李貴棟，陸海英，李志維，韋世順，張歐

（江南機電設計研究所，貴州 貴陽 550009）

0 引言

隨著精確制導武器的發(fā)展，防御系統(tǒng)對攔截彈提出了較高要求。針對空中目標的復雜特性，往往需要攔截彈彈道滿足一定的終端角度約束，以滿足特定的攔截任務需求，例如，攔截超低空目標［1-3］、反隱身目標［4］、協同攔截［5-9］等。因此，研究帶終端角度約束的制導律具有十分重要的意義。

目前，對終端角度約束的制導律已有不少研究。王榮剛等［10］為定向打擊高速運動目標，采用相對偏置比例導引，在比例導引基礎上加入碰撞角約束及目標機動補償實現對機動目標的定向打擊。然而偏置比例導引的末端視線角速度以及過載指令往往較大，且難以實現全向角度約束。鑒于偏置比例導引末段視線角速度較大，滑模變結構控制具有較好魯棒性，穆忠偉等［11］結合滑模變結構理論使偏置比例導引滑模變結構化，最后導彈能實現整個攻擊過程中的彈目視線角速度變化較小的垂直落角攻擊目標。王健等［12］采用滑模變結構和非線性反步控制的方法，通過高增益的飽和函數，結合改進的開關項系數來削弱滑模抖振的影響，以期望的攻擊角度命中固定或緩慢移動目標。李琬祺等［13］通過對傳統(tǒng)STA（spanning tree algorithm）算法進行改進以確保系統(tǒng)含有不確定項時在有限時間收斂，并結合自適應控制理論，設計了一種帶攻擊角約束的自適應STA 有限時間滑模導引律。然而結合滑?？刂评碚摰膶б傻聂敯粜员举|上是由抖振交換得來，且不能保證初始段損失能量盡量小。

鑒于最優(yōu)控制理論能靈活滿足多約束條件，PAUL［14］采用最優(yōu)控制思想設計了一種帶落角約束的攻擊靜止目標的導引律，并通過分析表明該導引律適用于攻擊機動目標，但該導引僅從期望終端視線角的角度出發(fā)，并未考慮終端視線角速率的控制效果，難以滿足終端交會角約束需求，且初始段過載較大。CHI 等［15］考慮自動駕駛儀動力學中的不確定性以及加速度約束，設計了一種帶終端角約束的能量最小且無末加速度約束的最優(yōu)導引律。然而對于防空武器，理論上整個過程能量最少能很好完成攔截任務，但在實際空中復雜作戰(zhàn)環(huán)境中，初始段的需用過載大往往會使攔截彈過早損失較多能量，這可能會導致難以滿足后續(xù)復雜環(huán)境攔截需求，而目前還鮮有這方面的研究。

針對以上問題，本文在帶角度約束最優(yōu)制導律的研究基礎上，考慮初始段需用過載較小，設計了一種改進的帶視線角約束最優(yōu)制導律；然后基于彈目運動關系及帶視線角約束的改進最優(yōu)制導律特性，將終端視線角約束問題轉換為終端交會角約束問題，從而得到帶終端交會角約束的制導律。

1 最優(yōu)制導律推導

攔截過程中的制導問題可用如圖1 所示的線性簡化動力學模型描述。

圖1 制導問題線性簡化動力學模型Fig.1 Simplified linear dynamic model of guidance

圖1 中，Z 為零控脫靶量，表示攔截彈不加控制時的脫靶量；下標M 和T 分別表示攔截彈和目標。

用狀態(tài)方程可將該制導問題描述為

則狀態(tài)方程可寫成

對防空導彈而言，往往希望初始段過載相對較小，從而避免過早損失較多能量，以保證后續(xù)有更多的能量來滿足復雜空域中的攔截需求。因此，對于有終端角度約束要求的對空攔截彈，需要在實現終端角度約束的同時考慮使初始段的過載能盡量小。

據此，設計控制權函數為

制導初始段，W(t) = 1 + 1/(tf- t)n的值接近1；接近終端時刻，W(t)以和1/(tf- t)n相同的增長速率逐漸趨近∞。在取能量最小形式的目標函數情況下，該權函數既能保證制導過程初始段具有近似權函數取1/(tf- t)n且n=0 時的初始段小過載特性，又能使制導過程接近終端時刻保持權函數取1/(tf- t)n且n＞0 時能使終端視線角能收斂到期望值的特性。

此時，對應基于能量最小的目標函數為

通過最小化目標函數J，便可得到最優(yōu)控制量u，即可得到攔截彈最優(yōu)需用過載。

該攔截過程制導問題的終端條件可表示為

根據最優(yōu)控制理論，該最優(yōu)問題的最優(yōu)解為

令 tgo= tf- t，則聯立式（2）、（5）及（6）可得

因此，聯立式（2）、式（5）～（8）可得

在小角度假設下，有

因此有

將式（14）帶入式（12）可得

其中，目標加速度aT通?？衫弥茖д净驅б^探測獲取的目標信息，采用卡爾曼濾波算法等方法估計得到。

式（15）即為考慮初始段需用過載較小且?guī)ЫK端視線角約束的最優(yōu)制導律。

2 終端視線角約束問題轉換為終端交會角約束問題

攔截空中高速飛行目標，攔截任務可能需要攔截彈從目標飛行軌跡的側面接近目標，即需要攔截彈滿足一定的終端交會角約束，因此僅考慮終端視線角約束難以滿足攔截需求，故還需進一步研究帶終端交會角約束的導引以滿足攔截需求。

對空中目標進行攔截過程中，彈目運動關系如圖2 所示。

圖2 彈目運動關系圖Fig.2 Missile-target motion relationship

易知，彈目相對運動存在如下關系

定義期望攔截彈彈道角與目標彈道角所夾銳角為期望交會角Δθd。由圖2 所示運動關系可知，在非尾追攔截下有

結合式（16）和式（18）可得

把式（17）帶入式（19）可得

求解式（20）即可得到制導結束時期望終端交會角為Δθd所對應的期望視線角qf為

將式（21）帶入式（15）即可得到帶終端交會角約束的制導律。

3 仿真分析

設定攔截彈起始位置為（0，0），速度為1 000 m/s，初始彈道傾角為90°；目標初始位置為（22.5×103，15.8×103）m，速度為 1 200 m/s，彈道傾角為 210°。設置期望交會角為60°；分別采用帶角度約束的偏置比例導引以及文獻［16］設計的n 值取1 時的帶角度約束最優(yōu)制導律（下文簡稱最優(yōu)導引）和本文推導的改進最優(yōu)制導律（下文簡稱改進的最優(yōu)導引）進行仿真，仿真步長取10 ms。

圖3 給出了3 種制導律對比仿真的攔截軌跡及其局部放大圖，從圖中可以看出，2 種最優(yōu)制導律最后都能同樣的角度約束攔截趨勢，但最優(yōu)導引的彈道比本文推導的改進的最優(yōu)導引彈道更彎曲。

圖3 三種制導律的攔截軌跡圖Fig.3 Interception trajectory of three guidance laws

圖4 和圖5 分別表示攔截過程中需用過載變化曲線和視線角速率的變化曲線。由圖可知，2 種最優(yōu)制導律終端視線角速率都能控制到0 附近，即都能控制視線角收斂，而偏置比例導引的終端視線角速率最終呈發(fā)散趨勢，即不能控制終端視線角收斂。由過載曲線可知，本文推導的最優(yōu)制導律初始段的需用過載最小，最大過載也比最優(yōu)導引小，且終端時刻過載能收斂到0。

圖4 過載曲線Fig.4 overload curve

圖5 視線角速率變化曲線Fig.5 LOS rate curve

圖6 表示實時交會角（即實時的攔截過程中攔截彈速度方向與目標速度方向所夾銳角）變化曲線。由圖可知，2 種最優(yōu)制導律都能很好將終端交會角控制到期望值，但本文推導的制導律能使攔截彈速度方向與目標速度方向所夾銳角較平直地控制過渡到期望的終端交會角。

圖6 實時交會角變化曲線Fig.6 Calculated encounter angle curve

用攔截過程中的過載與時間軸所圍成的面積表征攔截過程所用的能量。分別采用3 種制導律進行制導攔截時所消耗的能量以及脫靶量如表1 所示。由表中結果可以看出，本文推導的改進最優(yōu)制導律的脫靶量最小，且整個攔截過程所用的能量比最優(yōu)導引所用的能量更少。

表1 3 種制導律所用能量及脫靶量Table 1 Energy and miss distance of three guidance laws

設置目標初始位置為（80×103，60×103）m，速度為 1 200 m/s，彈道傾角為 225°（即以 45°角向下俯沖）；攔截彈起始位置為（0，0），速度為1 000 m/s，初始彈道傾角為90°；采用本文推導的改進最優(yōu)制導律，分別設置不同期望交會角為-30°、-15°、0°、15°、30°和45°進行攔截仿真，得到圖7 所示的攔截軌跡。

圖7 設置不同Δθd 時的攔截軌跡Fig.7 Interception trajectory at different Δθd

由該仿真結果可以看出，本文所推導的改進制導律能根據指定期望交會角實現期望的攔截效果。

綜上可知，本文所推導的改進帶角度約束最優(yōu)制導律能較好將交會角控制到期望值，實現期望的攔截效果，且在攔截初始段的需用過載較小，此外還能保證較高的命中精度。

4 結束語

帶終端角度約束制導對防御系統(tǒng)攔截任務具有重要意義，考慮角度約束的同時考慮初始段需用過載不大，能避免攔截彈的能量過早損失，從而能較好地完成對空攔截任務。本文基于考慮視線角約束的最優(yōu)制導律，推導了一種考慮初始段需用過載較小的帶終端交會角約束的改進最優(yōu)制導律。仿真結果表明，所設計的制導律能較好地實現終端交會角約束，命中精度也較高，能較好的滿足帶終端角度約束的攔截任務需求。此外，初始段的需用過載也較小，能有效避免導彈過早損失能量，以利于防空導彈的后續(xù)攔截，對防空攔截有一定的參考價值。