呂 鑫,侯國亮
(長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130032)
“求函數(shù)值域”是一個古典的數(shù)學(xué)問題,在科學(xué)研究和工程計算中都有廣泛應(yīng)用.迄今為止,經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)人的努力,所總結(jié)出的函數(shù)值域求法種類繁多、形式各異.但對于表達式復(fù)雜的函數(shù),傳統(tǒng)的求法需要借助微積分、極值、利普希茨性質(zhì)、函數(shù)的性態(tài)和曲線走勢等復(fù)雜深奧的高等數(shù)學(xué)知識才能完成,過程繁瑣耗時,還不易掌握以及廣泛應(yīng)用和推廣.區(qū)間算術(shù)是一門用區(qū)間變量代替點變量進行運算的數(shù)學(xué)分支,其代數(shù)四則運算法則是實數(shù)四則運算的推廣,但運算結(jié)果是一個包含原問題精確解的區(qū)間集合,所以應(yīng)用區(qū)間算術(shù)初等理論可以給出計算函數(shù)值域的簡單便捷、極易掌握的方法.
應(yīng)用區(qū)間算術(shù)理論求解函數(shù)值域的思想只在一些經(jīng)典文獻著作[1-3]中被提及過,沒有進行過全面系統(tǒng)的研究.又因為任意一個函數(shù)都可由多項式函數(shù)去進行逼近,所以本文主要研究多項式函數(shù)值域的簡捷求法.
今記實數(shù)集R上所有區(qū)間構(gòu)成的集合為I(R).進而,如果D為R的子集(即D?R),則D上的所有區(qū)間所成之集合,可表示為
I(D){X∈I(R)|X?D}.
事實上,點區(qū)間就是實數(shù).當然,為了區(qū)間運算的需要,任何實數(shù)在任何時候都可以看作一個點區(qū)間.
顯然,對稱區(qū)間X的中點mid(X)=0.
由定義2.2可知,如果參與運算的區(qū)間均為點區(qū)間(即實數(shù)),上述定義的區(qū)間四則運算即為普通的實數(shù)四則運算.也就是說,區(qū)間四則運算是實數(shù)四則運算的推廣.
從集合論角度看,上述給出的區(qū)間四則運算法則有如下等價形式:
X⊙Y={x⊙y|?x∈X,?y∈Y},
其中,⊙表示“+、-、·、/”四則運算符,且當⊙表示“/”時,要求0?Y.
由此可知,兩區(qū)間之間的代數(shù)四則運算本質(zhì)是這兩個區(qū)間中的任意兩個元素均進行相應(yīng)的實數(shù)四則運算. 本文形象地稱其為區(qū)間代數(shù)運算的遍歷性.
進而,如果X,Y均為對稱區(qū)間,那么X·Y也仍是對稱區(qū)間,且有
根據(jù)區(qū)間四則運算法則,結(jié)合實際情況,給出如下任意包含數(shù)零的區(qū)間X的正偶數(shù)次冪的定義.
其中,n=2k,k∈Z+.
下面首先給出區(qū)間代數(shù)四則運算遍歷性的優(yōu)點.
x⊙y∈X⊙Y.
當⊙表示“/”時,要求0?Y.
定理2.1(區(qū)間運算的包含單調(diào)性)[1]已知任意的X1,X2,Y1,Y2∈I(R),如果X1?X2,Y1?Y2,那么,
X1⊙Y1?X2⊙Y2.
當⊙表示“/”時,要求0?Y1,0?Y2.
定義2.7(實值函數(shù)的區(qū)間擴展) 設(shè)函數(shù)f:D?R→R,如果存在區(qū)間值映射
F:I(D)→I(R),
對任意x∈X,X∈I(D),有
F([x,x])=f(x)
成立,那么稱F為函數(shù)f的區(qū)間擴展.顯然,F(xiàn)(X),X∈I(D)是一個以區(qū)間X為變量而取值是區(qū)間的函數(shù),則稱F(X)為區(qū)間值函數(shù).
根據(jù)區(qū)間四則運算法則,容易看出實值函數(shù)f(x),x∈D的區(qū)間擴展F(X),X∈I(D)不是唯一的. 例如,若F是f的某一區(qū)間擴展,則
F1(X)=F(X)+X-X
是f的另一不同的區(qū)間擴展.
由上述定義易知,當區(qū)間變量X為點區(qū)間時,F(xiàn)即為f.
定義2.8 已知區(qū)間值函數(shù)F:I(D)→I(R).對于任意X,Y∈I(D),如果
X?Y?F(X)?F(Y),
那么稱區(qū)間值函數(shù)F具包含單調(diào)性.
定義2.9 表達式由有限多個區(qū)間變量的四則運算組合而成的函數(shù)稱為區(qū)間有理函數(shù).
定理2.2[4]區(qū)間有理函數(shù)具包含單調(diào)性.
證明 反復(fù)應(yīng)用定理2.1有限多次即可得證.
定理2.3(泰勒中值定理)[5]如果函數(shù)f(x),x∈D?R在x0的某個鄰域U(x0)內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),那么對任意x∈U(x0),有
(1)
式(1)稱為函數(shù)f在x0處按(x-x0)的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式.
推論2.1 設(shè)x0∈R,n次冪多項式函數(shù)pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0在x0處的泰勒公式為
其中,ai∈R,i=0,1,2,…,n.
證明 因為多項式函數(shù)pn(x)在任一實數(shù)x0處任意階可導(dǎo),且當k≥n+1時,有
所以式(1)中的拉格朗日型余項Rn(x,ξ)≡0.
定義2.10[6]設(shè)n次冪多項式函數(shù)pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,ai∈R,i=0,1,2,…,n.表達式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的等價形式
(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0
稱為pn(x)的秦九韶算法形式,即
pn(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
定理2.4(多項式函數(shù)區(qū)間擴展的Lipschitz性質(zhì)) 設(shè)區(qū)間值函數(shù)Pn(X),X∈I(D)是n次冪多項式函數(shù)pn(x),x∈D的區(qū)間擴展,則存在一常數(shù)k>0,有
wid(Pn(X))≤kwid(X),?X∈I(D).
證明 根據(jù)區(qū)間有理函數(shù)的Lipschitz性質(zhì)[1]和定義2.9即可得證.
根據(jù)定義2.7、定義2.8、定義2.9和定理2.2,可得如下結(jié)論.
定理3.1 設(shè)區(qū)間有理函數(shù)Pn(X),X∈I(D)是n次冪多項式函數(shù)pn(x),x∈D的一區(qū)間擴展,那么,
pn(X)?Pn(X),
其中,pn(X)表示多項式函數(shù)pn(x)在區(qū)間X∈I(D)上的值域.
由定理3.1表明,多項式函數(shù)pn(x)在區(qū)間X上的值域可借助Pn(X)求得.但這里還有一個問題,就是區(qū)間Pn(X)和pn(X)差別有多大.這個問題十分重要,自區(qū)間算術(shù)誕生以來一直是一個重要的研究方面. 因篇幅限制,本文不打算對此作深入討論,只介紹一些基本的計算方法,為讀者提供一定的解題思路,起到拋磚引玉的作用.
例3.1[5]計算3次冪多項式函數(shù)p3(x)=x3+3x2-9x+12在區(qū)間X0=[-4,-2]上的值域.
解 解法一(傳統(tǒng)求法)
然后確定p3(x)的單調(diào)區(qū)域:
判斷區(qū)間X0=[-4,-2]與各個單調(diào)區(qū)域的關(guān)系:
X0∩(-∞,-3]=[-4,-3]≠?,X0∩[-3,1]=[-3,-2]≠?,X0∩[1,+∞)=?,
因此,X0=[-4,-2]既不是p3(x)的單調(diào)遞增區(qū)域,也不是其單調(diào)遞減區(qū)域,而是既含有p3(x)單調(diào)遞增區(qū)域,也含有其單調(diào)遞減區(qū)域.
最后,根據(jù)p3(x)在R內(nèi)的連續(xù)性可知其在X0=[-4,-2]上的值域等于其在區(qū)間[-4,-3]和[-3,-2]上的值域的并集,而p3(x)在[-4,-3]和[-3,-2]上的值域可分別根據(jù)單調(diào)性求出:
p3([-4,-3])=[32,39],p3([-3,-2])=[34,39],
所以,
p3(X0)=p3([-4,-3])∪p3([-3,-2])=[32,39].
解法二(自然區(qū)間擴展求法)
首先給出p3(x)的自然區(qū)間擴展:
P3-0(X)=X·X·X+3X·X-9X+12.
然后依據(jù)區(qū)間四則運算法則計算出區(qū)間值函數(shù)P3-0(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值:
P3-0(X0)=[-4,-2]·[-4,-2]·[-4,-2]+3[-4,-2]·[-4,-2]-9[-4,-2]+12=[-22,88].
結(jié)果分析:雖然
P3-0(X0)=[-22,88]?[32,39]=p3(X0),
但是
wid(P3-0(X0))=110?wid(p3(X0))=7,
所以,P3-0(X0)=[-22,88]是一個沒有實用價值的計算結(jié)果.
上述無用結(jié)果產(chǎn)生的原因是區(qū)間代數(shù)運算遍歷性造成的區(qū)間擴張不足.控制區(qū)間運算擴張最有效的措施之一是減少區(qū)間參與運算的次數(shù).
解法三(秦九韶型區(qū)間擴展求法)
首先根據(jù)p3(x)的秦九韶算法形式p3(x)=((x+3)x-9)x+12寫出其又一區(qū)間擴展(本文稱其秦九韶型區(qū)間擴展):
P3-1(X)=((X+3)·X-9)·X+12.
然后計算P3-1(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值:
P3-1(X0)=(([-4,-2]+3)·[-4,-2]-9)·[-4,-2]+12=[22,64].
結(jié)果分析:雖然
wid(P3-1(X0))=42>wid(p3(X0))=7,
但與wid(P3-0(X0))=110相比,計算結(jié)果P3-1(X0)=[22,64]已有很大改進,這是一個好現(xiàn)象.
考慮到多項式函數(shù)的泰勒公式的特殊性和對稱區(qū)間運算的簡化性,又有如下方法.
解法四(泰勒公式型區(qū)間擴展求法)
p3(x)=(x+3)3-6(x+3)2+39.
然后基于上述泰勒公式寫出p3(x)的另一區(qū)間擴展(本文稱為泰勒公式型區(qū)間擴展):
P3-2(X)=(X+3)3-6(X+3)2+39.
接著,結(jié)合性質(zhì)2.1計算P3-2(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值:
P3-2(X0)=[-1,1]-6[-1,1]+39=[32,46].
容易看出,該方法計算的結(jié)果較解法三又有很大改進.
除了減少區(qū)間參與運算的次數(shù)外,定義2.6給出的一類特殊區(qū)間正偶數(shù)次冪運算規(guī)則也是控制區(qū)間擴張的最有效措施之一.以下方法綜合了解法三和解法四,并運用定義2.6.
解法五(綜合求法)
首先給出p3(x)的又一區(qū)間擴展:
P3-3(X)=(X+3)2(X-3)+39.
然后,結(jié)合性質(zhì)2.1和定義2.6計算P3-3(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值:
P3-3(X0)=(X0+3)2(X0-3)+39=[0,1]·[-7,-5]+39=[-7,0]+39=[32,39],
即有
P3-3(X0)=p3(X0).
結(jié)果分析:上述結(jié)果的出現(xiàn)并不是偶然現(xiàn)象,因為解法五的每一個步驟都是在最優(yōu)的控制區(qū)間運算的擴張(即區(qū)間擴張).
綜上所述,利用區(qū)間算術(shù)可以實現(xiàn)簡化多項式函數(shù)值域求法的目的,但由于區(qū)間運算具有區(qū)間擴張的不足,一般情況下要想一蹴而就給出函數(shù)值域有些不現(xiàn)實.但是,根據(jù)定理2.4,可以通過細分定義區(qū)間,計算多項式函數(shù)在各小區(qū)間上的值域來得到其在原來定義區(qū)間上的值域,但計算量會相應(yīng)增大.下一步的研究是將本文提出的多項式函數(shù)值域新求法及其計算過程形成理論結(jié)果,并應(yīng)用于更一般的函數(shù)類.