亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        基于區(qū)間算術(shù)的多項式函數(shù)值域的簡捷求法

        2022-11-11 13:02:24侯國亮
        長春師范大學(xué)學(xué)報 2022年10期
        關(guān)鍵詞:算術(shù)值域泰勒

        呂 鑫,侯國亮

        (長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130032)

        1 問題的提出

        “求函數(shù)值域”是一個古典的數(shù)學(xué)問題,在科學(xué)研究和工程計算中都有廣泛應(yīng)用.迄今為止,經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)人的努力,所總結(jié)出的函數(shù)值域求法種類繁多、形式各異.但對于表達式復(fù)雜的函數(shù),傳統(tǒng)的求法需要借助微積分、極值、利普希茨性質(zhì)、函數(shù)的性態(tài)和曲線走勢等復(fù)雜深奧的高等數(shù)學(xué)知識才能完成,過程繁瑣耗時,還不易掌握以及廣泛應(yīng)用和推廣.區(qū)間算術(shù)是一門用區(qū)間變量代替點變量進行運算的數(shù)學(xué)分支,其代數(shù)四則運算法則是實數(shù)四則運算的推廣,但運算結(jié)果是一個包含原問題精確解的區(qū)間集合,所以應(yīng)用區(qū)間算術(shù)初等理論可以給出計算函數(shù)值域的簡單便捷、極易掌握的方法.

        應(yīng)用區(qū)間算術(shù)理論求解函數(shù)值域的思想只在一些經(jīng)典文獻著作[1-3]中被提及過,沒有進行過全面系統(tǒng)的研究.又因為任意一個函數(shù)都可由多項式函數(shù)去進行逼近,所以本文主要研究多項式函數(shù)值域的簡捷求法.

        2 準備知識

        今記實數(shù)集R上所有區(qū)間構(gòu)成的集合為I(R).進而,如果D為R的子集(即D?R),則D上的所有區(qū)間所成之集合,可表示為

        I(D){X∈I(R)|X?D}.

        事實上,點區(qū)間就是實數(shù).當然,為了區(qū)間運算的需要,任何實數(shù)在任何時候都可以看作一個點區(qū)間.

        顯然,對稱區(qū)間X的中點mid(X)=0.

        由定義2.2可知,如果參與運算的區(qū)間均為點區(qū)間(即實數(shù)),上述定義的區(qū)間四則運算即為普通的實數(shù)四則運算.也就是說,區(qū)間四則運算是實數(shù)四則運算的推廣.

        從集合論角度看,上述給出的區(qū)間四則運算法則有如下等價形式:

        X⊙Y={x⊙y|?x∈X,?y∈Y},

        其中,⊙表示“+、-、·、/”四則運算符,且當⊙表示“/”時,要求0?Y.

        由此可知,兩區(qū)間之間的代數(shù)四則運算本質(zhì)是這兩個區(qū)間中的任意兩個元素均進行相應(yīng)的實數(shù)四則運算. 本文形象地稱其為區(qū)間代數(shù)運算的遍歷性.

        進而,如果X,Y均為對稱區(qū)間,那么X·Y也仍是對稱區(qū)間,且有

        根據(jù)區(qū)間四則運算法則,結(jié)合實際情況,給出如下任意包含數(shù)零的區(qū)間X的正偶數(shù)次冪的定義.

        其中,n=2k,k∈Z+.

        下面首先給出區(qū)間代數(shù)四則運算遍歷性的優(yōu)點.

        x⊙y∈X⊙Y.

        當⊙表示“/”時,要求0?Y.

        定理2.1(區(qū)間運算的包含單調(diào)性)[1]已知任意的X1,X2,Y1,Y2∈I(R),如果X1?X2,Y1?Y2,那么,

        X1⊙Y1?X2⊙Y2.

        當⊙表示“/”時,要求0?Y1,0?Y2.

        定義2.7(實值函數(shù)的區(qū)間擴展) 設(shè)函數(shù)f:D?R→R,如果存在區(qū)間值映射

        F:I(D)→I(R),

        對任意x∈X,X∈I(D),有

        F([x,x])=f(x)

        成立,那么稱F為函數(shù)f的區(qū)間擴展.顯然,F(xiàn)(X),X∈I(D)是一個以區(qū)間X為變量而取值是區(qū)間的函數(shù),則稱F(X)為區(qū)間值函數(shù).

        根據(jù)區(qū)間四則運算法則,容易看出實值函數(shù)f(x),x∈D的區(qū)間擴展F(X),X∈I(D)不是唯一的. 例如,若F是f的某一區(qū)間擴展,則

        F1(X)=F(X)+X-X

        是f的另一不同的區(qū)間擴展.

        由上述定義易知,當區(qū)間變量X為點區(qū)間時,F(xiàn)即為f.

        定義2.8 已知區(qū)間值函數(shù)F:I(D)→I(R).對于任意X,Y∈I(D),如果

        X?Y?F(X)?F(Y),

        那么稱區(qū)間值函數(shù)F具包含單調(diào)性.

        定義2.9 表達式由有限多個區(qū)間變量的四則運算組合而成的函數(shù)稱為區(qū)間有理函數(shù).

        定理2.2[4]區(qū)間有理函數(shù)具包含單調(diào)性.

        證明 反復(fù)應(yīng)用定理2.1有限多次即可得證.

        定理2.3(泰勒中值定理)[5]如果函數(shù)f(x),x∈D?R在x0的某個鄰域U(x0)內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),那么對任意x∈U(x0),有

        (1)

        式(1)稱為函數(shù)f在x0處按(x-x0)的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式.

        推論2.1 設(shè)x0∈R,n次冪多項式函數(shù)pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0在x0處的泰勒公式為

        其中,ai∈R,i=0,1,2,…,n.

        證明 因為多項式函數(shù)pn(x)在任一實數(shù)x0處任意階可導(dǎo),且當k≥n+1時,有

        所以式(1)中的拉格朗日型余項Rn(x,ξ)≡0.

        定義2.10[6]設(shè)n次冪多項式函數(shù)pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,ai∈R,i=0,1,2,…,n.表達式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的等價形式

        (…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0

        稱為pn(x)的秦九韶算法形式,即

        pn(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.

        定理2.4(多項式函數(shù)區(qū)間擴展的Lipschitz性質(zhì)) 設(shè)區(qū)間值函數(shù)Pn(X),X∈I(D)是n次冪多項式函數(shù)pn(x),x∈D的區(qū)間擴展,則存在一常數(shù)k>0,有

        wid(Pn(X))≤kwid(X),?X∈I(D).

        證明 根據(jù)區(qū)間有理函數(shù)的Lipschitz性質(zhì)[1]和定義2.9即可得證.

        3 主要工作

        根據(jù)定義2.7、定義2.8、定義2.9和定理2.2,可得如下結(jié)論.

        定理3.1 設(shè)區(qū)間有理函數(shù)Pn(X),X∈I(D)是n次冪多項式函數(shù)pn(x),x∈D的一區(qū)間擴展,那么,

        pn(X)?Pn(X),

        其中,pn(X)表示多項式函數(shù)pn(x)在區(qū)間X∈I(D)上的值域.

        由定理3.1表明,多項式函數(shù)pn(x)在區(qū)間X上的值域可借助Pn(X)求得.但這里還有一個問題,就是區(qū)間Pn(X)和pn(X)差別有多大.這個問題十分重要,自區(qū)間算術(shù)誕生以來一直是一個重要的研究方面. 因篇幅限制,本文不打算對此作深入討論,只介紹一些基本的計算方法,為讀者提供一定的解題思路,起到拋磚引玉的作用.

        例3.1[5]計算3次冪多項式函數(shù)p3(x)=x3+3x2-9x+12在區(qū)間X0=[-4,-2]上的值域.

        解 解法一(傳統(tǒng)求法)

        然后確定p3(x)的單調(diào)區(qū)域:

        判斷區(qū)間X0=[-4,-2]與各個單調(diào)區(qū)域的關(guān)系:

        X0∩(-∞,-3]=[-4,-3]≠?,X0∩[-3,1]=[-3,-2]≠?,X0∩[1,+∞)=?,

        因此,X0=[-4,-2]既不是p3(x)的單調(diào)遞增區(qū)域,也不是其單調(diào)遞減區(qū)域,而是既含有p3(x)單調(diào)遞增區(qū)域,也含有其單調(diào)遞減區(qū)域.

        最后,根據(jù)p3(x)在R內(nèi)的連續(xù)性可知其在X0=[-4,-2]上的值域等于其在區(qū)間[-4,-3]和[-3,-2]上的值域的并集,而p3(x)在[-4,-3]和[-3,-2]上的值域可分別根據(jù)單調(diào)性求出:

        p3([-4,-3])=[32,39],p3([-3,-2])=[34,39],

        所以,

        p3(X0)=p3([-4,-3])∪p3([-3,-2])=[32,39].

        解法二(自然區(qū)間擴展求法)

        首先給出p3(x)的自然區(qū)間擴展:

        P3-0(X)=X·X·X+3X·X-9X+12.

        然后依據(jù)區(qū)間四則運算法則計算出區(qū)間值函數(shù)P3-0(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值:

        P3-0(X0)=[-4,-2]·[-4,-2]·[-4,-2]+3[-4,-2]·[-4,-2]-9[-4,-2]+12=[-22,88].

        結(jié)果分析:雖然

        P3-0(X0)=[-22,88]?[32,39]=p3(X0),

        但是

        wid(P3-0(X0))=110?wid(p3(X0))=7,

        所以,P3-0(X0)=[-22,88]是一個沒有實用價值的計算結(jié)果.

        上述無用結(jié)果產(chǎn)生的原因是區(qū)間代數(shù)運算遍歷性造成的區(qū)間擴張不足.控制區(qū)間運算擴張最有效的措施之一是減少區(qū)間參與運算的次數(shù).

        解法三(秦九韶型區(qū)間擴展求法)

        首先根據(jù)p3(x)的秦九韶算法形式p3(x)=((x+3)x-9)x+12寫出其又一區(qū)間擴展(本文稱其秦九韶型區(qū)間擴展):

        P3-1(X)=((X+3)·X-9)·X+12.

        然后計算P3-1(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值:

        P3-1(X0)=(([-4,-2]+3)·[-4,-2]-9)·[-4,-2]+12=[22,64].

        結(jié)果分析:雖然

        wid(P3-1(X0))=42>wid(p3(X0))=7,

        但與wid(P3-0(X0))=110相比,計算結(jié)果P3-1(X0)=[22,64]已有很大改進,這是一個好現(xiàn)象.

        考慮到多項式函數(shù)的泰勒公式的特殊性和對稱區(qū)間運算的簡化性,又有如下方法.

        解法四(泰勒公式型區(qū)間擴展求法)

        p3(x)=(x+3)3-6(x+3)2+39.

        然后基于上述泰勒公式寫出p3(x)的另一區(qū)間擴展(本文稱為泰勒公式型區(qū)間擴展):

        P3-2(X)=(X+3)3-6(X+3)2+39.

        接著,結(jié)合性質(zhì)2.1計算P3-2(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值:

        P3-2(X0)=[-1,1]-6[-1,1]+39=[32,46].

        容易看出,該方法計算的結(jié)果較解法三又有很大改進.

        除了減少區(qū)間參與運算的次數(shù)外,定義2.6給出的一類特殊區(qū)間正偶數(shù)次冪運算規(guī)則也是控制區(qū)間擴張的最有效措施之一.以下方法綜合了解法三和解法四,并運用定義2.6.

        解法五(綜合求法)

        首先給出p3(x)的又一區(qū)間擴展:

        P3-3(X)=(X+3)2(X-3)+39.

        然后,結(jié)合性質(zhì)2.1和定義2.6計算P3-3(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值:

        P3-3(X0)=(X0+3)2(X0-3)+39=[0,1]·[-7,-5]+39=[-7,0]+39=[32,39],

        即有

        P3-3(X0)=p3(X0).

        結(jié)果分析:上述結(jié)果的出現(xiàn)并不是偶然現(xiàn)象,因為解法五的每一個步驟都是在最優(yōu)的控制區(qū)間運算的擴張(即區(qū)間擴張).

        4 結(jié)語

        綜上所述,利用區(qū)間算術(shù)可以實現(xiàn)簡化多項式函數(shù)值域求法的目的,但由于區(qū)間運算具有區(qū)間擴張的不足,一般情況下要想一蹴而就給出函數(shù)值域有些不現(xiàn)實.但是,根據(jù)定理2.4,可以通過細分定義區(qū)間,計算多項式函數(shù)在各小區(qū)間上的值域來得到其在原來定義區(qū)間上的值域,但計算量會相應(yīng)增大.下一步的研究是將本文提出的多項式函數(shù)值域新求法及其計算過程形成理論結(jié)果,并應(yīng)用于更一般的函數(shù)類.

        猜你喜歡
        算術(shù)值域泰勒
        函數(shù)的值域與最值
        多角度求解函數(shù)值域
        值域求解——一個“少”字了得
        破解函數(shù)值域的十招
        算算術(shù)
        學(xué)算術(shù)
        一起綿羊泰勒焦蟲病的診斷治療經(jīng)過
        小狗算算術(shù)
        做算術(shù)(外一則)
        讀寫算(中)(2015年12期)2015-11-07 07:25:01
        泰勒公式的簡單應(yīng)用
        河南科技(2014年14期)2014-02-27 14:12:08
        一区二区视频观看在线| 亚洲精品国产精品国自产观看| 免费大片黄国产在线观看| 欧美综合天天夜夜久久| 无码少妇一区二区性色av | 亚洲va欧美va人人爽夜夜嗨| 日韩精品极品视频在线免费| 国产另类av一区二区三区| 中文字幕一区在线直播| 少妇真实被内射视频三四区| 久久无码av一区二区三区| 日本大片在线看黄a∨免费| 国产精品欧美日韩在线一区| 一区二区三区国产美女在线播放 | 日韩人妻精品视频一区二区三区| 揄拍成人国产精品视频| 国产精品久久久久9999小说| 亚洲欧美成人a∨| 久久久亚洲精品蜜桃臀| 午夜黄色一区二区不卡| 亚洲国产综合精品中久| 天天做天天爱夜夜爽女人爽| 无人视频在线观看免费播放影院 | 美女国产毛片a区内射| 亚洲精品久久久久avwww潮水| 亚洲乱亚洲乱少妇无码99p| 99热在线精品播放| 无码久久精品蜜桃| 国产91精品自拍视频| 手机在线免费av资源网| 国产成人av综合色| 98久9在线 | 免费| 伊人久久一区二区三区无码| 在线亚洲精品国产成人二区| 久久精品国产自产对白一区| 国产亚洲精品综合一区| 人妻 色综合网站| 日本大片免费观看完整视频| 亚洲欧洲AV综合色无码| 一本久道久久丁香狠狠躁| 精品露脸国产偷人在视频|