石永康 黃少華 廖 潛 陳金山

(新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 烏魯木齊 830017)

0 引言

分布于地球外層衛(wèi)星軌道的空間碎片占用軌道資源并對(duì)現(xiàn)役航天器造成極大威脅。2021 年3 月10 日美國(guó)已退役氣象衛(wèi)星NOAA17 發(fā)生解體，分裂成16 塊碎片，同年3 月18 日，中國(guó)氣象衛(wèi)星云海一號(hào)02 也在其軌道上發(fā)生解體，分裂成21 塊碎片。為有效利用空間資源，減少空間碎片密度及碰撞趨勢(shì)，空間碎片主動(dòng)清除技術(shù)（Active Debris Removal,ADR）相關(guān)研究引起了廣泛關(guān)注[1]。

電磁消旋是基于法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律的一種消旋制動(dòng)方式。大部分空間碎片表面材料為非磁化金屬導(dǎo)體，在外加磁場(chǎng)的作用下，由于自身旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生表面渦電流，渦電流在原磁場(chǎng)的作用下產(chǎn)生與旋轉(zhuǎn)方向相反的制動(dòng)力矩，使得旋轉(zhuǎn)速度逐漸降低，便于接觸式主動(dòng)清除技術(shù)裝備對(duì)碎片進(jìn)行抓捕[2]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)電磁消旋進(jìn)行了大量理論推導(dǎo)和相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究。Gómez 等[3,4]對(duì)渦流進(jìn)行分析，構(gòu)建了基于電磁張量的球殼模型消旋力矩表達(dá)式，針對(duì)非均勻磁場(chǎng)，加入有效因子對(duì)表達(dá)式進(jìn)行修正，研究了不同線(xiàn)圈半徑和線(xiàn)圈—目標(biāo)重心距離下的消旋力及消旋力矩。Shi 等[5]基于第二代高溫超導(dǎo)技術(shù)，提出了超導(dǎo)式渦流消旋的概念，通過(guò)電磁張量建立了精確的磁場(chǎng)模型和渦流力矩模型，并對(duì)超導(dǎo)式渦流消旋的制動(dòng)性進(jìn)行定量分析，論證了超導(dǎo)式渦流消旋的技術(shù)水平和制動(dòng)能力。Chu[6]基于球殼模型的消旋力矩公式，仿真分析了球殼模型轉(zhuǎn)速、表面材料電導(dǎo)率、外加磁場(chǎng)及球殼尺寸對(duì)消旋力矩的影響，得到各因素影響下消旋力矩的變化趨勢(shì)，但未通過(guò)有限元仿真進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算，且未考慮各因素取值下的消旋力矩公式的適用性。Sun[7]通過(guò)解析法得到線(xiàn)圈的最佳半徑、最佳安匝數(shù)及目標(biāo)之間的最佳作用距離，并通過(guò)有限元法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，但是未分析目標(biāo)本身尺寸、厚度等對(duì)消旋力矩的影響，且未將各因素與理論公式聯(lián)系進(jìn)行分析。

綜上所述，目前對(duì)于電磁消旋技術(shù)的研究主要集中在消旋方案、地面消旋實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)以及理論分析與數(shù)值分析方面。消旋目標(biāo)的尺寸和厚度對(duì)消旋力矩影響的相關(guān)研究較少。球殼模型消旋力矩解析式的適用性，以及單因素對(duì)球殼模型消旋力矩的影響與多因素對(duì)球殼模型消旋力矩的影響之間的關(guān)系，尚未見(jiàn)到相關(guān)研究。消旋力矩的影響因素分析是探究電磁消旋過(guò)程、提高消旋效果的關(guān)鍵，由于電磁場(chǎng)有限元方法具有計(jì)算精度高且能夠分析各種復(fù)雜形狀模型等優(yōu)勢(shì)，使用有限元方法對(duì)電磁消旋技術(shù)進(jìn)行仿真分析具有重要意義。

1 電磁消旋原理及仿真模型驗(yàn)證

1.1 電磁消旋原理

電磁消旋由線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)與旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體表面渦電流之間的相互作用力產(chǎn)生。電磁消旋廣泛應(yīng)用于高速列車(chē)的電磁制動(dòng)過(guò)程中[8,9]。圖1 所示為旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體在磁場(chǎng)中感生出的渦電流及在磁場(chǎng)相互作用下產(chǎn)生的作用力。

圖1 電磁—渦流消旋概念Fig. 1 Damping by electromagnetic eddy currents

當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸方向與磁場(chǎng)方向不平行，旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體置于磁場(chǎng)中時(shí)會(huì)切割磁感應(yīng)線(xiàn)產(chǎn)生渦流。旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體在原磁場(chǎng)和感生出的渦電流的相互作用下逐漸消旋[10]。

1.2 勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度

亥姆霍茲線(xiàn)圈可以營(yíng)造出勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖2 所示[11]。一對(duì)半徑為R的線(xiàn)圈相對(duì)放置，間距為a，兩線(xiàn)圈中心分別為O1和O2。因?yàn)榫€(xiàn)圈中所通電流方向一致，所以?xún)删€(xiàn)圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向一致，可以代數(shù)疊加，表現(xiàn)為圖2 中曲線(xiàn)所示的狀態(tài)。

圖2 亥姆霍茲線(xiàn)圈Fig. 2 Helmholtz coil

取線(xiàn)圈對(duì)的中心連線(xiàn)中點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，在軸上距O點(diǎn)x處 取任意點(diǎn)P，則P點(diǎn)到兩線(xiàn)圈中心的距離分別為x+a/2和x-a/2。 兩線(xiàn)圈在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小分別為

1.3 球殼消旋力矩解析式

電磁消旋目標(biāo)為失效衛(wèi)星、航天器爆炸產(chǎn)生的碎片、火箭上面級(jí)等，其形狀和尺寸大小不一，無(wú)法建立統(tǒng)一的幾何模型進(jìn)行描述。此外，由于電磁消旋機(jī)理復(fù)雜，對(duì)于復(fù)雜幾何體的計(jì)算較為困難，因此選取結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的球殼模型作為研究對(duì)象。實(shí)際情況下也存在類(lèi)似結(jié)構(gòu)，例如東方紅一號(hào)衛(wèi)星，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中可忽略其他結(jié)構(gòu)對(duì)消旋力矩產(chǎn)生的影響，只考慮衛(wèi)星蒙皮的消旋效應(yīng)。

勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，球殼所受到的消旋力矩的解析式如下[3]：

其中，R′為 球殼外半徑（球殼半徑），e為 球殼厚度，σ為球殼材料的電導(dǎo)率，ω為球殼的旋轉(zhuǎn)角速度，B為球殼模型重心(Centre of Gravity, COG)位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

當(dāng)球殼的旋轉(zhuǎn)軸為z軸，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向指向y軸正向時(shí)，球殼的消旋力矩解析式可寫(xiě)為

標(biāo)量形式為

1.4 二維亥姆霍茲線(xiàn)圈仿真模型及其有效性驗(yàn)證

因MAXWELL 渦流場(chǎng)無(wú)法仿真固定磁場(chǎng)對(duì)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)體的渦流阻力矩，參考文獻(xiàn)[12]在研究高速列車(chē)電磁制動(dòng)時(shí)使用的動(dòng)態(tài)磁場(chǎng)相對(duì)固定目標(biāo)的求解渦流分布的方法，在MAXWELL 渦流場(chǎng)中建立旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，利用旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)對(duì)固定目標(biāo)的消旋力矩代替固定磁場(chǎng)對(duì)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)產(chǎn)生的渦流阻力矩。

為建立旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，設(shè)置兩組線(xiàn)圈對(duì)，相對(duì)的兩線(xiàn)圈通有大小相等、方向相同、初始相位角也相同的正弦交流電，相鄰的兩線(xiàn)圈對(duì)則通有大小相等、方向相反、初始相位角相差90°的正弦交流電[6]。在仿真過(guò)程中，相同尺寸線(xiàn)圈會(huì)產(chǎn)生幾何干涉而對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響，因此將一組線(xiàn)圈對(duì)的半徑和間距設(shè)置為2 m，給定初始的電流大小為123.8 A，將另一組線(xiàn)圈對(duì)的半徑和間距設(shè)置為2.1 m。為使兩組線(xiàn)圈對(duì)在O點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度相等，根據(jù)式(4)可計(jì)算出半徑為2.1 m的線(xiàn)圈中所通電流為130 A。在MAXWELL中建立的二維亥姆霍茲線(xiàn)圈仿真模型（線(xiàn)圈模型）和球殼仿真模型（球殼模型）如圖3 所示。

圖3 線(xiàn)圈模型和球殼模型Fig. 3 Finite element model of coil and spherical shell

球殼模型的內(nèi)半徑r=0.5 m，外半徑R′=0.51 m，則球殼的厚度e=0.01 m，材料為型號(hào)2A01 的鋁合金，電導(dǎo)率σ=2.32×107S·m—1，旋轉(zhuǎn)速度ω=(π/2)rad·s—1。

求解完成后，在球殼模型的Oxy截面上等角度選取10 個(gè)點(diǎn)，每點(diǎn)與圓心之間的距離為0.01 m，得到各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度如表1 所示。

表1 中心區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度大小Table 1 Magnitude of magnetic flux density of the center area

磁感應(yīng)強(qiáng)度的平均值B=5.40×10—5T。將B=5.40×10—5T 代入式(7)，式(7)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為球殼穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)重心(COG)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，因此可直接使用仿真得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度平均值進(jìn)行計(jì)算。得到消旋力矩的解析解T=1.506×10—4N·m，MAXWELL 仿真得到旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)對(duì)球殼消旋力矩的數(shù)值解T=1.442×10—4N·m，絕對(duì)誤差為4×10—7N·m，相對(duì)誤差為4.27%，小于5%，在誤差允許范圍內(nèi)。因此在MAXWELL 中建立的二維亥姆霍茲線(xiàn)圈仿真模型有效，可用于下一步的仿真實(shí)驗(yàn)研究。

2 球殼模型消旋力矩分析

參考勻強(qiáng)磁場(chǎng)中球殼的消旋力矩解析式(7)可知，消旋力矩與球殼表面材料電導(dǎo)率、勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度、球殼的旋轉(zhuǎn)角速度、球殼半徑及球殼厚度相關(guān)。其中，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度可通過(guò)改變線(xiàn)圈電流大小實(shí)現(xiàn)，如1.4 節(jié)所述，由于MAXWELL 電磁仿真軟件的限制，無(wú)法在渦流場(chǎng)中直接對(duì)球殼模型的旋轉(zhuǎn)角速度進(jìn)行設(shè)置，因此通過(guò)設(shè)置線(xiàn)圈電流頻率的方法，間接設(shè)置球殼模型的旋轉(zhuǎn)角速度。

2.1 單因素對(duì)消旋力矩的影響

航天器在發(fā)射、返回以及空間中運(yùn)行時(shí)，會(huì)受到多種因素的影響，造成表面材料變性、設(shè)備失效等問(wèn)題，從而影響航天器的正常運(yùn)行。因此材料的選擇對(duì)于航天器至關(guān)重要。常用的航天器材料為金屬鋁、鈦、鎂及其合金[13]。在不考慮溫度對(duì)金屬材料電導(dǎo)率影響的前提下，為研究材料對(duì)消旋力矩的影響，選取航天器常用的三種金屬材料及其系列合金[14]進(jìn)行消旋力矩的影響實(shí)驗(yàn)。由于不同金屬材料的導(dǎo)電性不同，可選用電導(dǎo)率作為影響因素進(jìn)行球殼表面材料對(duì)消旋力矩影響的仿真實(shí)驗(yàn)。MAXWELL 中具有豐富的材料庫(kù)，可直接選用MAXWELL 中各金屬材料默認(rèn)的電導(dǎo)率參數(shù)值。這里共選取32 組材料進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

Tiesenhausen[15]提出使用通電線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)進(jìn)行消旋，并研究了渦流效應(yīng)對(duì)航天器姿態(tài)的影響。為研究外加磁場(chǎng)對(duì)消旋力矩的影響，通過(guò)改變線(xiàn)圈電流大小進(jìn)行外加磁場(chǎng)對(duì)球殼模型消旋力矩影響的仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)定線(xiàn)圈電流的變化范圍為13～273 A，間隔為13 A。

近地軌道和地球同步軌道的空間碎片旋轉(zhuǎn)速度分別可達(dá)70(°)·s—1和400(°)·s—1[16]，在這種高速旋轉(zhuǎn)的情況下，對(duì)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)直接進(jìn)行抓取或采用接觸式消旋方案都具有極大的風(fēng)險(xiǎn)，因此在實(shí)施抓捕前需對(duì)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)進(jìn)行非接觸式消旋。為研究同一線(xiàn)圈電流強(qiáng)度對(duì)高低速旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的消旋效果，設(shè)定球殼模型的速度范圍為(π/2～20π) rad·s—1，間隔為(π/2) rad·s—1，對(duì)應(yīng)的電磁場(chǎng)頻率變化范圍為0.25～10 Hz，間隔為0.25 Hz。

對(duì)1.4 節(jié)仿真模型的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)行分析，取圖3 中Oxz截面上的磁場(chǎng)分布，如圖4 所示。

圖4 勻強(qiáng)磁場(chǎng)云圖Fig. 4 Cloud map of uniform magnetic field

取圖3 坐標(biāo)系沿x軸方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布，如圖5 所示。其中，距坐標(biāo)系原點(diǎn)0.65 m 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5.3928×10—5T，坐標(biāo)系原點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5.4160×10—5T，差值為0.0232×10—5T，磁場(chǎng)均勻度小于0.5%，因此選取中心區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的范圍為±0.65 m。為研究球殼半徑對(duì)消旋力矩的影響，設(shè)定球殼模型的半徑變化范圍為0.25～0.65 m，間隔為0.05 m。

圖5 中心區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布Fig. 5 Distribution of uniform magnetic field in the center area

為研究球殼厚度對(duì)消旋力矩的影響，仿真過(guò)程中，設(shè)定球殼模型的厚度變化范圍為1～40 mm，間隔為1 mm。

將以上條件賦予線(xiàn)圈模型和球殼模型，保持其他因素不變，分別得到各因素影響下，球殼模型的消旋力矩變化情況。為對(duì)比各因素對(duì)球殼模型消旋力矩的影響，將各影響因素橫坐標(biāo)值做歸一化處理，如圖6所示。

由圖6 可知，隨著球殼模型電導(dǎo)率的增加，消旋力矩呈現(xiàn)近似線(xiàn)性的增長(zhǎng)關(guān)系。其原因是，電導(dǎo)率與球殼表面的電子遷移率成正比，并且球殼表面材料的電導(dǎo)率與電場(chǎng)強(qiáng)度之積為傳導(dǎo)電流密度，因此球殼表面渦電流與球殼表面材料電導(dǎo)率成正比。隨著線(xiàn)圈電流的增大，即隨著外加磁場(chǎng)的增大，球殼模型的消旋力矩增加，且增幅明顯。其原因是，隨著線(xiàn)圈電流的增大，線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度增大，由式(7)可知，球殼的消旋力矩與磁感應(yīng)強(qiáng)度的平方成正比，因此與其他因素相比，球殼的消旋力矩受線(xiàn)圈電流的影響較大。

圖6 各因素影響下的球殼模型消旋力矩變化情況Fig. 6 Variation trend of damping torque of spherical shell model under various factors

在確定的磁感應(yīng)強(qiáng)度下，球殼模型受到的消旋力矩隨著半徑的增大而增大，且增幅明顯。其原因是，隨著球殼半徑的增大，垂直于磁場(chǎng)方向的球殼各截面的面積將增大，且截面面積與其半徑的平方成正比。球殼旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，各截面切割磁感應(yīng)線(xiàn)引起的磁通量變化增大，因此球殼表面感生出的渦電流增大，在相同磁場(chǎng)強(qiáng)度下，球殼受到的安培力增加，消旋力矩也增加。

隨著球殼模型厚度的增加，消旋力矩呈近似線(xiàn)性增長(zhǎng)。其原因是，球殼厚度的增加使得球殼單位截面上電荷通量增加，且電荷通量Q與球殼厚度h之間滿(mǎn)足

因此整個(gè)球殼受到的安培力增加，消旋力矩也增加，但增幅逐漸放緩。由于球殼模型的厚度只選取了[0,R]上極小的一段，因此仿真曲線(xiàn)呈現(xiàn)近似線(xiàn)性增長(zhǎng)。在本文仿真案例中，當(dāng)球殼模型的轉(zhuǎn)速小于20 rad·s—1時(shí)，消旋力矩隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速大于20 rad·s—1時(shí)，消旋力矩隨著轉(zhuǎn)速的增加而逐漸減小。其原因可能是，在低速旋轉(zhuǎn)階段，隨著球殼轉(zhuǎn)速的提高，球殼各截面的磁通量變化率變大，因此消旋力矩隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到臨界值時(shí)，球殼表面的渦流感應(yīng)電場(chǎng)明顯增強(qiáng)，降低了球殼所處位置磁場(chǎng)的大小，此時(shí)球殼的消旋力矩隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小。

根據(jù)球殼重心(COG)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度取值，結(jié)合式(7)，分別計(jì)算得到各因素影響下，球殼模型消旋力矩的理論值，并與仿真結(jié)果進(jìn)行比較。將各影響因素的橫坐標(biāo)值做歸一化處理，得到各因素影響下，球殼模型消旋力矩仿真值與理論值之間的相對(duì)誤差，如圖7 所示。

由圖7 可知，在設(shè)定的仿真參數(shù)范圍內(nèi)，相對(duì)誤差受球殼半徑和厚度的影響最大；在球殼電導(dǎo)率、線(xiàn)圈電流（即外加磁場(chǎng)）、球殼旋轉(zhuǎn)角速度的變化影響下，相對(duì)誤差在4%附近。

圖7 各因素影響下的相對(duì)誤差Fig. 7 Relative error under the influence of each factors

球殼表面材料電導(dǎo)率、線(xiàn)圈電流、球殼旋轉(zhuǎn)角速度影響下的相對(duì)誤差如圖8 所示。

由圖8 可知，球殼表面材料電導(dǎo)率、線(xiàn)圈電流影響下的相對(duì)誤差分布在4.2%～4.3%范圍內(nèi)，誤差變化小于0.1%；在球殼旋轉(zhuǎn)角速度影響下，相對(duì)誤差逐漸降低，誤差分布范圍為3.7%～4.3%。引起誤差的原因可能是仿真計(jì)算產(chǎn)生的累積誤差，由于其誤差變化幾乎可以忽略不計(jì)，且誤差分布范圍相對(duì)均勻，因此認(rèn)為球殼消旋力矩解析式可以較好地適應(yīng)這三種因素的變化。

圖8 電導(dǎo)率、線(xiàn)圈電流、球殼旋轉(zhuǎn)速度影響下的相對(duì)誤差Fig. 8 Relative error under conductivity, coil current and the rotation speed of the spherical shell

為進(jìn)一步分析在球殼的半徑和厚度影響下，球殼消旋力矩解析式的適用范圍，將球殼的內(nèi)半徑a設(shè)定為0.50 m，厚度范圍設(shè)置為1 ～40 mm，間距為1 mm，以球殼厚度h與 半徑R′之比為橫坐標(biāo)，球殼消旋力矩的仿真值與理論值之間的相對(duì)誤差（取絕對(duì)值）為縱坐標(biāo)，結(jié)果如圖9 所示。

圖9 球殼的厚度與半徑之比影響下的相對(duì)誤差Fig. 9 Relative error under the ratio of the shell thickness to the shell radius

由圖9 可知，隨著球殼厚度與球殼半徑的比值h/R′的增大，相對(duì)誤差呈近似線(xiàn)性變化，當(dāng)h/R′小于0.023 時(shí)，相對(duì)誤差在5%以?xún)?nèi)。同時(shí)由圖9 可知，仿真驗(yàn)證所用球殼厚度與半徑的比值h/R′為0.0196，接近0.023。由此可知，上述各組仿真實(shí)驗(yàn)中，球殼消旋力矩的仿真值與理論值之間的誤差，除仿真計(jì)算引起的累積誤差之外，主要受球殼厚度和半徑的影響。

由圖8 和圖9 可知，球殼半徑或厚度單方面的增大都不是引起相對(duì)誤差增大的直接原因。在滿(mǎn)足勻強(qiáng)磁場(chǎng)的前提下，保證h/R′小于0.023，相對(duì)誤差可控制在5%以?xún)?nèi)；當(dāng)h/R′大于0.023 時(shí)，現(xiàn)有的球殼消旋力矩解析式不再適用。

2.2 精確球殼消旋力矩解析式

當(dāng)球殼厚度h與球殼內(nèi)半徑r之比h/r ?1時(shí)，球殼外半徑R′和 球殼內(nèi)半徑r滿(mǎn)足[17]

則式(7)可寫(xiě)為

將式(8) 作為新的球殼消旋力矩解析式，對(duì)圖7各因素影響下的相對(duì)誤差進(jìn)行重新計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖10 所示。同時(shí)，對(duì)圖9 球殼的厚度與半徑之比影響下的相對(duì)誤差進(jìn)行重新計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖11 所示。

圖10 各因素影響下的相對(duì)誤差Fig. 10 Relative error under the influence of each factor

圖11 球殼的厚度與半徑之比影響下的相對(duì)誤差Fig. 11 Relative error under the ratio of the shell thickness to the shell radius

由圖10 和圖11 可知，通過(guò)修正后的球殼消旋力矩解析式，計(jì)算得到的相對(duì)誤差基本在1%以下，與現(xiàn)有的球殼消旋力矩解析式相比，計(jì)算誤差更小。由圖11 可知，針對(duì)h/R′＞0.023 的球殼模型，修正后的球殼消旋力矩解析式仍有較小的計(jì)算誤差，相對(duì)誤差基本穩(wěn)定在0.4%～0.5%的區(qū)間范圍內(nèi)。誤差來(lái)源主要分為兩部分：一部分是二維亥姆霍茲線(xiàn)圈仿真模型誤差，另一部分為仿真計(jì)算累計(jì)誤差。

3 結(jié)論

針對(duì)提高空間旋轉(zhuǎn)目標(biāo)消旋效率的問(wèn)題，分別對(duì)各因素影響下球殼的消旋力矩變化情況進(jìn)行了研究。根據(jù)亥姆霍茲線(xiàn)圈設(shè)計(jì)原理，在MAXWELL 中設(shè)計(jì)并建立了二維亥姆霍茲線(xiàn)圈仿真模型，并對(duì)其進(jìn)行有效性驗(yàn)證。從驗(yàn)證的仿真模型出發(fā)，分別分析了球殼表面材料電導(dǎo)率、線(xiàn)圈電流、球殼旋轉(zhuǎn)角速度、球殼半徑和球殼厚度對(duì)球殼模型消旋力矩的影響。并且對(duì)現(xiàn)有的球殼消旋力矩解析式進(jìn)行了修正。主要結(jié)論如下。

（1）球殼的消旋力矩隨著各因素?cái)?shù)值的增加而增加。

（2）球殼消旋力矩解析式對(duì)球殼表面材料電導(dǎo)率、線(xiàn)圈電流、球殼旋轉(zhuǎn)角速度的變化有很好的適應(yīng)性。

（3）球殼的厚度與半徑之比大于0.023 時(shí)，球殼消旋力矩解析式不再適用。

（4）修正后的球殼消旋力矩解析式與原有解析式相比，計(jì)算誤差更小。