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        求解隨機(jī)向量變分不等式的樣本平均逼近方法

        2022-11-12 10:21:12黃章乙趙玉昌
        科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2022年33期
        關(guān)鍵詞:定義方法

        黃章乙*,趙玉昌

        (重慶交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400074)

        引言

        隨機(jī)向量變分不等式(SVVI)問題:即求解x*∈S,使得

        由于(1)中包含了隨機(jī)向量,受到Gürkan[1]提出的期望值(EV)模型的啟發(fā),用期望值(EV)方法來處理式(1),得到下述隨機(jī)向量變分不等式問題的期望值模型

        為了求解問題(3)的解,受Fukushima[4]研究變分不等式提出的間隙函數(shù)啟發(fā),定義如下正則化間隙函數(shù)g:Rn×Λ→[0,∞]

        1 解的存在性

        在本節(jié)中,我們給出了正則化間隙函數(shù)g(x,λ)在集合S×Λ 上強(qiáng)制性成立的充分條件。因此,對于足夠小的α>0 問題(6)總有一個最優(yōu)解。

        證明. 參考文獻(xiàn)[3]中定理1 的證明方法,可以得到定理2.1 的結(jié)論,定理得證。

        2 近似問題的收斂性分析

        引理3.1[5]假設(shè)①-③成立,則以下結(jié)論成立:

        (1) 函數(shù)f(x,λ)在集合S×Λ 上連續(xù);

        (2) 函數(shù)列{fN(x,λ)}在集合S×Λ 上依概率1一致收斂于f(x,λ),則有

        下面,我們討論目標(biāo)函數(shù)逼近問題(7)的一致收斂性。

        定理3.1 假設(shè)①-③成立,函數(shù)列{gN(x,λ)}在集合S×Λ 上依概率1 一致收斂到函數(shù)g(x,λ)。

        證明. 由gN(x,λ)和g(x,λ)的定義有

        因此,可得

        因?yàn)間(x,λ)≥0,故

        其中μmin表示矩陣G 的最小特征值,由上式進(jìn)一步可得到

        由于集合S×Λ 為非空緊的,故存在一個常數(shù)M>0,使得,

        依概率1 成立。不難得到依概率1 成立。另外,根據(jù)函數(shù)H(x,λ)和HN(x,λ)的定義及投影的非擴(kuò)張性質(zhì),可知

        依概率1 成立。同理采用和上式同樣放縮法有

        這表明函數(shù)列fN依概率1 上圖收斂于函數(shù)f。此外,由于H(x,λ)和HN(x,λ)都是連續(xù)函數(shù)及投影的非擴(kuò)張性,故

        采用與定理3.3 類似方法,可知

        依概率1 成立。由上述兩個不等式可得

        依概率1 成立。因?yàn)椋▁*,λ*)∈S×Λ,這表明著(x*,λ*)∈S*依概率1 成立,定理得證。

        3 結(jié)論

        本文首先借助標(biāo)量化方法以及正則化間隙函數(shù)將隨機(jī)向量變分不等式問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)優(yōu)化問題求解。然后在適當(dāng)條件下討論了所得隨機(jī)優(yōu)化問題解的存在性。最后,利用樣本平均逼近方法處理得到的隨機(jī)優(yōu)化問題中的數(shù)學(xué)期望,討論了近似問題最優(yōu)值及最優(yōu)解集的收斂性。所得結(jié)果為隨機(jī)向量變分不等式問題的求解提供了一種新方法。

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