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        虛與實:學生數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的兩翼
        ——以“完全平方公式”為例

        2022-11-14 13:29:59王新奇江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第一中學215021
        中學數(shù)學雜志 2022年4期
        關(guān)鍵詞:素養(yǎng)思想思維

        王新奇 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第一中學 215021)

        虛實結(jié)合是語文寫作的一種技法

        .

        所謂“虛”,是指存在于人們的思想和意識中的部分;所謂“實”,是指通過聽覺、觸覺、視覺等能感覺到的部分

        .

        虛與實是相對的,客觀為實,主觀為虛;具體為實,隱者為虛;當下為實,未來為虛

        .

        虛與實也是一體的,實為虛之體,虛為實之魂,在具體問題解決的過程中,潛在體內(nèi)的虛魂是實性的思維方式和解決問題的策略

        .

        在初中數(shù)學教學過程中,實即客觀的、具體的知識技能,虛即隱藏在知識技能中的數(shù)學思想方法和數(shù)學觀念

        .

        實承載著虛,虛浸潤著實,虛與實就像學生素養(yǎng)發(fā)展的兩翼

        .

        虛實結(jié)合,可以凸顯數(shù)學學習的核心與本質(zhì),有力促進學生的素養(yǎng)發(fā)展

        .

        筆者以為,初中數(shù)學教學需要虛實結(jié)合

        .

        本文結(jié)合“完全平方公式”的教學實例探討如何做好初中數(shù)學教學過程中的虛實結(jié)合,以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維,發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)

        .

        1 教學過程

        1.1 完全平方公式的引入

        計算:(1)(

        a

        +

        b

        )(

        c

        +

        d

        );(2)(

        x

        +1)(

        x

        -1);(3)(

        x

        +5)(

        x

        +5);(4)(3

        x

        -2)(3

        x

        -2)

        .

        問題1 觀察這4道多項式乘法的運算結(jié)果,有什么不同?

        追問 觀察這4道題計算結(jié)果的項數(shù),有什么不同?

        問題2 請你寫出兩組具有上述后兩題特征的多項式乘法,并計算結(jié)果

        .

        問題3 能否用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律?

        設(shè)計意圖

        完全平方公式作為多項式乘法的下位知識,是學生學習了整式乘法的一般性方法之后,對特殊對象的研究,是公式(

        a

        +

        b

        )(

        c

        +

        d

        )=

        ac

        +

        ad

        +

        bc

        +

        bd

        a

        =

        c

        b

        =

        d

        時產(chǎn)生的特殊形式

        .

        因此,多項式乘法是完全平方公式的生長點,充分利用多項式乘法是教學的關(guān)鍵,有助于實現(xiàn)后續(xù)知識的自然生成和學生的自主學習

        .

        從實的角度出發(fā),設(shè)計的4道計算題擬從整體的角度引導學生經(jīng)歷從一般到特殊的過程,感受特殊化帶來的簡潔性

        .

        既復習了平方差公式,又自然引出了完全平方公式的學習

        .

        4個具體算式的支撐,使完全平方公式的引出具有了實性

        .

        從虛的角度考量,設(shè)計的3個問題,旨在讓學生從純粹的多項式計算這一經(jīng)驗操作中走出來,通過觀察、比較和結(jié)構(gòu)分析,從中分離出相同屬性(都是兩個二項式相乘)和不同屬性(結(jié)果項數(shù)不同),經(jīng)歷結(jié)果屬性由一般向特殊演變(由四項到兩項或三項)

        .

        這種特殊是直觀的,同時催生了學生產(chǎn)生虛性的思考:這樣的兩個二項式相乘,結(jié)果有怎樣的規(guī)律呢?通過虛實結(jié)合引發(fā)的疑問,使學生發(fā)現(xiàn)學習的能力得以發(fā)展,也將使學生在經(jīng)歷“屬性分離”過程后提升抽象水平

        .

        1.2 完全平方公式的驗證

        問題1 上述規(guī)律的正確性需要驗證嗎?

        問題2 根據(jù)平方差公式的學習經(jīng)驗,如何驗證?

        問題3 通過驗證,你感悟到哪些數(shù)學思想方法?

        設(shè)計意圖

        完全平方公式的驗證與平方差公式的驗證方法類似,可以進行經(jīng)驗的遷移

        .

        學生在驗證平方差公式時,曾經(jīng)歷過運用圖形面積和多項式乘以多項式驗證的實性過程,積累了從“數(shù)”與“形”兩個方面進行驗證的基本活動經(jīng)驗

        .

        通過問題2引導學生做一個虛性的思考,幫助學生通過經(jīng)驗遷移確定驗證的基本思路,再予以具體的實性驗證

        .

        在這個虛實結(jié)合的過程中,既有思維的提升,也有活動經(jīng)驗的遷移和再認識,從而使完全平方公式的教學效益最大化

        .

        同時,通過“剪”“拼”“割”“補”將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來解決的思想方法,也為后續(xù)學習勾股定理的證明積累了經(jīng)驗

        .

        1.3 完全平方公式的概括

        問題1 請概括一下你發(fā)現(xiàn)并驗證的規(guī)律,并用字母表示

        .

        問題2 公式中的

        a

        b

        可以代表什么?

        問題3 請仔細觀察公式的結(jié)構(gòu),結(jié)合學習平方差公式的經(jīng)驗,能否直觀、形象地提煉出計算形式?

        問題4 在完全平方公式的探究過程中,你感悟到哪些數(shù)學思想方法?

        設(shè)計意圖

        數(shù)學是思維的科學,而思維最顯著的特點是概括

        .

        在實性方面,通過圖形語言、文字語言及其關(guān)系的概括總結(jié),一是去除學生在公式探究過程中對公式非本質(zhì)屬性的認識,把認識統(tǒng)一到“兩數(shù)和(差)的平方,等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)積的2倍”的多項式乘法這一本質(zhì)屬性上來;二是完全平方公式多視角表征和理解,拓展信息獲取及問題分析的路徑通道

        .

        追問“

        a

        ,

        b

        可以表示什么?”旨在滲透數(shù)式通性思想及使用范圍

        .

        問題3旨在引導學生識別公式特征,可以將模型提煉為“(□±○)=□±2□○+○”的形式,從而突破運用過程中的難點

        .

        學生只有識別出公式的特征,才能運用公式解決問題,感悟公式的優(yōu)越性和數(shù)學的簡潔美

        .

        在充分彰顯實性知識的過程中,引導學生回顧知識的發(fā)生發(fā)展過程,感悟隱藏在知識探究過程中的魂,盡管這個魂是虛性的,但卻是必要的

        .

        虛實相生,有力促進學生數(shù)學素養(yǎng)的逐漸形成

        .

        1.4 完全平方公式的應(yīng)用

        問題1 同學們,根據(jù)

        a

        ,

        b

        的可變性,請自主設(shè)計符合完全平方公式的多項式乘法算式

        .

        問題2 改變

        a

        b

        前面的符號,一共有幾種情況?通過計算,你有什么發(fā)現(xiàn)?問題3 計算:(1)(

        a

        +

        b

        +

        c

        );(

        a

        +

        b

        -

        c

        ),(2)103;99

        設(shè)計意圖

        這個環(huán)節(jié)的設(shè)計,表面上看是實性的操練,實則是引發(fā)學生虛性的思考,以促進學生對公式的深度理解

        .

        通過學生自己舉例編題練習,加深對

        a

        ,

        b

        的意義認識,同時有效地促進學生對完全平方公式結(jié)構(gòu)的主動認知

        .

        教師從學生編寫的題目中選擇有代表性的題目進行計算,并就計算中出現(xiàn)的問題進行班級研討,引領(lǐng)學生深度理解公式的計算方法

        .

        同時,在正視錯誤、理解錯誤、糾正錯誤的過程中,挖掘錯誤的成因,抓住錯誤的本質(zhì),衍生課堂生成性資源,形成規(guī)范的計算步驟,這是一個學生自主探索、教師有效引導、師生互動有機統(tǒng)一的過程

        .

        在這個過程中,學生由過去的被動式練習轉(zhuǎn)向主動思考、自主探索,進而形成深度學習

        .

        這個過程是實性的,同時也為學生進一步虛性的思考打下堅實的基礎(chǔ)

        .

        問題2的設(shè)計,重點聚焦公式變形,在處理符號的過程中感受和體會內(nèi)在聯(lián)系,形成對公式結(jié)構(gòu)的本質(zhì)理解

        .

        問題3的設(shè)計旨在進一步引導學生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征,滲透整體換元和對應(yīng)思想,同時引導學生從圖形面積角度計算結(jié)果,提升和挖掘圖形計算的價值

        .

        應(yīng)用環(huán)節(jié)的設(shè)計,從應(yīng)用→思考→創(chuàng)新應(yīng)用,通過虛實結(jié)合,旨在將完全平方公式與多項式乘法、簡便運算等原有認知經(jīng)驗逐漸建立關(guān)聯(lián),使得完全平方公式不再是一個獨立的個體存儲,而是與其他運算、經(jīng)驗之間形成新的整體關(guān)系,進而提升學生的數(shù)學素養(yǎng)

        .

        1.5 課堂小結(jié)

        今天我們探索了完全平方公式,請用思維導圖回顧和總結(jié)學習過程

        .

        設(shè)計意圖

        要求學生繪制思維導圖,旨在引導學生對整節(jié)課的學習進行回顧和提升,使得學習過程結(jié)構(gòu)化

        .

        經(jīng)過長期的訓練,學生的結(jié)構(gòu)化思維能力將會得到提升,這個過程是虛性的,但卻引導學生自主實性學習的方向,也是數(shù)學教育的價值

        .

        2 教學思考

        2.1 學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展,需要求實

        形成數(shù)學素養(yǎng)的前提是具備扎實的數(shù)學基礎(chǔ)知識和技能,而基礎(chǔ)知識技能訓練的主陣地在課堂,這就要求每一節(jié)常態(tài)數(shù)學課都要在求實上下功夫

        .

        但是,在求實的過程中,不能讓學生被動地接受知識,而是要引導學生主動探索,在知識的發(fā)生發(fā)展過程中形成實性認識

        .

        首先在內(nèi)容設(shè)計上求實,緊緊圍繞完全平方公式的特征,觀其形、拼其形、定其形、找其形、用其形、補其形,主線明確,層次豐富

        .

        其次,在學生活動設(shè)計上求實,通過問題驅(qū)動、操作驅(qū)動、學思驅(qū)動,引領(lǐng)學生體悟完全平方公式的本質(zhì),特殊化研究公式的外延關(guān)聯(lián),努力實現(xiàn)有結(jié)構(gòu)、有邏輯、有源頭的精準化教學.最后,在學以致用上求實,引導學生自主編題,自主練習,集體糾錯,在正視錯誤、糾正錯誤中挖掘成因,促進學生主動發(fā)現(xiàn)和良好品質(zhì)的形成.

        2.2 學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展,需要務(wù)虛

        從知識到方法,從方法到思想,這是數(shù)學教育的追求,也是從實性知識技能走向虛性思想方法的必然結(jié)果.數(shù)學思想方法蘊含在知識形成過程中,這是學生理解數(shù)學思想方法的良好載體.本節(jié)課蘊含兩個重要數(shù)學思想:從一般到特殊的思想、數(shù)形結(jié)合思想.筆者試圖讓學生充分經(jīng)歷知識的形成過程,讓學生感受到學習活動是在數(shù)學思想引導下進行的,從而使學生既能理解知識的本質(zhì),又能感悟到數(shù)學思想.以后,學生在解決問題的過程中,特別是遇到困難,需要尋求突破難點的時候,這些積累的數(shù)學思維活動經(jīng)驗和數(shù)學思想方法將會適時引導他們的有效思維,啟發(fā)其主動思考獲取數(shù)學知識.這些隱藏的虛性思考將真正成為思維策略,促進學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展.

        2.3 學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展,需要虛實結(jié)合

        虛實本為一體,在實際數(shù)學教學過程中,教師對實性的知識技能往往更加重視,而對虛性的思想方法和思維能力常常容易忽視.如應(yīng)用環(huán)節(jié)的設(shè)計,注重訓練的實性與思維的虛性并行,在訓練的過程中滲透轉(zhuǎn)化、對應(yīng)等思想,打通各知識板塊之間的關(guān)聯(lián)障礙,形成“做一題、通一類、連一片”,從而獲得新的經(jīng)驗增值,提升解決問題的能力.其實,從數(shù)學教育的根本宗旨看,實為虛體,虛為實魂,在解決具體問題的過程中,隱藏著的虛魂將變?yōu)閷嵭缘乃季S方式和解決問題的策略指引,這就是學生應(yīng)該具備的數(shù)學核心素養(yǎng):會用數(shù)學的眼光觀察世界,會用數(shù)學的思維思考世界,會用數(shù)學的語言表達世界.正如愛因斯坦所說,教育就是當一個人把在學校所學的全部忘光之后剩下的東西.

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