章祥俊 (江蘇省蘇州吳縣中學(xué) 215129)

近年來(lái)，數(shù)學(xué)課堂的變化是巨大的，課堂教學(xué)過(guò)程中的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、活動(dòng)引領(lǐng)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)、項(xiàng)目學(xué)習(xí)、單元設(shè)計(jì)等已經(jīng)成為趨勢(shì)．課堂教學(xué)中，以學(xué)生為中心，關(guān)注學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流、問(wèn)題解決等已經(jīng)成為常態(tài)．課堂教學(xué)中，我們應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生的自主空間，關(guān)注學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)生的主體意識(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自我價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，順勢(shì)而為，借思而上，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．本文擬結(jié)合三個(gè)案例具體談一談．

1 順“思”而為，引發(fā)自主探究，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)

案例1

求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈

R

的最小值．生：因?yàn)?p>f

(

x

)=

x

-2

x

-3=(

x

-1)-4，所以函數(shù)

f

(

x

)的最小值為

f

(1)=-4．

設(shè)計(jì)問(wèn)題 以二次函數(shù)為背景，請(qǐng)你命制一道求函數(shù)最值的題目．

生1：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈[2,3]的最小值．生2：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈(2,3)的最小值．生3：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-

a

，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生4：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-

ax

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生5：求函數(shù)

f

(

x

)=

ax

-2

x

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生6：求函數(shù)

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈[

a

-1,

a

+1]，

a

∈

R

的最小值．生7：求函數(shù)

f

(

x

)=

ax

-2

ax

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生8：求函數(shù)

f

(

x

)=

ax

-

bx

+

c

，

x

∈[

m

,

n

]，

a

,

b

,

c

,

m

,

n

∈

R

的最小值．

評(píng)析和思考

以二次函數(shù)為背景的函數(shù)最值問(wèn)題是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容．教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，將預(yù)設(shè)的題目變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生自行研究、小組討論、解題和歸納的開(kāi)放題，讓學(xué)生自己命制求函數(shù)最值的題目，順著第一個(gè)學(xué)生的思維，組織學(xué)生進(jìn)行自編活動(dòng)，共編制出8個(gè)變式題.通過(guò)這樣順“思”而為的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考與探究，思維層層遞進(jìn)，將二次函數(shù)從“定軸定區(qū)間”的研究自然深入到“動(dòng)軸定區(qū)間”“定軸動(dòng)區(qū)間”“動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間”的研究．在這樣的過(guò)程中，學(xué)生的思維因問(wèn)題的開(kāi)放性和探究性而激活，教學(xué)效果必然好很多，同時(shí)，這樣處理極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和主動(dòng)性．從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的角度看，這樣的過(guò)程可以培養(yǎng)學(xué)生在一定的數(shù)學(xué)情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從特殊到一般的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、從靜止到變化的函數(shù)思想方法，養(yǎng)成在日常學(xué)習(xí)和實(shí)踐中從一般性角度思考問(wèn)題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考并解決問(wèn)題．順“思”而為激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的思維升華，提升了學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，促進(jìn)了學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)．

2 借“思”而上，探究知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生樂(lè)于學(xué)習(xí)

案例2

等比數(shù)列前

n

項(xiàng)和

S

=

a

+

a

q

+

a

q

+…+

a

q

-1公式的推導(dǎo)．生1：提取公因數(shù)

a

．

生2：倒序加？倒序乘？

生3：特殊化，令

S

=1+2+2+…+2-1，猜想

S

=

q

-1．生4：令

S

=1+3+3+…+3-1，那么剛才的猜想不成立，應(yīng)猜想生5：令

S

=1+4+4+…+4-1，那么剛才的猜想也不成立，應(yīng)猜想生6：當(dāng)公比為

q

時(shí)，應(yīng)該是此時(shí)公比應(yīng)該不能是1．生7：要證即證

S

(

q

-1)=

q

-1，也就是證

qS

-

S

=

q

-1．此時(shí)因?yàn)?p>qS

=

q

+

q

+

q

+…+

q

，

S

=1+

q

+

q

+…+

q

-1，兩式相減即可證得．又因?yàn)槭醉?xiàng)為

a

，所以

評(píng)析和思考

很多教師在推導(dǎo)等比數(shù)列前

n

項(xiàng)和公式時(shí)將“錯(cuò)位相減法”硬塞給學(xué)生，學(xué)生表面上聽(tīng)懂了，但他們心中的“惑”由誰(shuí)人來(lái)解？學(xué)生是在多次操練下似懂非懂地練“會(huì)”了，這是真的會(huì)了嗎？他們理解為什么這樣推導(dǎo)嗎？學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法的道理感覺(jué)云里霧里，整個(gè)學(xué)習(xí)處于被動(dòng)的狀態(tài)．

在講授該內(nèi)容時(shí)，筆者曾遇到這樣的情景：先問(wèn)學(xué)生如何進(jìn)行推導(dǎo)，得到的回復(fù)是“我不會(huì)”，也有回答“錯(cuò)位相減法”的、再追問(wèn)時(shí)得到的回答是“課本上就是這樣”，然后順著學(xué)生的回答講授該方法，學(xué)生也就被動(dòng)地聽(tīng)之．直到兩年前，同樣講授該內(nèi)容時(shí)，遇到一個(gè)“固執(zhí)”的學(xué)生追問(wèn)“為何如此推導(dǎo)”，且有不達(dá)目的不罷休之勢(shì)，借著這位學(xué)生的“思”引導(dǎo)全班學(xué)生共同思考、探究，把順勢(shì)和借思的時(shí)間給足學(xué)生，終得上述案例2．

筆者曾做過(guò)多次調(diào)查，讓高三的學(xué)生證明課本中一些定理、公式時(shí)，能證明或推導(dǎo)出的學(xué)生寥寥無(wú)幾．課程改革致力于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和終身學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)力，其出發(fā)點(diǎn)和根本目的是完全正確的，但是在教學(xué)實(shí)踐中很多教師還是“新瓶裝舊酒”，教學(xué)中僅僅關(guān)注“是什么”而忽視“為什么”，這不得不令人深思．實(shí)際教學(xué)中，我們完全可以把課堂真正讓給學(xué)生，把思考的時(shí)間和機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓學(xué)生借“思”而上.通過(guò)自己的理解和與同伴的交流討論，學(xué)生一定能理解“錯(cuò)位相減法”的本質(zhì)，其學(xué)習(xí)的興趣也就自然被激發(fā)出來(lái)了．

3 因“思”利導(dǎo)，提升思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

案例3

已知正實(shí)數(shù)

a

,

b

滿足求3

a

+2

b

的最小值．

生1：消元法，所以只是繼續(xù)處理有難度，應(yīng)該有更好的思路解決這道題目．我再想一想．

生2：換元法，令

m

=

a

+

b

>0，

n

=

a

-

b

>0，題目轉(zhuǎn)化為：已知求的最小值．而拆開(kāi)后用基本不等式解決，3

a

+2

b

的最小值為生3：這個(gè)思路很好，但取不到等號(hào)，所以3

a

+2

b

的最小值肯定不是生4：令則由

f

(

x

)=在(1,+∞)上遞增，解得

f

(

x

)=

f

(1)=6，所以3

a

+2

b

的最小值為6．生5：也不對(duì)！因?yàn)楫?dāng)

x

=1時(shí)，

m

=

n

，即

a

+

b

=

a

-

b

，于是

b

=0，與已知條件矛盾．生6：可以借助圖象解釋原因可以轉(zhuǎn)化為(

a

-1)-

b

=1(

a

,

b

>0)，對(duì)應(yīng)的圖象為雙曲線在第一象限的部分，所以

a

=1不可能成立．我認(rèn)為本題沒(méi)有最小值．生7：可以將題目改為求3

a

+2

b

的取值范圍．生8：也可以改為：已知正實(shí)數(shù)

a

,

b

滿足求3

a

-2

b

的最小值．利用線性規(guī)劃，在直線與雙曲線(第一象限)相切時(shí)取得最值．

評(píng)析和思考

在該案例中，從高考常考的多元最值問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多維的探究與反思，思維在交流碰撞中提升，真正理解了問(wèn)題的處理方法．學(xué)生經(jīng)歷由通性通法研究到錯(cuò)誤引發(fā)的思維過(guò)程，再到找到原因、變式研究，有效地鞏固了數(shù)學(xué)知識(shí)、訓(xùn)練了解題方法、提升了解題技能、滲透了數(shù)學(xué)思想方法、提高了探究能力，這就是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的有效途徑．高中數(shù)學(xué)知識(shí)方法千萬(wàn)條，但數(shù)學(xué)理解是第一條．課堂教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，以學(xué)生的眼光組織開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)，最大限度地促使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，提高數(shù)學(xué)思維的參與度．

4 結(jié)語(yǔ)

在課堂教學(xué)中，我們不能只“授業(yè)”，而不“解惑”；不能只訓(xùn)練方法，而忽視能力的提升；不能只關(guān)注遠(yuǎn)方，而忽略了腳下行走的路；不能只關(guān)注“正確的”，還要多關(guān)注那些“錯(cuò)誤的”；不能“硬塞給”學(xué)生，而應(yīng)該吸引他們“過(guò)來(lái)拿”；不能將“臺(tái)階”都鋪設(shè)好，而應(yīng)該讓學(xué)生自己搭建階梯；不能只關(guān)注課前預(yù)設(shè)，更需要注重課堂生成，順“思”而為，借“思”而上，因“思”利導(dǎo)，真正促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．