何宇 譚代倫

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》將數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動這一主題列入必修課程之中，并且提出數(shù)學(xué)建?；顒邮腔跀?shù)學(xué)思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容[1]．高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生往往被動接受數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)問題通常是給定條件信息，求解目標問題．而數(shù)學(xué)建?；顒邮墙o定一個現(xiàn)實情境，教師通過教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生開拓思維，把數(shù)學(xué)和生活緊密聯(lián)系在一起，從實際生活中尋找數(shù)學(xué)問題，從而通過建模的方法解決問題，養(yǎng)成遇到問題從數(shù)學(xué)模型角度思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣．

1 教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)是人教A版必修1數(shù)學(xué)建模板塊——建立函數(shù)模型解決實際問題的內(nèi)容，教師以實際生活中常見的管道包扎問題為背景，通過實驗探究的方法引導(dǎo)學(xué)生從大量的信息中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并分析尋找所蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，

教學(xué)重點正確完成實驗探究，合理分析實驗結(jié)論，

教學(xué)難點 （1）將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，領(lǐng)悟建立數(shù)學(xué)建模的整個過程；（2）實物圖形合理轉(zhuǎn)化為抽象幾何圖形，構(gòu)造輔助線獲得數(shù)學(xué)模型．

2 學(xué)情分析

2.1知識結(jié)構(gòu)

（1）學(xué)生在初中階段已經(jīng)具備運用正弦函數(shù)解直角三角形；（2）在“圖形與幾何”這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，了解圓柱體的基本性質(zhì)，具備了制作實物模型和想象展開圖的能力；（3）學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的理論有一定的了解．

2.2能力水平

（1）具備“通過觀察、分析、操作、抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的能力；（2）具備了一定的抽象概括能力和合情推理能力；（3）使用文字和數(shù)學(xué)符號的能力，有一定程度的發(fā)展．

3 教學(xué)目標

目標1：（1）將學(xué)生學(xué)習(xí)的視野拓寬到學(xué)生的生活空間，強調(diào)幾何知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，注重使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等過程；（2）初步熟悉“實驗探究”的方法，能正確完成實驗操作過程、合理分析和探究實驗結(jié)論；（3）能合理轉(zhuǎn)化實物圖形為抽象幾何圖形，恰當構(gòu)造輔助線，正確建立問題的數(shù)學(xué)模型．

目標2：（1）培養(yǎng)學(xué)生實驗探究的能力；（2）培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)猜想”能力和“幾何降維”思想；（3）在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力[2]．

目標3：（1）培養(yǎng)學(xué)生探究嚴謹、注重細節(jié)的求學(xué)態(tài)度；（2）學(xué)生親自體驗實驗、探索、分析、研究得出結(jié)論，并能正確地對問題作數(shù)值結(jié)果求解和趨勢（規(guī)律）分析，以驗證數(shù)學(xué)模型的合理性，激發(fā)學(xué)生主動探索新知識的精神．

4 教學(xué)方法與教具

4.1教學(xué)方法實驗探究法，案例教學(xué)法，啟發(fā)與討論法．

4.2課堂教具4個A4紙制作的圓形紙筒，半徑為3大1?。?條寬度不同的長方形紙帶，寬度為1寬3窄；雙面膠，剪刀，直尺，筆．

5 教學(xué)過程設(shè)計

5.1問題提出

問題情境在生產(chǎn)生活中，隨處可見各種類型的輸送管道，很多時候，管道表面都會包扎著一圈一圈的帶狀物，如圖1所示．經(jīng)過包扎的管道，通常具有防曬、防火、防腐蝕等作用，提高了管道的使用壽命，保證了管道的輸送效果，但是，也增加了工程成本．因此，對于管道的包扎，如何保證質(zhì)量，如何節(jié)約成本，是值得研究的．

設(shè)計意圖通過觀察圖片，引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容．建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理、數(shù)學(xué)猜想的能力，啟發(fā)學(xué)生思維，引發(fā)問題．

5.2分析問題

問題1：在問題描述中，涉及到的研究對象有哪些？

預(yù)設(shè)：管道、布帶，

問題2：從數(shù)學(xué)建模的角度來看，我們需要了解這些研究對象的數(shù)學(xué)特征和參量，那么，它們有哪些數(shù)學(xué)特征呢？比如：形狀？幾何參數(shù)？

預(yù)設(shè)：管道一圓柱形：半徑，直徑，周長，表面積，體積．布帶一長方形：寬度，長度．

問題3：問題的目標是什么？要達成這樣的目標有什么要求？

預(yù)設(shè)：問題的目標是“節(jié)約材料”，問題的要求是“包扎緊密”，

問題4：這里，什么是“緊”？什么是“密”？

預(yù)設(shè)：“緊”是指完全貼合在管道的表面上，“密”是指相鄰布帶之間，既無空隙，也不重疊，

設(shè)計意圖讓學(xué)生清楚問題中的主要對象和它們所具有的數(shù)學(xué)特征，也對問題的目標和要求有了更準確的認識和理解．從數(shù)學(xué)上來看，這也是一個幾何問題，因此我們還可以做一下幾何上的分析，這個問題所描述的幾何對象、幾何關(guān)系都不復(fù)雜，在生活中也能很方便簡易地制作這樣的材料，因此這就啟發(fā)學(xué)生通過“實驗探究”的方法來獲得本問題的機理，從而建立它的數(shù)學(xué)模型．

5.3 實驗探究

問題5：當纏繞到第二圈時，怎樣才能使得包扎“緊密”呢？

（學(xué)生動手實驗，老師檢查學(xué)生實驗情況，給予必要的指導(dǎo)，帶領(lǐng)大家進行觀察和討論，獲得所提出問題的答案，并點評）

預(yù)設(shè)：必須將紙帶調(diào)整到一個恰當?shù)膬A斜角，

問題6：為什么實驗要做4種情形呢？綜合4種情形，關(guān)于紙帶的傾斜角，可以得到什么結(jié)論呢？請同學(xué)觀察小組內(nèi)的4個作品，并思考給出自己的結(jié)論；再觀察老師完成的作品，并回答問題：

預(yù)設(shè)：管道不同、紙帶不同，傾斜角就不同，

猜想（師生）： （半徑，寬度，傾斜角）存在某種函數(shù)關(guān)系：a∽（γ，ω）．

設(shè)計意圖在時間和空間較為充足時，按教師提出的實驗要求，學(xué)生親自動手操作．體驗利用紙帶纏繞紙筒的整個過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)管道、紙帶、傾斜角之間體現(xiàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系，并提出猜想．

5.4嘗試建模

（1）引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的數(shù)學(xué)建模方法，進行建模．

問題7當紙帶順著圓筒表面包扎時，主要在圓筒的表面上行進，即只利用了圓筒的表面部分．對圓筒的表面，我們能聯(lián)想到什么樣的幾何知識呢？

預(yù)設(shè)：把圓柱沿中心線剪開，可展開為一個長方形平面．

問題8沒錯，可以看到，如果將圓柱剪開并展平，那么對圓柱進行包扎，可以等價于在一個長方形平面上進行平鋪．

鑒于此，接下來我們可以繼續(xù)動手實驗，選取剛才完成的一個實驗作品，將它沿圓筒中心線剪開，并展平，

設(shè)計意圖通過用課件動態(tài)展示，學(xué)生能直觀地認知紙帶纏繞紙筒從空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，將空間問題平面化，削弱了學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象上的思維難度，使教學(xué)過程更流暢．

（2）繼續(xù)實驗，實驗操作要點：

根據(jù)前面提出的數(shù)學(xué)猜想，現(xiàn)在需要找到三個幾何量之間的關(guān)系，首先，把三個幾何量在圖形中標出來，如下圖2．

其中，由圓柱展開所得的長方形，它的周長比半徑更容易表示，因此將原來的數(shù)學(xué)猜想中的半徑替換為周長c．

根據(jù)輔助線的作法，知AB是底邊的垂線，AC是紙帶的寬，則ABC是直角三角形，因此三個幾何量（圓筒周長c、紙帶寬度w、紙帶傾斜角α）之的關(guān)系式，就是一個正弦函數(shù)關(guān)系，即sind：w/c（α∈[0°，90°]），這就是本問題的數(shù)學(xué)模型，它是一個初等模型，只用到了中學(xué)階段所學(xué)知識來刻畫和表示變量之間的關(guān)系，

上述模型中，有三個未知量，任給兩個，可求出第三個量，

設(shè)計意圖將三維圖形轉(zhuǎn)化為二維圖形的降維思想，使圖形更容易構(gòu)造和觀察．在學(xué)生已具備的知識能力和認知水平下，進一步引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)實驗，建立關(guān)于半徑、寬度、傾斜角之間的數(shù)學(xué)模型．

5.5求解問題

在數(shù)學(xué)建模中，對問題一般可以作兩類求解，一是求出數(shù)值結(jié)果，另一種是作趨勢或規(guī)律分析．

5.5.1求問題的數(shù)值結(jié)果

例1根據(jù)下表數(shù)據(jù)，依照上述數(shù)學(xué)模型進行云計算： 解根據(jù)問題的數(shù)學(xué)模型，可求得表中1，2，3三種情形所對應(yīng)的紙帶傾斜角分別為30°，19.5°，23.6°．

問題8請同學(xué)們分析表中數(shù)據(jù)，并與之前的實驗結(jié)果進行相應(yīng)的驗證．請說一說你的分析結(jié)論．

預(yù)設(shè)：根據(jù)情形1，2可知，當圓筒周長相同時，紙帶的寬度越小，則包扎時傾斜角越?。鶕?jù)情形2，3可知，當紙帶寬度相同時，圓筒的周長越小，則包扎時的傾斜角就越大．

5.5.2對問題作趨勢（規(guī)律）分析

本問題的數(shù)學(xué)模型共有三個量，固定其中一量，則可以分析另外兩個量的變化關(guān)系，下面選取兩種有意思的情形進行分析，

例2根據(jù)本問題的數(shù)學(xué)模型，對以下兩種情形進行分析：

（l）當ω→0時，紙帶的傾斜角a將如何變化？

（2）當ω→c時，紙帶的傾斜角a將如何變化？

解答（1）可解得a→0°．即用寬度很小的布帶去包扎某種管道時，布帶與垂直線的傾斜角將近似為0度．（2）可解得a→90°，即用寬度很大的布帶去包扎某種管道時，布帶與垂直線的傾斜角將近似為90度．

設(shè)計意圖學(xué)生利用所建立的數(shù)學(xué)模型求解問題，抓住問題的實質(zhì)，有助于帶動學(xué)生的思維活躍度，增強學(xué)生應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．

5.6拓展應(yīng)用（課后作業(yè)）

本問題可以從多方面、多角度進行拓展，下面給出兩種基本的拓展情形：

（1）如果將紙帶的“傾斜角”定義為與水平線的夾角，則對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是什么？

（2）如果包扎管道時，允許布帶有一定的重疊，那么數(shù)學(xué)模型有什么變化？

設(shè)計意圖在同一背景下，從不同角度思考問題，體現(xiàn)了實驗探究教學(xué)的開放性和伸展性．在已有的知識經(jīng)驗下，進一步獲取新的知識和方法，有助于學(xué)生的思維發(fā)散，提高數(shù)學(xué)邏輯推理能力和創(chuàng)造能力．

5.7課堂小結(jié)

本節(jié)課圍繞管道包扎問題，通過實驗探究的方法獲得了問題的數(shù)學(xué)模型，實驗可以讓我們更接近問題的真相和原理，也可以讓我們有更多的感受和體會，進而提出相關(guān)的猜想或分析，

此外，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，還可以有以下一些收獲：

（1）要善于觀察、發(fā)現(xiàn)和提出問題．

（2）實驗探究是解決問題的一種重要手段．

（3）要靈活運用數(shù)學(xué)知識．

①數(shù)學(xué)猜想的思想；

②降維轉(zhuǎn)化思想：三維圖形降為二維圖形；

③構(gòu)造直角三角形：聚集相關(guān)的幾何量．

（4）要注意細節(jié)，不斷發(fā)現(xiàn)新的線索，使研究不斷深入和擴展．

6 教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)符合教學(xué)設(shè)計過程，達到了預(yù)期的教學(xué)目標，對學(xué)生分析問題、思考問題、動手探究、靈活運用知識、解答問題等能力都得到比較全面的鍛煉，課堂整體有較強的趣味性，學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高、積極性強，

但是，教學(xué)中還是存在一些問題，主要的問題應(yīng)該在于，實驗探究的各個環(huán)節(jié)還需要不斷優(yōu)化，既要控制教學(xué)時間長度，也要保證實驗的效果和質(zhì)量，使學(xué)生能真正從實驗中得到收獲和體會．此外，實驗器材的準備應(yīng)該再精細些，盡量減少實驗誤差帶來的影響．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定．普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018

[2]李磊．“不等式的性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2019（4）：21-24（本文系四川省教育廳重點教改項目（項目編號：JG2018-688）和西華師范大學(xué)重點教改項目（項目編？-：JGXMZD1825）的研究成果）