王守勤，賀興時(shí)，耿 燕

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control， ILC)是一種具有學(xué)習(xí)功能的高效控制方法，適用于具有重復(fù)運(yùn)動(dòng)特性的控制系統(tǒng)[1-2]。ILC通過(guò)學(xué)習(xí)先前迭代時(shí)的輸入信息和誤差情況，更新進(jìn)入下一次迭代的控制輸入，在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)輸出軌跡與期望軌跡的偏差趨于零[3-4]。自ARIMOTO等提出迭代學(xué)習(xí)控制理論后，引起了研究者的廣泛關(guān)注[5]。為達(dá)到滿意的控制效果，通常假設(shè)輸入與輸出間的參數(shù)矩陣是已知且不變的。然而在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，參數(shù)矩陣是未知且變化的[6-8]。為處理這種參數(shù)不確定的情況，學(xué)者們開(kāi)始從自適應(yīng)角度來(lái)設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制策略，從而形成了自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制(adaptive iterative learning control,AILC)理論[9-11]。

一方面，傳統(tǒng)的D-型(derivative-type)、P-型(proportional-type)及最優(yōu)ILC要求期望軌跡在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中沿著迭代方向嚴(yán)格重復(fù)[12-15]。期望軌跡作為系統(tǒng)跟蹤的參考對(duì)象，其性能很大程度上影響了系統(tǒng)跟蹤的難易程度。在跟蹤過(guò)程中，由于噪聲、環(huán)境、氣候等因素，會(huì)出現(xiàn)輸出跟蹤難度大、軌跡偏移等問(wèn)題。如何解決軌跡偏移問(wèn)題并提高系統(tǒng)的跟蹤性能，是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)性的難題，目前這方面的研究甚少。文獻(xiàn)[16]針對(duì)含有未知不確定參數(shù)的非重復(fù)線性離散系統(tǒng)，提出一種迭代學(xué)習(xí)控制策略，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的跟蹤任務(wù)。然而，算法的收斂條件仍依賴于系統(tǒng)參數(shù)矩陣的對(duì)角元素的精確信息。文獻(xiàn)[17]研究了迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)在期望軌跡偏移時(shí)的輸出跟蹤問(wèn)題，提出一種魯棒自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法。但是，只有當(dāng)所有系統(tǒng)參數(shù)都收斂時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)該算法的收斂性。文獻(xiàn)[18]通過(guò)最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)ILC控制器，給出了一種自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法處理期望軌跡批量變化問(wèn)題。然而文章所描述的期望軌跡依賴于參數(shù)矩陣的精確信息。如果文獻(xiàn)[16-18]中的系統(tǒng)參數(shù)信息未知或不可用，那么所設(shè)計(jì)的ILC策略將失去意義。不僅系統(tǒng)的收斂性條件無(wú)法滿足，而且系統(tǒng)輸出對(duì)偏移的期望軌跡的跟蹤也無(wú)法實(shí)現(xiàn)。另一方面，D-型、P-型等傳統(tǒng)的ILC控制策略的收斂性條件都依賴于精確的系統(tǒng)模型參數(shù)(或矩陣)。值得注意的是，最優(yōu)ILC算法不僅收斂性條件依賴于精確的模型信息，學(xué)習(xí)控制律的構(gòu)建也依賴于精確的模型信息。

本文針對(duì)參數(shù)未知的單輸入、單輸出離散時(shí)變系統(tǒng)，分析ILC算法在期望軌跡偏移的情況下的魯棒性能。首先，通過(guò)最小化實(shí)際輸出與估計(jì)輸出之間的誤差設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)算法；其次，將估計(jì)的系統(tǒng)下三角參數(shù)矩陣和偏移的軌跡信息引入到ILC算法的構(gòu)建中。最后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證所提AILC算法的有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮下述單輸入、單輸出的線性離散時(shí)變系統(tǒng)：

(1)

式中：TN-1={0,1,…,N-1},TN={1,2，…,N};k∈N+，為系統(tǒng)迭代運(yùn)行的次數(shù)；t為離散時(shí)間；uk(t)∈R和yk(t)∈R分別為系統(tǒng)的單輸入和單輸出向量；xk(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；A(t)、b(t)和c(t)分別為具有恰當(dāng)維數(shù)的參數(shù)矩陣。為了方便文章的敘述與說(shuō)明，將系統(tǒng)的期望軌跡設(shè)為rk(t)，隨著迭代次數(shù)的增加而發(fā)生變化。

為了進(jìn)一步的討論，將輸入uk(t)、輸出yk(t)用超向量形式表示，即

yk=(yk(1),yk(2),…,yk(N))T

uk=(uk(0),uk(1),…,uk(N-1))T

因此，系統(tǒng)(1)可改寫為

yk=Puk

(2)

式中：矩陣P是由A(t)、b(t)和c(t)形成的下三角參數(shù)矩陣，即

記為

將矩陣P中的下三角部分用不同維數(shù)的向量pi∈Ri表示，即

p1=p11，p2=(p21,p22)T，…，

pN=(pN1,pN2,…,pNN)T

綜上所述，系統(tǒng)(2)可轉(zhuǎn)換成向量形式:

(3)

由于系統(tǒng)參數(shù)信息未知，導(dǎo)致參數(shù)矩陣P和向量pi未知。然而,傳統(tǒng)的P-型、D-型ILC算法的收斂性條件依賴于部分參數(shù)信息。本文考慮利用參數(shù)矩陣P的估計(jì)信息代替精確值，減少ILC收斂或魯棒性條件對(duì)參數(shù)信息的依賴性。

假設(shè)rk=(r(1)+Δrk(1),r(2)+Δrk(2),…,r(N)+Δrk(N))T是具有不確定性的期望軌跡，迭代學(xué)習(xí)控制的目標(biāo)是產(chǎn)生控制輸入序列{uk+1}驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(2)(或者(3))，使得輸出軌跡隨著迭代次數(shù)的增加盡可能快地跟蹤上期望軌跡rk。為了進(jìn)一步討論，考慮如下假設(shè)成立:

假設(shè)1參數(shù)矩陣P是非奇異的。

假設(shè)2參數(shù)矩陣P是有界的。

假設(shè)3期望軌跡rk是有界的。因此，存在常數(shù)h，使得?k∈N+，有‖rk‖2≤h成立。

2 自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制機(jī)制設(shè)計(jì)

(4)

(5)

式中：μ>0,是權(quán)重因子。

(6)

(7)

引理1[19]A、B、R、Y和X分別是適當(dāng)維數(shù)的矩陣。若矩陣A、B和R都是非奇異的，A-1已知，且已知矩陣B=A+XRY，則矩陣B-1可由式(8)獲取：

B-1=A-1-A-1X(R-1+YA-1X)-1YA-1

(8)

根據(jù)引理1，易得

(9)

(10)

(11)

針對(duì)自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的軌跡偏移問(wèn)題，考慮通過(guò)目標(biāo)函數(shù)(12)獲取迭代學(xué)習(xí)控制策略：

(12)

對(duì)目標(biāo)函數(shù)(12)關(guān)于uk+1求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)為零，得到控制輸入的更新策略為

uk+1=uk+(PTP)-1PTζk=uk+P-1ζk

(13)

式中：ζk=rk+1-yk。

(14)

3 收斂性分析

(15)

(16)

對(duì)式(15)兩邊同時(shí)取2-范數(shù)，并將式(16)代入其中，可得

(17)

(18)

根據(jù)式(17)和(18)，可得

(19)

將式(19)依次迭代進(jìn)行下去，可得

(20)

證明根據(jù)跟蹤誤差的定義ek=rk-yk，可得

(21)

(22)

在式(22)兩側(cè)取2-范數(shù)，可得

(23)

由假設(shè)3可知，?i∈{1,2,…,k}，存在正整數(shù)N1，當(dāng)k>N1時(shí)，有

‖Δri‖2=‖ri-ri-1‖2≤2h

(24)

(25)

(26)

式中：0

由定理1的結(jié)論可知，存在正整數(shù)l，當(dāng)k-m>N2時(shí)，有

(27)

利用范數(shù)不等式性質(zhì)及式(27)，可得

(28)

(29)

根據(jù)式(25)、(26)和式(29)，當(dāng)k-m>max{N1,N2}時(shí)，有

(30)

式中：d1+d2

將式(24)、(30)代入式(23)，可得

(31)

從而當(dāng)k→∞時(shí)，可得

(32)

因此輸出誤差ek是有界的。

4 數(shù)值模擬

為了分析所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法在軌跡偏移問(wèn)題中的有效性，考慮利用文獻(xiàn)[20]的一個(gè)線性離散系統(tǒng)的實(shí)例進(jìn)行仿真。該線性SISO離散系統(tǒng)模型描述為

(33)

式中：t∈TN，t的最大值為N=200。選取迭代變化的期望軌跡為

(34)

式中：m(k)是在區(qū)間[-0.03,0.03]上均勻分布且迭代變化的隨機(jī)數(shù)。m(k)的迭代變化情況如圖1所示。

圖 1 隨機(jī)變量m(k)的迭代變化

為了更清晰明了地展示本文所描述的AILC方案的效果，考慮將其與經(jīng)典的P-ILC算法(35)的跟蹤性能

uk+1=uk+γek

(35)

進(jìn)行比較。式中：ek為輸出誤差；γ為學(xué)習(xí)增益。圖2為本文所設(shè)計(jì)的AILC算法與學(xué)習(xí)增益γ=0.2和γ=0.5的P-ILC算法的跟蹤誤差對(duì)比結(jié)果。

圖 2 AILC與P-ILC的‖ek‖2對(duì)比

從圖2可以看出：隨著迭代次數(shù)k的增加，跟蹤誤差的范數(shù)都是逐漸減小并趨于零。值得注意的是，AILC曲線下降的速率最快。表明相對(duì)于γ=0.2和γ=0.5的P-ILC算法，本文設(shè)計(jì)的AILC算法的跟蹤性能更好。

圖3(a)和圖3(b)分別描述了具有軌跡偏移的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法的第二次輸出和第六次輸出情況。從圖3可以發(fā)現(xiàn)：雖然期望軌跡沿著迭代軸不規(guī)律變化，但隨著迭代次數(shù)的增加，仍然能夠在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出對(duì)期望軌跡的完美跟蹤。體現(xiàn)了本文所設(shè)計(jì)AILC算法的有效性。

(a) AILC算法的第二次輸出

圖4展示了AILC算法的跟蹤誤差隨時(shí)間軸和迭代軸的三維變化圖像。從圖4可以發(fā)現(xiàn)，跟蹤誤差逐漸減小并趨于零。進(jìn)一步說(shuō)明了本文所設(shè)計(jì)AILC算法的有效性。

圖 4 具有軌跡偏移的AILC算法的跟蹤誤差

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)軌跡偏移的迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)，通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)更新算法解決參數(shù)未知的問(wèn)題。利用參數(shù)矩陣的估計(jì)信息和軌跡偏移的期望軌跡信息設(shè)計(jì)自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法。通過(guò)理論分析證明了參數(shù)估計(jì)誤差的有界性，保證系統(tǒng)跟蹤誤差有界且具有較好的跟蹤精度。仿真實(shí)驗(yàn)證明了本文的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制策略在軌跡偏移時(shí)的有效性。