王藝超，王 振，魏 玲,3，任睿思

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127；2.西北大學(xué) 概念、認(rèn)知與智能研究中心，陜西 西安 710127；3.閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 漳州 363000)

沖突普遍存在于人類的社會生活中,而沖突分析則是利用已有沖突信息,建立相應(yīng)模型,進(jìn)而對沖突過程進(jìn)行分析,使決策者能夠充分了解沖突并做出決策。由于沖突本身豐富的語義，學(xué)者們常常將沖突分析與其他理論相結(jié)合來展開研究,主要涉及粗糙集[1-8]、三支決策[7-21]、模糊集[18-22]、形式概念分析[23-25]等。其中,結(jié)合粗糙集理論,Pawlak[2]首次給出了沖突分析的具體模型,該模型用-1、0、+1分別表示代理人關(guān)于議題所持的3種態(tài)度:反對、中立、贊同,并利用輔助函數(shù)表示代理人之間的關(guān)系,從而研究如何制定合理的策略以達(dá)到平衡狀態(tài)。Lang等[8]則是在概率粗糙集的基礎(chǔ)上定義了概率沖突集、概率中立集和概率聯(lián)盟集,并給出了沖突分析中閾值的確定方法。

為解決Pawlak沖突分析模型存在的問題及進(jìn)一步給出沖突的語義解釋,Yao[12]結(jié)合三支決策,提出了三支沖突分析模型。該模型采用距離函數(shù)衡量代理人之間沖突的大小,并將Pawlak沖突分析模型中反對、中立、贊同的賦值域{-1,0,+1}推廣到區(qū)間[-1,+1],進(jìn)而定義了多值沖突表。此后,三支沖突分析的研究得到了進(jìn)一步發(fā)展[13-21]。比如:Lang[14]指出不同的序?qū)﹃P(guān)于沖突和聯(lián)盟所產(chǎn)生的作用是不同的,并基于一對改進(jìn)的聯(lián)盟度量和沖突度量提出了三支沖突分析的一般模型。然而,考慮到信息的不確定性和復(fù)雜性,許多專家學(xué)者開始關(guān)注基于模糊信息系統(tǒng)的三支沖突分析[18-21]。此外,Zhi等[23-24]將沖突分析與形式概念分析相結(jié)合,研究了基于近似三支概念格的沖突分析,并探討了沖突分析中的最大聯(lián)盟集和最小沖突集。

在沖突分析模型中,如何衡量代理人之間沖突的大小是至關(guān)重要的。Yao[12]在多值沖突表中聚焦于兩個代理人關(guān)于議題態(tài)度的差別,利用距離函數(shù)衡量沖突大小,但未考慮代理人各自關(guān)于議題態(tài)度的程度,且在研究多議題下代理人之間的沖突時,認(rèn)為每個議題都具有相同的重要性。而Lang[14]指出在實際應(yīng)用中不同議題的重要性存在差異,并采用主觀方式直接賦予不同議題不同的重要性。但是，目前現(xiàn)有的關(guān)于沖突分析的研究,仍未考慮代理人各自關(guān)于議題態(tài)度的程度,也并未給出關(guān)于議題重要性的較為客觀的刻畫方法。

綜合考慮上述問題,本文針對多值沖突表,同時關(guān)注兩個代理人態(tài)度的差別與代理人各自關(guān)于議題態(tài)度的程度,給出兩個代理人關(guān)于單議題的復(fù)合沖突程度的定義,并利用已有沖突信息給出議題重要性相對客觀的表達(dá)方式,進(jìn)而研究兩個代理人關(guān)于多議題的復(fù)合沖突程度。

1 預(yù)備知識

本節(jié)回顧有關(guān)沖突分析的基本概念。

定義1[12]稱三元組S=(A,I,r)為多值沖突表,其中A={x1,x2,…,xn}為代理人的集合,A中的每個元素xj(1≤j≤n)為一個代理人;I={i1,i2,…,im}為議題的集合,I中的每個元素ik(1≤k≤m)為一個議題;r:A×I→[-1,+1]為映射,r(xj,ik)表示代理人xj對于議題ik的態(tài)度的取值。

一般地,在定義1中,r(xj,ik)=-1表示代理人xj完全反對議題ik,r(xj,ik)=0表示代理人xj對于議題ik持完全中立的態(tài)度,r(xj,ik)=+1表示代理人xj完全贊同議題ik,其他的取值則代表代理人對于議題反對或者支持的程度。

特別地,當(dāng)映射r:A×I→{-1,0,+1}時,稱三元組S=(A,I,r)為三值沖突表。

例1給出文獻(xiàn)[14]提到的中東沖突分析問題的多值沖突表。

例1[14]表1給出了關(guān)于中東沖突的多值沖突表。A={x1,x2,x3,x4,x5,x6}為代理人的集合,x1表示以色列,x2表示埃及,x3表示巴勒斯坦,x4表示約旦,x5表示敘利亞,x6表示沙特阿拉伯;I={i1,i2,i3,i4,i5}為議題的集合,i1表示“在西岸和加沙設(shè)立自治巴勒斯坦州”,i2表示“以色列沿約旦河設(shè)立軍事前哨”,i3表示“以色列保留東耶路撒冷”,i4表示“以色列在戈蘭高地設(shè)立軍事前哨”,i5表示“阿拉伯國家給予留在其境內(nèi)的巴勒斯坦人公民身份”。

表1 關(guān)于中東沖突的多值沖突表

在定義1的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[12]進(jìn)一步給出衡量兩個代理人關(guān)于同一個議題沖突大小的方式。

定義2[12]設(shè)S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,定義距離函數(shù)Ci:A×A→[0,1]如下。對于任意(x,y)∈A×A,

(1)

稱Ci(x,y)為代理人x與y關(guān)于議題i的沖突程度。若Ci(x,y)=1,則代理人x與y關(guān)于議題i是完全沖突的;若Ci(x,y)=0,則代理人x與y關(guān)于議題i沒有沖突。

2 關(guān)于單議題的復(fù)合沖突程度

在例1中存在這樣的一種情況,代理人x2與x3關(guān)于議題i1態(tài)度的取值均為+0.95,代理人x4與x6關(guān)于議題i1態(tài)度的取值均為0,通過定義2可得,這兩對代理人關(guān)于議題i1的沖突程度相同且均為0。但是,由于+0.95更接近于+1,則第1對代理人關(guān)于議題i1的贊同程度明顯高于第2對代理人,因此人們通常會認(rèn)為第1對代理人之間的沖突應(yīng)小于第2對代理人。由此可知,當(dāng)兩對代理人關(guān)于某一議題的沖突程度相同且為0時,利用定義2對此類情況無法進(jìn)行區(qū)分。

另外,還存在一種情況,假設(shè)兩個代理人關(guān)于某個議題態(tài)度的取值分別為+0.6、+0.9,另外兩個代理人關(guān)于該議題態(tài)度的取值分別為+0.1、-0.2,同樣利用定義2計算可知,這兩對代理人關(guān)于該議題的沖突程度相同且均為0.15。但是,由于第1對代理人關(guān)于該議題都持贊同態(tài)度,而第2對代理人則呈現(xiàn)對立的態(tài)度,一個贊同一個反對,因此,在這種情況下人們通常也會認(rèn)為第1對代理人之間的沖突應(yīng)小于第2對代理人。亦即,此種情況下定義2也無法對其進(jìn)行區(qū)分。

為解決上述問題,本節(jié)在單議題的背景下,提出兩個代理人關(guān)于議題平均確定度的定義,并基于此給出兩個代理人關(guān)于單議題的復(fù)合沖突程度的定義。下面先給出兩個代理人關(guān)于同一個議題的平均確定度的定義。

定義3設(shè)S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,定義映射di:A×A→[0,1]如下。對于任意(x,y)∈A×A,

(2)

稱di(x,y)為代理人x與y關(guān)于議題i的平均確定度。

在此處,|r(x,i)|表示代理人x關(guān)于議題i的態(tài)度的確定程度。當(dāng)r(x,i)=0時,代理人x關(guān)于議題i的態(tài)度的確定程度為0;當(dāng)r(x,i)>0時,|r(x,i)|越大,代理人x贊同議題i的程度越大;當(dāng)r(x,i)<0時,|r(x,i)|越大,代理人x反對議題i的程度越大。

為作區(qū)分,本文根據(jù)語義將定義2中代理人x與y關(guān)于議題i的沖突程度稱為差別度,并用ci(x,y)表示,即

(3)

差別度和平均確定度的相關(guān)性質(zhì)如下。

性質(zhì)1設(shè)S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,x,y,z∈A,有

1) min{|r(x,i)|,|r(y,i)|}≤di(x,y)≤ max{|r(x,i)|,|r(y,i)|};

2)di(x,y)=di(y,x);

3)di(x,y)≤di(x,z)+di(z,y),且di(x,y)=di(x,z)+di(z,y)當(dāng)且僅當(dāng)r(z,i)=0。

性質(zhì)2設(shè)S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,x,y∈A,ci(x,y)=di(x,y)當(dāng)且僅當(dāng)r(x,i)·r(y,i)≤0。

基于差別度和平均確定度,我們以二元對的形式給出兩個代理人關(guān)于單議題的復(fù)合沖突程度的定義。

(4)

下面根據(jù)字典序[26]定義任意兩個代理人關(guān)于單議題的復(fù)合沖突程度之間的序關(guān)系。

根據(jù)定義4以及定義5可得到關(guān)于單議題的復(fù)合沖突程度的相關(guān)性質(zhì)如下。

性質(zhì)3設(shè)S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,x,y,z∈A,有

3) 根據(jù)對稱性可以直接證明。

表2 關(guān)于議題i1的復(fù)合沖突程度

定理1設(shè)S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,(x,y),(x′,y′)∈A×A,若滿足Ci(x,y)=Ci(x′,y′),則

證明由Ci(x,y)=Ci(x′,y′)可得ci(x,y)=ci(x′,y′)。

2) 證明過程與1)類似。

4) 由性質(zhì)2可直接證明。

當(dāng)兩對代理人關(guān)于議題的沖突程度相同時,換言之,在兩對代理人關(guān)于議題的差別度相同的情況下,定理1的1)與2)表明關(guān)于該議題都持贊同/反對態(tài)度的兩個代理人之間的復(fù)合沖突程度小于分別持贊同、反對態(tài)度的兩個代理人;3)表明當(dāng)兩對代理人關(guān)于議題分別都持贊同/反對態(tài)度時,平均確定度大的兩個代理人對應(yīng)的復(fù)合沖突程度小。

需要注意的是,若不關(guān)注給出態(tài)度的代理人,而是強(qiáng)調(diào)態(tài)度的取值時,可以利用態(tài)度的取值作為參數(shù)來表示沖突程度與復(fù)合沖突程度,即對于任意議題i∈I,任意代理人序?qū)?x,y)∈A×A,

Ci(x,y)=Ci(r(x,i),r(y,i)),

3 關(guān)于多議題的復(fù)合沖突程度

本節(jié)在多議題的背景下,通過聚合單議題上的復(fù)合沖突程度來研究關(guān)于多議題的復(fù)合沖突程度。由于不同議題的重要性有差異,下面首先給出議題重要性的刻畫方式。

定義6設(shè)S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,定義議題i的重要性為

(5)

此處的Di借鑒了方差的語義,反映了所有代理人關(guān)于議題i態(tài)度的波動程度。波動越大,表示這些代理人對于議題i態(tài)度的差異性越大,進(jìn)而表明對于研究代理人之間沖突的大小這一問題而言,議題i更重要。

例3(續(xù)例2) 由定義6可知,

類似地,可以得到議題集I中任意議題的重要性,如表3所示。

表3 中東沖突中議題i的重要性

基于議題的重要性給出單議題在議題子集中權(quán)重的定義。

定義7設(shè)S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意J?I,i∈J,定義議題i在議題子集J中的權(quán)重為

(6)

下面利用權(quán)重研究代理人關(guān)于多議題的復(fù)合沖突程度。

(7)

注1由于多值沖突表中數(shù)據(jù)的任意性,可能會出現(xiàn)不同議題的重要性相同的情況,進(jìn)而導(dǎo)致不同議題在議題子集中的權(quán)重相同。然而,當(dāng)某兩個議題在議題子集中的權(quán)重相同時,在單議題下復(fù)合沖突程度的基礎(chǔ)上,計算得到的關(guān)于多議題的復(fù)合沖突程度也具有一定的研究意義,它仍然同時關(guān)注了兩個代理人態(tài)度的差別與代理人各自關(guān)于議題態(tài)度的程度。

根據(jù)性質(zhì)3易得關(guān)于多議題的復(fù)合沖突程度的相關(guān)性質(zhì)如下。

性質(zhì)4設(shè)S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意J?I,x,y,z∈A,有

表4 關(guān)于議題i5的復(fù)合沖突程度

表5 關(guān)于議題子集J的復(fù)合沖突程度

由表5可知,關(guān)于議題子集J={i1,i5},代理人x1與x2之間的復(fù)合沖突程度是最大的,為(0.925,0.075),反映了代理人x1與x2的差別度為0.925,平均確定度為0.925,進(jìn)一步表明代理人x1與x2最能代表對立的雙方。故在討論議題i1,i5時,需要格外關(guān)注代理人x1與x2的想法,進(jìn)而分析造成沖突的原因。

4 結(jié)語

本文針對多值沖突表,以二元對的形式給出兩個代理人關(guān)于單議題的復(fù)合沖突程度的定義,既反映了兩個代理人關(guān)于議題態(tài)度的差別,也反映了代理人關(guān)于議題態(tài)度的確定程度,進(jìn)而結(jié)合議題的權(quán)重,研究兩個代理人關(guān)于多議題的復(fù)合沖突程度。可以看到,本文在衡量兩個代理人之間沖突的大小時,將定義2中的沖突度量進(jìn)行了改進(jìn),針對兩對代理人關(guān)于議題差別度相同的情況做了深入的探討;并且考慮到實際應(yīng)用中不同議題的重要性有差異,本文借鑒方差的語義研究議題的重要性,進(jìn)而給出了單議題在議題子集中權(quán)重的刻畫方式。

考慮到本文定義的復(fù)合沖突程度的兩個分量都是以絕對值的形式給出的,未能使所有不同的態(tài)度取值構(gòu)成的序?qū)?yīng)著不同的值,后期將探討如何進(jìn)一步區(qū)分。另外,鑒于本文提出的復(fù)合沖突程度的合理性,未來我們會考慮與三支決策相結(jié)合,將代理人序?qū)Φ募线M(jìn)行三分,從而研究基于多值沖突表的三支沖突分析。