王 成, 許建新, 尚利俊

(1.西安航空學院 機械工程學院,陜西 西安 710077; 2.西北工業(yè)大學 機電學院,陜西 西安 710072; 3.佛山科學技術(shù)學院 經(jīng)濟管理學院,廣東 佛山 528225)

0 引言

以任務需求和安全為導向的裝備通常要求具備較高的可靠性，如執(zhí)行飛行任務的飛機、執(zhí)行運輸任務的高鐵以及執(zhí)行作戰(zhàn)任務的潛艇等，這些裝備中的安全關(guān)鍵系統(tǒng)需要具備長時間穩(wěn)定運行的特性。在安全關(guān)鍵系統(tǒng)組件構(gòu)成結(jié)構(gòu)確定的前提下，常采用冗余方法來提高系統(tǒng)的可靠性。合理的冗余設(shè)計將大大提高系統(tǒng)的可靠性，但同時也增加了系統(tǒng)的復雜度和設(shè)計難度，如何合理而有效的進行系統(tǒng)冗余設(shè)計是一個不斷探索的課題。

近年來，學者們在冗余節(jié)點的優(yōu)化設(shè)計方面取得了一些成果。宋征宇[1]提出了考慮成本效率的航天運輸電子系統(tǒng)冗余設(shè)計方法，該方法既保證了系統(tǒng)的可靠性，又提高了成本效率。杜海東等[2]從產(chǎn)品設(shè)計角度出發(fā)，證明了在系統(tǒng)組成單元中對可靠度最低并且初始冗余數(shù)最少的部件增加冗余設(shè)計可以有效提高系統(tǒng)總體可靠性水平。趙敏等[3]為了提高監(jiān)測系統(tǒng)的可靠性，將備件部署在風電機組中極易發(fā)生故障的部件上，并根據(jù)建立的目標函數(shù)確定最優(yōu)的備件數(shù)目。諸震亞等[4]采用點失效模型可靠性方法來實現(xiàn)備份節(jié)點的優(yōu)化部署，在原網(wǎng)絡基礎(chǔ)上通過增加備份節(jié)點的方式來提高網(wǎng)絡的可靠性。李亙等[5]為了整體提升全自動無人駕駛地鐵車輛的安全性和可靠性，充分考慮各組成系統(tǒng)的冗余設(shè)計及優(yōu)化方法。LEVITIN等[6]提出了一種用于平衡任務成功概率和系統(tǒng)損失風險的冗余分配方法。綜述上述，現(xiàn)有研究大多以成本控制或可靠度為優(yōu)化目標，很少有從運行效益的角度對整個系統(tǒng)進行優(yōu)化的研究，因此如何保證系統(tǒng)在執(zhí)行任務期間可靠運行的前提下實現(xiàn)效益最優(yōu)將是本文研究的重點。

近年來，隨著重要度(Importance Measures, IM)理論的不斷發(fā)展，采用IM驅(qū)動的通用框架來解決復雜系統(tǒng)可靠性優(yōu)化問題已成為一種有效的手段[7]。目前研究比較活躍的IM方法有Birnbaum重要度(Birnbaum Importance, BI)[8]、關(guān)鍵重要度[9]、綜合重要度[10]、網(wǎng)絡重要度[11]等，有關(guān)IM的最新進展請參閱相關(guān)文獻[12,13]。鑒于重要度在復雜系統(tǒng)應用方面的優(yōu)勢，本文從系統(tǒng)效益的角度出發(fā)，構(gòu)建了系統(tǒng)可靠性模型，定義了效益重要度(Yield Importance, YI)，提出了一種面向任務保障的多組件系統(tǒng)效益優(yōu)化策略。當系統(tǒng)可靠度下降到設(shè)定閾值時，計算系統(tǒng)各組件的效益重要度，選擇效益重要度最大的組件進行備件分配，如此進行迭代，直到完成任務要求，最終形成最優(yōu)的備件分配序列。

1 問題描述

假設(shè)系統(tǒng)由一系列不同的組件串并聯(lián)組成，系統(tǒng)的可靠度由這些組件的可靠度來衡量。在一次任務保障中，系統(tǒng)可靠度要長期保持不低于最小可靠度閾值，需要對現(xiàn)有組件增加適量的備件，在系統(tǒng)整體可靠度低于設(shè)定閾值時切換到備件用于提升系統(tǒng)可靠度?？紤]到空間和效益問題，不可能給每個組件配置過多的備件。因此，當系統(tǒng)可靠度低于設(shè)定閾值時，選擇效益最高的組件進行一次備件切換工作，以此類推，直到完成任務。系統(tǒng)可靠度隨時間和備件切換而發(fā)生的變化規(guī)律示意圖如圖1所示，注意到由于每次僅選擇效益最高的組件進行備件切換，因此系統(tǒng)在運行期間的整體可靠度常常小于1。

圖1 系統(tǒng)可靠度隨時間和備件切換變化規(guī)律示意圖

本文所要解決的問題是在系統(tǒng)正式投入使用之前，制定一個面向任務保障的系統(tǒng)最優(yōu)效益?zhèn)浼峙湫蛄?。為了保證研究的有效性，特作如下假設(shè)：

(1)每個組件之間相互獨立；

(2)性能退化是唯一引起失效的原因，即不考慮外界環(huán)境對組件的影響，如人為破壞，自然災害等；

(3)每個組件都是全新的，即初始退化量θi=0；

(4)備件在休眠期間性能不退化；

(5)不考慮因系統(tǒng)可靠性降低帶來的風險成本。

2 系統(tǒng)可靠性建模

對于每個組件而言，當其性能退化水平Xi達到其失效閾值Li時，則認為該組件失效。失效閾值集合由L表示且L={L1,L2,…,Ln}。每個組件的失效閾值根據(jù)自身特性進行預設(shè)。因此每個組件的可靠度Ri(t)表示為Xi不超過Li的概率，即

(1)

式中：Φ(·)表示標準正態(tài)累積分布函數(shù)。

假設(shè)系統(tǒng)由m個子系統(tǒng)組成，每個子系統(tǒng)包含ni個組件，整個系統(tǒng)的可靠度R(t)可以表示為

(2)

式中：m表示子系統(tǒng)的數(shù)量；ni表示每個子系統(tǒng)包含組件的數(shù)量，且i∈{1,2,…,m}；Rij(t)表示第i個子系統(tǒng)的第j個組件的可靠度。

3 系統(tǒng)效益優(yōu)化策略

3.1 目標函數(shù)

將系統(tǒng)可靠度下限閾值和任務保障時間作為約束條件，以系統(tǒng)收益作為目標函數(shù)，建立系統(tǒng)收益優(yōu)化模型為

f=max(ZS),s.t.R(t)≤σ,t≤S

(3)

式中：ZS表示目標函數(shù)，其由周期內(nèi)運營帶來的收入(V)與運營成本和備件成本之和(C)之間的差異組成，即ZS=V-C；σ表示系統(tǒng)可靠度下限閾值；S表示系統(tǒng)運行總周期。

對ZS進一步展開為

(4)

3.2 效益重要度

備件分配序列屬于非線性整數(shù)規(guī)劃問題，使用一般的規(guī)劃論方法求解過程較為復雜，本文借鑒了邊際效應思想進行優(yōu)化求解，以達到對有效資源的合理分配。為此，將系統(tǒng)收益最大化問題轉(zhuǎn)化為在任意一次切換時刻選擇哪一個組件進行備件切換才能使當前時刻的系統(tǒng)凈收益最大。為了能夠量化表示在任意一次切換時刻系統(tǒng)的凈收益，構(gòu)建了效益重要度，具體構(gòu)建過程如下。

(1)系統(tǒng)凈收益形式化

設(shè)y(t)為第i個組件進行備件切換前且不考慮其自身成本的系統(tǒng)收益函數(shù)，其表達式為

(5)

由式(5)可知，第i個組件進行備件切換前且不考慮其自身成本的系統(tǒng)期望收益E(y(t))可以表示為

(6)

式中：F(t)表示第i個組件進行備件切換前系統(tǒng)的壽命分布函數(shù)；R(t)表示第i個組件進行備件切換前系統(tǒng)的可靠度函數(shù)。

(7)

同理可知，對第i組件進行備件切換后且不考慮其自身成本的系統(tǒng)期望收益E(yi(t))可以表示為

(8)

式中：Rω(t)表示第i個組件進行備件切換后系統(tǒng)的可靠度函數(shù)；Fω(t)表示第i個組件進行備件切換后系統(tǒng)的壽命分布函數(shù)。

為了量化描述Rω(t)，首先要開展第i個組件備件的切換行為對第i個組件可靠度的影響研究。假設(shè)第i個組件工作一段時間后對其進行備件切換，此時的組件可靠度相當于通過一個時間的正向偏移量來提升其可靠度直到為1，即

(9)

由式(9)可知，第i個組件備件切換后對整個系統(tǒng)的可靠度會有一個提升量，此時的系統(tǒng)可靠度函數(shù)可以表示為Rω(t)，且Rω(t)=R(t-ε),0<ε<τ，其中ε表示由第i個組件備件切換時對整個系統(tǒng)可靠度提升所需的時間正向偏移量。

(10)

由式(7)和式(10)可知，經(jīng)過第i個組件進行備件切換后，整個系統(tǒng)的期望凈收益E(Zi)可以表示為

(11)

為了使R(t)能夠由含Ri(t)的表達式來表示，本文采用樞軸分解定理[7]和BI理論[8]對R(t)進行變形展開，具體過程如下：

由樞軸分解定理可知，R(t)可以表示為

R(t)=Ri(t)R(1i,t)+(1-Ri(t))R(0i,t)

(12)

式中：Ri(t)表示第i個組件的可靠度；R(1i,t)表示當?shù)趇個組件正常時在t時刻的系統(tǒng)可靠度；R(0i,t)表示當?shù)趇個組件失效時在t時刻的系統(tǒng)可靠度。

(13)

根據(jù)式(12)和式(13)可知，R(t)可以變形為

(14)

同理可知，Rω(t)可以變形為

(15)

將式(14)和式(15)代入式(11)可得

(16)

(2)效益重要度定義

(17)

(18)

(19)

3.3 基于效益重要度的備件分配

在系統(tǒng)可靠度閾值以及運行時間兩個約束條件下，采用模擬消耗式備件的方式來反向求解各組件備件的分配序列。當系統(tǒng)可靠度低于設(shè)定的閾值時，將待切換的各組件的效益重要度從大到小依次排列，對效益重要度最大的組件進行備件切換，假設(shè)切換過程沒有時間延遲，切換完成后系統(tǒng)繼續(xù)運行，并根據(jù)約束條件決策是否進入下一次切換。最后，求出整個運行周期內(nèi)各切換時刻對應的備件，形成含切換時刻的備件序列。詳細的分配過程如圖2所示，具體步驟如下：

圖2 備件分配過程

步驟1參數(shù)預設(shè)。按照任務保障的要求，設(shè)置系統(tǒng)可靠度下限閾值以及運行時間。

步驟2系統(tǒng)運行。判斷系統(tǒng)運行時間是否到達任務中止時間，如果到達，任務完成。如未到達，判斷系統(tǒng)可靠度是否下降到預設(shè)閾值，如果高于預設(shè)閾值，系統(tǒng)繼續(xù)運行；如果低于預設(shè)閾值，進行步驟3。

步驟3組件備件切換。當系統(tǒng)可靠度下降到下限閾值時，計算各組件效益重要度，按照效益重要度由大到小排序，按最大效益重要度無時差地切換對應備件，其形式化表示為

?

?

(20)

式中：cSj表示第j次組件切換時選擇的備件；fj(·)表示第j次組件切換時的映射函數(shù)。

切換完成后，轉(zhuǎn)到步驟2繼續(xù)運行，同時記錄當前切換時刻的組件備件。

步驟4組件備件序列求解。當任務完成后，對每次切換的組件備件進行序列統(tǒng)計，形成含切換時刻的備件序列。由式(20)可知，在整個系統(tǒng)運行總周期內(nèi)的組件備件序列可以表示為{cS1,cS2,…,cSj,…,cSk}。

4 數(shù)值仿真驗證

圖3 由4個組件組成的串并聯(lián)系統(tǒng)

(21)

表1 組件規(guī)格參數(shù)

表2 系統(tǒng)運行參數(shù)

圖4 系統(tǒng)可靠度隨時間變化規(guī)律

表3 系統(tǒng)備件分配明細

5 結(jié)束語

安全關(guān)鍵系統(tǒng)的長期穩(wěn)定運行是按期完成任務保障的基礎(chǔ)，從系統(tǒng)效益的角度出發(fā)，提出了一種面向 任務保障的多組件系統(tǒng)效益優(yōu)化策略。該策略采用基于效益重要度的分配原則來確定備件數(shù)量，不僅使整個系統(tǒng)的可靠性得到了提升，同時也使備件達到效益最大化。數(shù)值仿真結(jié)果直觀明了且符合預期。在后續(xù)研究中可以考慮更加復雜的連接結(jié)構(gòu)以及增加組件之間的依賴關(guān)系。