不等式組以交集為關(guān)聯(lián)方式的形式被設(shè)置在六年級下學(xué)期學(xué)習(xí)，前序知識為二元一次方程組的學(xué)習(xí)，但這部分的內(nèi)容僅以基本不等式為表達形式，并沒有加入集合的概念，僅加強了以數(shù)形結(jié)合為主的不等式組在數(shù)軸上的解集表示.滬教版教材涉及的集合概念將在高一展開深入講解，這也能夠讓學(xué)生在初中階段更好地打下運算求解、推理論證和數(shù)學(xué)表達能力的基礎(chǔ).此外，滬教版初中教材的另一個特點是沒有出現(xiàn)不等式組以并集為關(guān)聯(lián)方式的形式，但是學(xué)生在解決實際問題過程中采用的“分類討論”策略，其實就是并集邏輯思想的具體體現(xiàn).

表1

二元一次不等式的代數(shù)形式為Ax+By>C或Ax+By≥C(A,B,C是實數(shù))，其在直角坐標系中所有符合條件的點的集合，是以Ax+By=C為邊界的半平面區(qū)域.如此，二元一次方程與二元一次不等式在平面內(nèi)高度融合在一起，“相等”代表邊界線，“不等”代表半平面區(qū)域.如以下例題.

例題請用不等式組表示出圖5中的點線與實線的重合區(qū)域.

圖5

方程和不等式有機地結(jié)合在圖像中，體現(xiàn)出“對立與統(tǒng)一的”思想.首先要看出“邊界線”等同于“方程”，再者就是要把“半平面區(qū)域”看作“不等式”，“相交部分”即為“不等式組解集”，從而圖像問題與代數(shù)問題能夠進行相互表達.本質(zhì)上，二元一次不等式組類型的問題能夠很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感，從而進行形象思維和抽象思維的交叉運用，使得多種思維互相促進，有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力.

在線性規(guī)劃問題中，二元一次不等式組或多元一次不等式組是“約束條件”，再加上“目標函數(shù)”，即為完整的線性規(guī)劃問題.線性規(guī)劃是運籌學(xué)中一個重要分支，主要研究線性約束條件下目標函數(shù)的極值問題.美國Common Core課程標準中，將通過線性規(guī)劃建模實際問題中的找出約束條件以及求解目標函數(shù)極值問題，分為兩步，分別設(shè)置在八年級、十年級學(xué)習(xí).如八年級階段有如下例題.

例題某動物園管理員準備為山羊區(qū)做一個圍欄，圍欄的長至少要80米，圍欄周長不超過310米，問圍欄可能的長、寬分別是多少？

圖6

至此，筆者已對方程與不等式的概念體系進行了初步探究，并根據(jù)實際教學(xué)過程中需要體現(xiàn)出的教學(xué)重點展開分析，旨在培養(yǎng)學(xué)生對方程與不等式的結(jié)構(gòu)化思考，重點體會其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想，認識相互之間的對立與統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理和建立模型等方面綜合運用的素養(yǎng)和能力，感受數(shù)學(xué)文化之美，關(guān)注對于創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力的培養(yǎng).