葛帥帥，曾四海，張志剛，石曉輝，黃劍鳴

(重慶理工大學(xué) 車輛工程學(xué)院， 重慶 400054)

0 引言

控制力矩陀螺(control moment gyro，CMG)通過高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子獲得一定的角動量,并通過改變角動量的方向?qū)ν廨敵隹刂屏?，具有輸出力矩大、力矩連續(xù)可調(diào)、精度高、壽命長等優(yōu)點[1-6]。近年來，隨著微小型化的實現(xiàn)，CMG被應(yīng)用到航空航天、兩輪交通工具等領(lǐng)域的自平衡控制，并展現(xiàn)出特有的優(yōu)勢[5]。CMG轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時，其轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率與自身固有頻率重合，以及因轉(zhuǎn)子加工和安裝誤差產(chǎn)生周期性不平衡激勵，使得系統(tǒng)產(chǎn)生共振，不僅會產(chǎn)生巨大的噪聲，還會造成結(jié)構(gòu)失效。為了使控制力矩陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計更加合理，系統(tǒng)運行更加可靠，有必要對CMG動力學(xué)特性進(jìn)行分析[7]。

圖1 控制力矩陀螺三維模型示意圖

首先，去除轉(zhuǎn)子、框架上不影響計算結(jié)果的倒角、小圓孔。其次，由于螺栓連接是高度非線性行為，故將螺栓連接處進(jìn)行面面綁定處理。最后，由于加載在框架上的電機質(zhì)量不可忽視，故將電機簡化為一個質(zhì)量點，并與框架耦合在一起[9]。

圖2 軸承簡化示意圖

圖3 控制力矩陀螺有限元模型網(wǎng)格示意圖

2 轉(zhuǎn)子、框架、耦合系統(tǒng)模態(tài)分析

2.1 模態(tài)分析理論

由于模態(tài)分析的是無阻尼自由振動，系統(tǒng)動力學(xué)方程為：

(1)

式中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;K為剛度矩陣。

式(1)存在非零解，通過線性代數(shù)變換，可得特征方程：

|K-ω2M|=0

(2)

當(dāng)轉(zhuǎn)子在自身不平衡激振力作用下升速或降速到某個轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)子固有頻率接近該激振力頻率，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生共振，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生劇烈振動，此時轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速即為臨界轉(zhuǎn)速[13]。臨界轉(zhuǎn)速ne與固有頻率的關(guān)系如下式所示：

(3)

2.2 模態(tài)分析

表1 材料屬性參數(shù)

2.2.1轉(zhuǎn)子模態(tài)分析

轉(zhuǎn)子使用連接器固定兩端軸，其前6階模態(tài)頻率及臨界轉(zhuǎn)速如表2所示。

表2 轉(zhuǎn)子前6階模態(tài)

高速轉(zhuǎn)子穩(wěn)定轉(zhuǎn)速范圍為10 000～15 000 r/min，穩(wěn)定轉(zhuǎn)頻為166.67～250 Hz。由表中臨界轉(zhuǎn)速可知，轉(zhuǎn)子前2階共振頻率處于轉(zhuǎn)頻之中，后4階在轉(zhuǎn)頻之外，在前2階模態(tài)頻率下轉(zhuǎn)子可能發(fā)生共振。前2階模態(tài)振型如圖4、圖5所示，可以看出，轉(zhuǎn)子的前2階模態(tài)分別為沿z軸的軸向的平動振動和沿x軸的徑向平動振動。

圖4 轉(zhuǎn)子1階模態(tài)云圖

圖5 框架幅值模態(tài)曲線

圖5 轉(zhuǎn)子2階模態(tài)云圖

2.2.2框架模態(tài)分析

框架兩端用連接器約束其自由度，得到其模態(tài)頻率如表3所示。

表3 框架模態(tài)頻率

由表3可以看出，框架的前2階共振頻率在轉(zhuǎn)頻之下，后4階頻率在轉(zhuǎn)頻之外。框架前兩階模態(tài)如圖6、圖7所示，可以得出，框架第1階振動主要為電機框架及下框架沿z軸的扭轉(zhuǎn)振動，第2階振型為電機框架和下框架沿y軸方向的扭轉(zhuǎn)振動。

圖7 框架2階模態(tài)云圖

轉(zhuǎn)子與框架的耦合系統(tǒng)模態(tài)頻率如表4所示。

表4 轉(zhuǎn)子框架耦合系統(tǒng)模態(tài)頻率

圖8 耦合系統(tǒng)1階模態(tài)振型

圖9 耦合系統(tǒng)2階模態(tài)振型云圖

圖10 耦合系統(tǒng)3階模態(tài)振型云圖

圖11 耦合系統(tǒng)4階模態(tài)振型云圖

圖12 耦合系統(tǒng)5階模態(tài)振型云圖

圖13 耦合系統(tǒng)6階模態(tài)振型云圖

耦合系統(tǒng)第1階模態(tài)主要為轉(zhuǎn)子和上框架沿z軸的平移振動，2、3階模態(tài)主要是轉(zhuǎn)子和上下框架繞x軸的彎曲振動，4階振型為框架在y方向的扭轉(zhuǎn)振動，5階振型為框架扭轉(zhuǎn)振動，6階振型為框架向中間的彎曲振動。在前4階模態(tài)中，轉(zhuǎn)子振動占主導(dǎo)作用，后2階模態(tài)中，框架變形占主導(dǎo)作用。

表5 耦合系統(tǒng)頻率下降幅度 %

耦合系統(tǒng)的第1階頻率相對轉(zhuǎn)子下降62.5%，相對框架系統(tǒng)下降35.6%，第2階頻率相對轉(zhuǎn)子下降42.8%，相對框架系統(tǒng)下降13.0%。用傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和框架系統(tǒng)分離的方法獲得的動力學(xué)特性作為設(shè)計優(yōu)化依據(jù)，會導(dǎo)致對共振發(fā)生頻率評估偏高，無法在結(jié)構(gòu)設(shè)計中有效避免共振產(chǎn)生，造成結(jié)構(gòu)失效。

圖14 轉(zhuǎn)子幅值模態(tài)曲線

3.1 諧響應(yīng)分析理論

轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的離心力Fe為：

(4)

式中：e為偏心距，mm；U為轉(zhuǎn)子不平衡量，g·mm；ω為轉(zhuǎn)子角速度，rad/s；n為旋轉(zhuǎn)速度，r/min；m為不平衡質(zhì)量，g；轉(zhuǎn)子的額定轉(zhuǎn)速為10 000～15 000 r/min，取最高轉(zhuǎn)速進(jìn)行分析。故有:

(5)

依據(jù)相似結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子的試驗數(shù)據(jù)，假設(shè)偏心距為0.2 mm，不平衡質(zhì)量為100 g。

(6)

此轉(zhuǎn)速下簡諧激振頻率為：

(7)

由于其繞z軸旋轉(zhuǎn)，故在x、y方向產(chǎn)生不平衡簡諧激振力Fx、Fy，其中：

Fx=Fesin(ωt)=24.7sin(2·π·250·t)

(8)

Fy=Fecos(ωt)=24.7sin(2·π·250·t)

(9)

3.2 諧響應(yīng)分析及振動參與系數(shù)

圖16 點位示意圖

圖17 耦合系統(tǒng)轉(zhuǎn)子幅頻響應(yīng)曲線

圖18 耦合系統(tǒng)框架幅頻響應(yīng)曲線

圖19 單獨轉(zhuǎn)子幅頻響應(yīng)曲線

圖20 單獨框架幅頻響應(yīng)曲線

由幅頻曲線可以看出，轉(zhuǎn)子在210 Hz和 230 Hz出現(xiàn)“峰值”，框架在145 Hz左右出現(xiàn)“峰值”，而耦合系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子在126 Hz和190 Hz左右出現(xiàn)“峰值”，耦合系統(tǒng)框架在126、190、200 Hz時出現(xiàn) “峰值”。 耦合系統(tǒng)“峰值”頻率與其2階、3階和5階、6階共振頻率重合，單獨轉(zhuǎn)子的“峰值”頻率與第1階和第2階共振頻率重合，單獨框架 “峰值”只與第2階共振頻率重合。顯然，在簡諧激勵下，不僅“峰值”頻率出現(xiàn)的階數(shù)不同，而且耦合系統(tǒng)“峰值”出現(xiàn)時的頻率要明顯小于單獨轉(zhuǎn)子和框架的“峰值”頻率。此外，三者的“峰值”大小明顯不同，耦合系統(tǒng)轉(zhuǎn)子的最大峰值要比單獨轉(zhuǎn)子高75%，耦合系統(tǒng)框架最大峰值要比單獨框架高77%，耦合系統(tǒng)在諧響應(yīng)激勵下，響應(yīng)更加劇烈，對結(jié)構(gòu)要求更高。

表6 振動參與系數(shù)

4 結(jié)論