張 研 范 聰 吳哲康 劉 晶 鄺賀偉

(1.廣西巖土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 桂林 541004;2.桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院,廣西 桂林 541004)

隨著經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展,我國對礦產(chǎn)資源的需求日益增長,露天礦山的開采與開發(fā)規(guī)模不斷擴(kuò)大,礦山邊坡不斷變陡、變高,形成高陡邊坡[1-3]。由于礦山施工和自然條件等因素的影響,高陡邊坡發(fā)生滑坡等地質(zhì)災(zāi)害頻率不斷增加,不僅嚴(yán)重影響露天礦山生產(chǎn)作業(yè)安全,還威脅著周邊居民人身財產(chǎn)安全。因此,為有效防治滑坡災(zāi)害的發(fā)生,加強(qiáng)對礦山邊坡的變形量預(yù)測至關(guān)重要。

為精確獲得礦山開采活動后的邊坡變形量大小,眾多學(xué)者對此展開了相關(guān)研究[4]。早期,學(xué)者們基于經(jīng)驗(yàn)公式,推導(dǎo)出邊坡變形量的計(jì)算方法。魏煥衛(wèi)等[5]基于Mindlin 解,推導(dǎo)出土質(zhì)邊坡豎向變形計(jì)算方法,且計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值一致;郭麒麟等[6]根據(jù)隨機(jī)介質(zhì)理論,推導(dǎo)出半無限開采下的邊坡巖土體變形計(jì)算公式。然而,數(shù)學(xué)模型求解存在計(jì)算過程復(fù)雜、計(jì)算量大等缺點(diǎn);而且多數(shù)公式是通過人為選擇擬合曲線類型確定的,存在一定的主觀盲目性,適用范圍較窄。有必要尋求一種更為精確、高效的方法來解決邊坡變形量預(yù)測問題。

近年來,隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展,許多學(xué)者開始將機(jī)器學(xué)習(xí)算法應(yīng)用于礦山邊坡變形預(yù)測。薛錦春等[7]運(yùn)用混沌理論,建立基于重構(gòu)相空間的礦山邊坡變形量預(yù)測模型,得到的預(yù)測結(jié)果與現(xiàn)場情況一致,該方法預(yù)測精度雖高,但其運(yùn)算效率較低。晏紅波等[8]利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對邊坡變形進(jìn)行預(yù)測,將預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值對比,所得結(jié)果精度較高,然而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在著收斂速度慢、過度依賴樣本等問題。李鳳明等[9]在考慮影響露天礦邊坡變形的諸多因素下,基于現(xiàn)場監(jiān)測資料,建立了礦山邊坡變形的支持向量機(jī)模型,并將該模型應(yīng)用于撫順露天礦邊坡變形實(shí)例中,但該模型存在核函數(shù)難以確定的問題。因此,更加準(zhǔn)確、合理的礦山邊坡變形機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測模型亟待提出。

相關(guān)向量機(jī)(Relevance Vector Machine,RVM)是Tipping 于2000年提出的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法,它具有泛化能力強(qiáng)、核函數(shù)選擇自由等特點(diǎn),保證了模型預(yù)測精度、效率。然而當(dāng)RVM 建立目標(biāo)值與輸入值之間的非線性映射關(guān)系時,其重要參數(shù)最優(yōu)核函數(shù)取值需要通過試算人工確定,降低了該方法自身學(xué)習(xí)效率及泛化能力[10-12]。為此,本研究借助尋優(yōu)性能良好的粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization algorit-hm,PSO)協(xié)助RVM 模型尋找最優(yōu)參數(shù),實(shí)現(xiàn)該模型參數(shù)的自適應(yīng)確定[13-14]。提出一種基于PSORVM 的礦山邊坡變形量預(yù)測模型,并應(yīng)用于工程實(shí)例,為合理獲得礦山邊坡變形量提供一條新途徑。

1 基本原理

1.1 RVM 模型

式中,ω=[ω0,ω1,…,ωN]T,ξn為零均值的附加高斯噪聲,獨(dú)立分布的ξn滿足高斯分布,即ξn～N(0,σ2)。

由于輸出目標(biāo)值tn相互獨(dú)立分布,則相對應(yīng)t的概率分布:

式中,t=(t1,…,tN)T;權(quán)值ω=[ω0,ω1,…,ωN]T;Φ為N ×(N +1) 規(guī)模的矩陣,且Φ =[?(x1),…,?(xN)]T,?(xn)=[1,K(xn,x1),…,K(xn,xN)]T。

將參數(shù)ωn在Gauss 先驗(yàn)分布中設(shè)置為零均值,形成一個ω的函數(shù):

式中,α =(α0,α1,…,αN)是N+1 維超參數(shù)向量。因Gauss 正態(tài)分布的共軛先驗(yàn)概率服從Gamma 函數(shù)分布,所以超參數(shù)α和噪聲參數(shù)σ2也服從Gamma 先驗(yàn)概率分布:

由貝葉斯理論可知,訓(xùn)練樣本集的后驗(yàn)概率分布為

通過上式,整理可獲得權(quán)向量ω的后驗(yàn)分布如下:

式中,后驗(yàn)均值μ=σ-2∑ΦTt,協(xié)方差∑=(σ-2ΦTΦ+A)-1,A=diag(α0,α1,…,αN)為對角矩陣。

假設(shè)待預(yù)測樣本為x*,則預(yù)測值t*可由下式求得:

式(9)中,因等式右側(cè)由2個Gauss 分布的乘積所得,所以其預(yù)測值也為Gauss 正態(tài)分布,即

式中,期望值y*=μT?(x*),方差∑?(x*),?為式(2)Φ中元素值。

1.2 PSO 優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化是一種基于進(jìn)化計(jì)算技術(shù)提出的群體智能優(yōu)化方法,與遺傳算法不同的是粒子群不需要交叉和變異,其通過跟蹤最優(yōu)粒子來解決優(yōu)化問題[15-17]。粒子群在迭代計(jì)算時,粒子通過對2個極值(個體極值Pid與全局極值Pgd)的對比和跟蹤來更新自身的位置與速度,從而可得全局最優(yōu)解矩陣。

現(xiàn)設(shè)有D維搜尋空間,種群中包含m個粒子,第i粒子的坐標(biāo)向量xi=(x1,x2,…,xd,…,xD),第i粒子的飛行速度向量vi=(vi1,vi2,…,vid,…,viD),第i個粒子的歷史最優(yōu)坐標(biāo)Pi=(Pi1,Pi2,…,Pid,…,PiD),每個粒子經(jīng)歷的最優(yōu)坐標(biāo)Pg=(Pg1,Pg2,…,Pgd,…,PgD),粒子群在飛行過程中不斷更新方式為

式中,i=1,2,…,m;d=1,2,…,D;k為迭代次數(shù);ω表示慣性權(quán)重;c1和c2為加速因子;r1和r2是在[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。當(dāng)ω較大時,該算法具有強(qiáng)全局性搜索能力,ω值較小時,算法具有強(qiáng)局部搜索能力。

1.3 PSO-RVM 模型

核函數(shù)通常來說是反映映射關(guān)系的內(nèi)積運(yùn)算。通過利用核函數(shù)的特性,解決了映射函數(shù)本身不能增加維度的問題,從而使數(shù)值的映射從低維空間到高維空間,尋求在高維空間中的內(nèi)積運(yùn)算。在RVM 模型的計(jì)算和應(yīng)用中,選取合適的核函數(shù)種類和參數(shù)至關(guān)重要,最終會對RVM 的預(yù)測結(jié)果和分類精度產(chǎn)生重要影響。RVM 模型的回歸泛化能力主要取決于核函數(shù)參數(shù)的選擇,而PSO 優(yōu)化算法能夠?qū)撕瘮?shù)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,協(xié)助RVM 模型尋找最優(yōu)核參數(shù),從而建立精確度高的PSO-RVM 模型。

為提高模型的預(yù)測精度,在PSO 優(yōu)化RVM 參數(shù)前,需先對輸入和輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理,建立輸入值和輸出值的非線性映射關(guān)系;PSO 算法通過更新粒子群算法中的粒子來自動減少預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果之間的適應(yīng)度和均方差,直到粒子群搜尋出的最優(yōu)核函數(shù)參數(shù)滿足RVM 模型的計(jì)算精度。

2 礦山邊坡變形量預(yù)測的PSO-RVM 模型

2.1 模型樣本確定

露天礦邊坡變形是一個復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng),受多種因素的相互影響,在參數(shù)推斷公式基礎(chǔ)上對輸入樣本數(shù)據(jù)和輸出樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析對比[18-19]。本研究參照文獻(xiàn)[20]中邊坡變形量實(shí)際監(jiān)測數(shù)據(jù),選取地下水位變化量X1、降雨量平均值X2、黏聚力X3、邊坡高度變化量X4、邊坡角X5、摩擦角X6及應(yīng)力值實(shí)測數(shù)據(jù)X7這7個常規(guī)因素作為模型的輸入因子,邊坡變形量X8作為輸出因子。對文獻(xiàn)[20]中樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,選取其中32 組數(shù)據(jù),以1～27 組作為學(xué)習(xí)樣本集,28～32 組作為預(yù)測樣本集,具體見表1。

表1 訓(xùn)練與預(yù)測樣本[20]Table 1 Training and prediction samples

2.2 模型實(shí)現(xiàn)流程

模型實(shí)現(xiàn)步驟如下:

(1)樣本數(shù)據(jù)中各個影響因素的量綱不同,為了提高模型的預(yù)測精度,首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

(2)初始化粒子群的位置和速度,確定粒子群的規(guī)模,選取粒子群的適應(yīng)度作為目標(biāo)函數(shù),設(shè)置粒子群參數(shù)。

(3)更新每個粒子飛行的位置和速度,計(jì)算粒子的適應(yīng)度函數(shù)值,計(jì)算出歷史粒子最優(yōu)位置和粒子群最優(yōu)位置。

(4)判斷是否滿足終止條件,如果滿足終止條件,就可以得到Pgd,進(jìn)一步計(jì)算出RVM 模型的最優(yōu)核函數(shù)參數(shù),否則轉(zhuǎn)到步驟(2)繼續(xù)執(zhí)行。

(5)基于最優(yōu)核參數(shù)建立滿足要求的預(yù)測模型,采用該模型對預(yù)測樣本進(jìn)行預(yù)測。

模型簡要流程如圖1所示。

圖1 模型簡要流程Fig.1 Brief flow chart of the model

2.3 模型預(yù)測分析

用表1 中礦山邊坡變形量的相關(guān)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證PSO-RVM 模型的精確度。經(jīng)程序初始化,利用PSO對RVM 模型進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu),可以得到學(xué)習(xí)參數(shù)c1=2、c2=2,種群數(shù)量N=20,終止迭代次數(shù)的數(shù)值為1 000,在粒子尋優(yōu)過程中利用預(yù)測樣本集的均方差作為終止條件,如圖2所示。

圖2 PSO-RVM 模型迭代圖Fig.2 Iteration diagram of PSO-RVM model

由圖2 可知,樣本的均方差隨著迭代次數(shù)的增加而不斷減小,最終趨于一個定值。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到50 次后時,預(yù)測值的均方差最終穩(wěn)定在0.234。通過方差條件調(diào)整PSO-RVM 預(yù)測模型,最終確定最優(yōu)核寬度值σ=0.630,并對剩余5 組樣本進(jìn)行預(yù)測,且在相同樣本條件下與文獻(xiàn)[20]中MFOA-SVR 模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析對比(表2)。

表2 各模型預(yù)測結(jié)果[20]Table 2 Prediction results of each model

從表2 可見:MFOA-SVR 模型預(yù)測結(jié)果整體誤差偏大,其最大相對誤差為6.97%,最小相對誤差為1.71%;PSO-RVM 模型相對誤差最大為3.82%,最小僅為0.44%,且除31 號樣本點(diǎn)以外,PSO-RVM 模型各樣本點(diǎn)預(yù)測結(jié)果相對誤差值均小于MFOA-SVR 模型?？芍?與MFOA-SVR 模型相比,PSO-RVM 模型預(yù)測的相對誤差更小、整體精度更優(yōu)。

為更直觀對比2種模型的預(yù)測結(jié)果,將各模型預(yù)測值與邊坡變形實(shí)際監(jiān)測值進(jìn)行比較,結(jié)果見圖3。

圖3 2種模型的預(yù)測結(jié)果對比Fig.3 Comparison of the prediction results of the two models

從圖3 可見,MFOA-SVR 模型預(yù)測值曲線與實(shí)際值曲線偏差較大,其中29、30 和32 號樣本點(diǎn)偏離明顯,只有31 號樣本點(diǎn)值與實(shí)際值較接近;PSO-RVM模型預(yù)測值曲線與實(shí)測值曲線大致吻合,28 號與30號樣本點(diǎn)值與實(shí)際值幾乎重合。由此可得,PSORVM 模型預(yù)測結(jié)果比MFOA-SVR 模型預(yù)測結(jié)果更接近真實(shí)值。

現(xiàn)引入均方根誤差(RMSE)與平均相對誤差(MRE)來評價模型預(yù)測結(jié)果的離散度和可靠度。從表3 可知:PSO-RVM 模型的均方根誤差和平均相對誤差均小于MFOA-SVR 模型。因此,與MFOA-SVR模型相比,PSO-RVM 模型預(yù)測結(jié)果離散性更低、可信度更高。

表3 不同模型MRE與RMSE 對比Table 3 Comparison of different models MRE and RMSE

3 結(jié) 論

(1)采用RVM 模型和PSO 算法相結(jié)合的方法,對礦山邊坡變形進(jìn)行預(yù)測。利用RVM 對邊坡變形量非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模,并采用PSO 算法尋找RVM模型最優(yōu)核參數(shù),提高了模型的泛化能力、實(shí)現(xiàn)了模型參數(shù)自適應(yīng)獲取。

(2)建立了一種基于PSO-RVM 的礦山邊坡變形量預(yù)測模型,并應(yīng)用于工程實(shí)例,結(jié)果表明該模型預(yù)測精度良好,可為礦山邊坡變形量的準(zhǔn)確獲取提供一條新途徑。

(3)PSO-RVM 模型對礦山邊坡變形量預(yù)測結(jié)果的均方根誤差和平均相對誤差要好于MFOA-SVR 模型。在礦山邊坡變形問題上,PSO-RVM 模型預(yù)測結(jié)果可信度與離散度更好、精度更高,可為礦山開采邊坡變形量預(yù)測提供科學(xué)、可靠的指導(dǎo)依據(jù)。