201100 上海市莘松中學(xué) 楊玲慧

一、 背景分析

問題是數(shù)學(xué)的心臟.初中數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，從某方面而言，是為了培養(yǎng)和提高學(xué)生問題解決的能力.國際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目PISA自開展以來一直注重測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的學(xué)生問題解決能力.PISA評(píng)價(jià)委員會(huì)認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題解決能力的培養(yǎng)，不只是看學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)水平的高低，還要關(guān)注學(xué)生的思維能力和邏輯推理能力，更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的過程.也就是說，問題解決能力是一種思維習(xí)慣或者思維范式，它是一種能夠科學(xué)地解決問題的有效方法，這種能力應(yīng)當(dāng)成為現(xiàn)代人的一種必備的科學(xué)素養(yǎng)和基礎(chǔ)能力，是學(xué)生能力培養(yǎng)的核心，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展服務(wù).筆者所在的學(xué)校是一所公辦初中，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，差異性較大.究其原因，主要有以下幾個(gè)方面.

第一，部分學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣較差，不會(huì)及時(shí)梳理學(xué)過的知識(shí).

第二，部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣不大，課堂上不能認(rèn)真、積極地思考.

第三，部分學(xué)生遇到問題時(shí)不會(huì)積極尋找解決路徑，而是經(jīng)常選擇放棄.

這些原因?qū)嶋H體現(xiàn)了學(xué)生問題解決能力的匱乏.因?yàn)闆]有找到行之有效的問題解決的一系列思維方式，學(xué)生才會(huì)沒有學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，不得不選擇放棄.數(shù)學(xué)課堂是數(shù)學(xué)教學(xué)的主陣地，在平時(shí)的課堂教學(xué)中，筆者一直致力于研究如何通過解構(gòu)復(fù)雜的幾何圖形，提高學(xué)生的問題解決能力.筆者以“線段的中點(diǎn)”為抓手，闡述如何引導(dǎo)學(xué)生從“中點(diǎn)的聯(lián)想”切入，恰當(dāng)?shù)乩弥悬c(diǎn)和處理與中點(diǎn)有關(guān)的問題.

二、 中點(diǎn)的聯(lián)想

(一)建立中點(diǎn)模型

中點(diǎn)是將一條線段等分成兩部分的特殊點(diǎn)，要想利用好中點(diǎn)解決有關(guān)幾何圖形問題，首先必須掌握中點(diǎn)的性質(zhì)及與中點(diǎn)相關(guān)的幾個(gè)常用模型.

1.八字全等模型

當(dāng)已知條件中出現(xiàn)三角形的中線時(shí)，常常將此中線倍長構(gòu)造全等三角形解決問題.

模型解讀：如圖1，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，延長AD到E使AD=DE，聯(lián)結(jié)BE，則有△ADC≌△EDB.

圖1

作用：可以利用全等三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化相等的線段和相等的角.

2.“三線合一”模型

當(dāng)圖形中出現(xiàn)等腰三角形時(shí)，常隱含有底邊中點(diǎn)，將其與頂角的頂點(diǎn)聯(lián)結(jié)，可構(gòu)成等腰三角形的三線合一.

模型解讀：如圖2，在△ABC中，①AB=AC；②AD平分∠BAC；③BD=CD，④AD⊥BC.

圖2

“知二得二”：例如由①②作為條件可得結(jié)論③④，又如將②③作為條件，就可利用構(gòu)造“八字全等模型”證明得出結(jié)論①④.也就是說，以上四條語句中，任意選擇兩條作為條件，就可以推出其余兩條結(jié)論.

作用：可以利用“三線合一”模型證明相等的線段或相等的角、半角倍角以及兩條直線的垂直關(guān)系.

3.斜邊中線模型

當(dāng)中點(diǎn)出現(xiàn)在直角三角形的斜邊上時(shí)，就可以利用直角三角形斜邊中線定理(直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半).

圖3

此定理的證明也是利用了倍長中線構(gòu)造“八字全等模型”完成的.

作用：可以利用“斜邊中線模型”證明相等的線段或求解線段的長，還可以構(gòu)建等角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)換.

4.中位線定理模型

當(dāng)已知條件中同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)及以上中點(diǎn)時(shí)，?？紤]構(gòu)造中位線；或當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn)，要求證明平行線段或線段倍分關(guān)系時(shí)，也?？紤]構(gòu)造中位線.

圖4

此定理也是利用了中點(diǎn)構(gòu)造“八字全等模型”后構(gòu)建了平行四邊形完成證明.

作用：可以利用“中位線定理模型”證明平行線段或線段倍分關(guān)系，還可以構(gòu)建相似三角形獲得相關(guān)線段長的比例關(guān)系.

(二)學(xué)生問題梳理

單有這些數(shù)學(xué)模型并不能達(dá)到真正問題解決的目的.由于每一位學(xué)生都有各不相同的知識(shí)體驗(yàn)和生活積累，在解決問題的過程中，他們會(huì)有自己對(duì)問題的理解，所以學(xué)生在思考問題時(shí)所遇到的困難并不是單一的，而會(huì)出現(xiàn)各種不同的情況.

1.目標(biāo)指向單一

學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的現(xiàn)狀是能做幾何單一圖形題(例如已知線段AB的中點(diǎn)為C，求證AC=BC；當(dāng)AB=5時(shí)，求AC；已知中位線求其第三邊等)，在圖形給出、線條單一的情況下，基本能夠獨(dú)立解決問題.但是隨著幾何學(xué)習(xí)的不斷深入，圖形的復(fù)雜度也會(huì)不斷增加，這使學(xué)生的問題解決更顯困難.即使題設(shè)中有中點(diǎn)的條件，但不同的中點(diǎn)模型可以解決不同類型的問題，幾種模型之間又可以相互關(guān)聯(lián)應(yīng)用.事實(shí)上，“三線合一”模型、“斜邊中點(diǎn)”模型、“中位線定理”模型都是由“八字全等”模型轉(zhuǎn)化證明而得，但是很多學(xué)生卻只會(huì)單一知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，不會(huì)靈活合理地關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，無法將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用到當(dāng)前的問題情境中，這體現(xiàn)出學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的缺失或者雜亂無章.

2.不會(huì)關(guān)聯(lián)條件

中點(diǎn)的條件常常隱含在一定的情境中，需要學(xué)生自行挖掘后表征出來，才能轉(zhuǎn)化為合理的模型進(jìn)行應(yīng)用.

例如，如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn).將△BCD沿直線CD翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)AE.如果AE∥CD，那么BE=________.

圖5

此題的關(guān)鍵就是要利用翻折的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)線段BE被CD垂直平分，即BE與CD的交點(diǎn)是線段BE的中點(diǎn)，根據(jù)平行線得到點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)(中位線模型)，再由直角三角形斜邊中線模型完成等角的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)銳角三角比的轉(zhuǎn)化來求解.然而在實(shí)際操作中，學(xué)生不會(huì)將翻折得到的中點(diǎn)與已知的平行線關(guān)聯(lián)，也就無法利用中位線定理模型表征出點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵戛然而止.

3.不會(huì)還原模型

有些情況下，需要添加一條或幾條輔助線才能還原幾何圖形中蘊(yùn)含的基本模型，進(jìn)而解決問題，而模型只是給出了幾何圖形的基本框架，這就需要學(xué)生對(duì)自己的數(shù)學(xué)問題解決過程有一定的反思和調(diào)控.根據(jù)現(xiàn)有的條件，這樣添加輔助線行不行？那樣連線又會(huì)得到哪些結(jié)論？對(duì)目標(biāo)問題解決有沒有幫助？如果學(xué)生平時(shí)數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平低下，就不會(huì)根據(jù)條件分析問題，從而聯(lián)想出問題解決所需的幾何模型.

三、 以學(xué)生視角入手，培養(yǎng)問題解決能力

(一)完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指人關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的內(nèi)在的編碼系統(tǒng)，是一系列相互關(guān)聯(lián)的、非具體性的類目，它是人用以感知、加工外界信息以及進(jìn)行推理活動(dòng)的參照框架.學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單來說就是學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)結(jié)構(gòu).德國拓?fù)湫睦韺W(xué)家K.勒溫指出：學(xué)習(xí)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化，這個(gè)變化表現(xiàn)為分化、概括化與再組織三種方式.學(xué)生掌握的知識(shí)點(diǎn)單一，不會(huì)靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，不會(huì)關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，其重要的原因就是缺乏對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深刻理解，沒有把幾何模型與問題關(guān)聯(lián)起來進(jìn)行重新組織，也就找不到問題的突破口.怎樣才能讓學(xué)生深刻理解知識(shí)點(diǎn)？可以從不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)做起.要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)框架的形成過程.例如，對(duì)于中點(diǎn)模型的構(gòu)建，可以通過設(shè)置問題情境的形式，以中點(diǎn)條件為起點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生不斷累加其他條件進(jìn)行適切的聯(lián)想.而學(xué)生也會(huì)根據(jù)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中不同類別的幾何圖形進(jìn)行聯(lián)想，由中點(diǎn)加等腰聯(lián)想到“等腰三角形的三線合一”，由中點(diǎn)加直角三角形聯(lián)想到“直角三角形斜邊上的中線定理”，由中點(diǎn)加中點(diǎn)聯(lián)想到“三角形或梯形的中位線定理”，由中點(diǎn)加平行四邊形聯(lián)想到“中心對(duì)稱的全等三角形”.整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)“順應(yīng)”的過程，它不是知識(shí)的簡(jiǎn)單積累，而是學(xué)生在聯(lián)想的過程中通過對(duì)原先頭腦中的點(diǎn)狀知識(shí)進(jìn)行分化、概括、梳理、重新組織構(gòu)建的過程，是認(rèn)知結(jié)構(gòu)在不斷發(fā)生變化的過程.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者，引導(dǎo)者.”只有讓學(xué)生在課堂中主動(dòng)經(jīng)歷了新舊知識(shí)變化和關(guān)聯(lián)的形成過程，才能讓學(xué)生完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不是單一的，而是可以指向不同路徑，不同的路徑也是可以關(guān)聯(lián)的，學(xué)生才愿意由單點(diǎn)指向多點(diǎn)地發(fā)展自己的思維過程，多角度尋求問題解決的突破口.

(二)引導(dǎo)問題表征

問題表征是指問題狀態(tài)在問題解決者的頭腦中是如何呈現(xiàn)的.它反映了學(xué)生對(duì)問題的理解程度，涉及在問題情境中如何提取有關(guān)信息，包括目標(biāo)是什么，目標(biāo)和當(dāng)前狀態(tài)的關(guān)系等.問題表征方式不同，就會(huì)產(chǎn)生不同的解決方案.如果不能恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行問題表征，在一個(gè)錯(cuò)誤的問題空間搜索，就無法解決問題.上述例子中，學(xué)生不能很好地關(guān)聯(lián)問題中的條件，不能把圖形中隱藏的中點(diǎn)D挖掘出來，就是因?yàn)閷W(xué)生在問題表征時(shí)沒有沿著合理的表征方式進(jìn)行說明，導(dǎo)致問題無法繼續(xù)進(jìn)行.所以，課堂上引導(dǎo)學(xué)生正確問題表征是問題解決的關(guān)鍵.教師可以通過小組討論交流、設(shè)問解惑的過程循序漸進(jìn)地達(dá)到問題解決的目的.針對(duì)上述例子，筆者在課堂上給予學(xué)生足夠的時(shí)間讀題和思考后，拋出了以下問題鏈.

問題1你目前讀題讀到了怎樣的信息？

問題2這些信息讓你聯(lián)想到了什么？

問題3你對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)如何處理？

問題4這樣處理能解決問題嗎？

帶著這些問題，讓學(xué)生在小組內(nèi)交流自己的想法，逐步讓問題表征走向明朗化、合理化，具體如下.

表征方式1(如圖6所示)

圖6

問題1你目前讀題讀到了怎樣的信息？→我讀到了“△BCD沿直線CD翻折，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對(duì)稱點(diǎn)”.

問題2這些信息讓你聯(lián)想到了什么？→聯(lián)想到了“線段BE被CD垂直平分，即BE與CD的交點(diǎn)H是線段BE的中點(diǎn)”.

問題3你對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)如何處理？→我準(zhǔn)備將這個(gè)中點(diǎn)與另一個(gè)條件“AE∥CD”相結(jié)合，利用比例線段得到點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn).

問題4這樣處理能解決問題嗎？→這樣可以利用“斜邊中線模型”實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)化，即∠DBC=∠DCB,再利用銳角三角比可求出BE長的一半.

表征方式2(如圖7所示)

圖7

問題1你目前讀題讀到了怎樣的信息？→我讀到了“△BCD沿直線CD翻折，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對(duì)稱點(diǎn)”.

問題2這些信息讓你聯(lián)想到了什么？→聯(lián)想到了“△BCD≌△ECD”.

問題3你對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)如何處理？→我準(zhǔn)備根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到DE=DB,∠EDC=∠BDC,再由另一個(gè)條件“AE∥CD”得內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)化，即∠AED=∠EAD,再得DE=DA,于是可轉(zhuǎn)化為DB=DA,也就是說點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn).

問題4這樣處理能解決問題嗎？→這樣可以利用“斜邊中線模型”實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)化，即∠DBC=∠DCB,再利用銳角三角比可求出BE長的一半.

愛因斯坦說，“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要”；“只有善于發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的人，才能產(chǎn)生創(chuàng)新的沖動(dòng)”.在一個(gè)個(gè)引導(dǎo)進(jìn)一步思維的問題的指引下，學(xué)生利用頭腦中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把分散的條件逐漸關(guān)聯(lián)起來，逐步走向正確的問題表征，為問題的成功解決打好了基礎(chǔ).如果學(xué)生長期經(jīng)歷這樣以問題鏈促問題表征的訓(xùn)練，自然而然會(huì)構(gòu)建一個(gè)良好的問題結(jié)構(gòu)，不僅可以減少問題解決的盲目性，而且有助于培養(yǎng)克服困難的品質(zhì)，發(fā)展探索精神，形成數(shù)學(xué)思維方式，提高問題解決能力.

(三)提升元認(rèn)知力

什么是元認(rèn)知？元認(rèn)知就是認(rèn)知主體對(duì)其認(rèn)知活動(dòng)的自我意識(shí)、自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié).傳統(tǒng)的教學(xué)模式提倡“題海戰(zhàn)術(shù)”“熟能生巧”，導(dǎo)致學(xué)生在嘗試一種解決策略進(jìn)入死胡同時(shí)，不能及時(shí)反思、及時(shí)自我調(diào)控而陷入不知所措的局面，于是也無法再對(duì)問題進(jìn)行重新表征，無法解決問題.復(fù)雜的幾何圖形往往需要添加一條甚至幾條輔助線，才能從中解構(gòu)出圖形中蘊(yùn)含的基本的幾何模型.這些問題難就難在要添加怎樣的輔助線.眾所周知，輔助線添加得巧妙與否，直接決定了問題解決的可能性、時(shí)效性、便捷性.添加不當(dāng)?shù)妮o助線有可能使問題解決的策略復(fù)雜化，甚至陷入僵局而無法自拔.所以，需要提升學(xué)生的元認(rèn)知能力，做到邊思考方法，邊反思調(diào)整.

以如下題目為例進(jìn)行闡釋.

如圖8，已知在△ABC中，AB=AC，CM平分∠ACB交AB于M，AD⊥BC于D,ME⊥BC于E，MF⊥CM于M且交BC于F.CF=10，求DE的長.

圖8

顯然，此問題的題干中條件比較多，需要關(guān)聯(lián)條件去溝通DE與CF的關(guān)系，依照問題鏈的思維方式鼓勵(lì)學(xué)生列出問題表征.

表征1AB=AC，AD⊥BC?BD=CD，AD平分∠BAC.

表征2AD⊥BC，ME⊥BC?ME∥AD.

表征3MF⊥CM，CM平分∠ACB?.

……

學(xué)生邊自問“這樣關(guān)聯(lián)條件可行嗎？”“這樣做的目的是什么？”“還有其他方式考慮嗎？”邊進(jìn)行問題表征，一連串的反思自問實(shí)際上就是開發(fā)元認(rèn)知的過程.通過反思與監(jiān)控發(fā)現(xiàn)，表征1與表征2是單一的知識(shí)點(diǎn)，很容易得到，但是還無法溝通DE與CF的關(guān)系，表征3有一條角平分線CM，且CM還是垂線，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)立刻能聯(lián)想到“三線合一模型”，于是延長FM和CA交于點(diǎn)G(如圖9所示)，等腰△CFG就誕生了，點(diǎn)M是FG的中點(diǎn).繼續(xù)聯(lián)想，反思，發(fā)現(xiàn)再取CG的中點(diǎn)N構(gòu)建“中位線模型”(如圖10所示)，就可以在DE與CF之間搭建一座溝通的橋梁，DE的長度也就不難求得了.問題的思維過程是一個(gè)有機(jī)整體，在對(duì)復(fù)雜問題進(jìn)行表征的同時(shí)，必須要對(duì)整個(gè)思維過程反復(fù)監(jiān)控，不斷反思，才能讓問題表征更加合理化，讓問題解決過程從模糊變得清晰.讓反思成為學(xué)生的一種學(xué)習(xí)習(xí)慣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主意識(shí)和反思能力，提升元認(rèn)知水平.

圖9

圖10

四、 反思與感悟

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.讓學(xué)生親歷和完善自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)以問題鏈促問題表征的思維方式，養(yǎng)成在問題解決過程中不斷自我監(jiān)控和反思的習(xí)慣，在問題解決過程中形成一些基本的策略和路徑，學(xué)生解構(gòu)復(fù)雜圖形的能力提高了，成功體驗(yàn)到了通過自己主動(dòng)研究學(xué)習(xí)后解決問題的快樂，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣自然就提高了，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)會(huì)變得更加輕松.當(dāng)然，數(shù)學(xué)活動(dòng)的主體是學(xué)生，教師必須從學(xué)生的視角入手，分析學(xué)生問題解決困難背后的各種原因，才能“對(duì)癥下藥”，找到能夠有效幫助學(xué)生解決問題的不同策略.